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数学思想方法(二)方程思想、函数思想、数形结合思想


2014 年中考数学二轮复习精品资料
数学思想方法(二)
(方程思想、函数思想、数形结合思想)
一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。数学思 想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。数学 思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要 注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法, 培养用数学思想方法解决问题的意识. 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思 想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类 讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就 可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四:方程思想 从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量 关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、 几何及生活实际中有着广泛的应用。 例 4 (2013?温州)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB,延长 DA 与⊙O 的另一个交点为 E,连接 AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若 AB=4,BC-AC=2,求 CE 的长.

思路分析: (1)由 AB 为⊙O 的直径,易证得 AC⊥BD,又由 DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可 证得 AD=AB,即可得:∠B=∠D;
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(2)首先设 BC=x,则 AC=x-2,由在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,可得方程: (x-2)2+x2=42,解此方 程即可求得 CB 的长,继而求得 CE 的长. 解答: (1)证明:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° , ∴AC⊥BC, ∵DC=CB, ∴AD=AB, ∴∠B=∠D;

(2)解:设 BC=x,则 AC=x-2, 在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2, ∴(x-2)2+x2=42, 解得:x1=1+ 7 ,x2=1- 7 (舍去) , ∵∠B=∠E,∠B=∠D, ∴∠D=∠E, ∴CD=CE, ∵CD=CB, ∴CE=CB=1+ 7 . 点评: 此题考查了圆周角定理、 线段垂直平分线的性质、 等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识. 此 题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.

对应训练 4. (2013?娄底)2013 年 3 月,某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生 命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象.已知 A、B 两点相距 4 米,探测线与地面的夹 角分别是 30° 和 45° , 试确定生命所在点 C 的深度. (精确到 0.1 米, 参考数据: 2 ≈1.41 ,

3 ≈1.73 )

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4.解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,

设 CD=x, 在 Rt△ACD 中,∠CAD=30° , 则 AD= 3 CD= 3 x, 在 Rt△BCD 中,∠CBD=45° , 则 BD=CD=x, 由题意得, 3 x-x=4, 解得:x=

4 =2( 3 +1)≈5.5. 3 ?1

答:生命所在点 C 的深度为 5.5 米.

考点五:函数思想 函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函 数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从而更快更好地解 决问题。构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规 律和性质。 例5 (2013?凉山州)某车队要把 4000 吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变).

(1)从运输开始,每天运输的货物吨数 n(单位:吨)与运输时间 t(单位:天)之间有怎样的函数关系 式? (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务,求原计划完成任 务的天数. 思路分析:(1)根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式; (2)根据“实际每天比原计划少运 20%,则推迟 1 天完成任务”列出方程求解即可.
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解:(1)∵每天运量×天数=总运量 ∴nt=4000 ∴n=

4000 ; t

(2)设原计划 x 天完成,根据题意得:

4000 4000 (1-20%)= 。 x x ?1
解得:x=4 经检验:x=4 是原方程的根, 答:原计划 4 天完成. 点评:本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用,解题的关键是找到题目中的等量关系. 对应训练 5.(2013?济南)某地计划用 120-180 天(含 120 与 180 天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送 的土石方总量为 360 万米 3. (1)写出运输公司完成任务所需的时间 y(单位:天)与平均每天的工作量 x(单位:万米 3)之间的函 数关系式,并给出自变量 x 的取值范围; (2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石比原计划多 5000 米 3,工期比原计划减少了 24 天, 原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米 3? 2.解:(1)由题意得,y= 把 y=120 代入 y=

360 , x

360 ,得 x=3, x 360 把 y=180 代入 y= ,得 x=2, x
∴自变量的取值范围为:2≤x≤3, ∴y=

360 (2≤x≤3); x

(2)设原计划平均每天运送土石方 x 万米 3,则实际平均每天运送土石方(x+0.5)万米 3, 根据题意得:

360 360 =24 x x ? 0.5

解得:x=2.5 或 x=-3 经检验 x=2.5 或 x=-3 均为原方程的根,但 x=-3 不符合题意,故舍去, 答:原计划每天运送 2.5 万米 3,实际每天运送 3 万米 3.

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考点六:数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度 ,利用几何图形的性质研究数量关系 ,寻求代数问题的解决方法 (以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思 想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。 例 6 (2013?玉林)如图,在直角坐标系中,O 是原点,已知 A(4,3) ,P 是坐标轴上的一点,若以 O, A,P 三点组成的三角形为等腰三角形,则满足条件的点 P 共有 个,写出其中一个点 P 的坐标是 .

思路分析:作出图形,然后利用数形结合的思想求解,再根据平面直角坐标系写出点 P 的坐标即可. 解:如图所示,满足条件的点 P 有 6 个, 分别为(5,0) (8,0) (0,5) (0,6) (-5,0) (0,-5) . 故答案为:6; (5,0) (答案不唯一,写出 6 个中的一个即可) .

点评:本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形的性质,利用数形结合的思想求解更简便.

对应训练 6.(2013?南充)如图,函数 y1= x 的取值范围是( )
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k1 与 y2=k2x 的图象相交于点 A(1,2)和点 B,当 y1<y2 时,自变量 x

A.x>1 C.-1<x<0 或 x>1

B.-1<x<0 D.x<-1 或 0<x<1

6.C 四、中考真题训练 一、选择题 1. (2013?六盘水)下面四个几何体中,主视图是圆的几何体是( )

A.

B.

C.

D.

1.D 2. ( 2013? 南 通 ) 如 图所 示 的 几 何 图 形 中 ,既是 轴 对 称 图 形 又 是 中心对 称 图 形 的 个 数 是 ( )

A.4 2.C

B.3

C.2

D.1

3. (2013?娄底)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,当 y>0 时,x 的取值范围是( A.x<0 B.x>0 C.x<2 D.x>2



4.C
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5. (2013?常州)已知⊙O 的半径是 6,点 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与⊙O 的位置关系是( A.相离 5.C B.相切 C.相交 D.无法判断



6. (2013?鞍山)已知:如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 在⊙O 上,则∠ACB 的 度数为( A.45° ) B.35° C.25° D.20°

6. A 7.(2013?黔东南州)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0 C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0 B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0 D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0 )

7.D 8. (2013?衢州)如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在 B 处仰望树顶,测得仰角为 30° ,再往 大树的方向前进 4m,测得仰角为 60° ,已知小敏同学身高(AB)为 1.6m,则这棵树的高度为( 果精确到 0.1m, . 3 ≈1.73) ) (结

A.3.5m 8.D

B.3.6m

C.4.3m

D.5.1m

9. (2013?娄底)如图,⊙O1,⊙O2、相交于 A、B 两点,两圆半径分别为 6cm 和 8cm,两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm,则弦 AB 的长为( )
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A.4.8cm

B.9.6cm

C.5.6cm

D.9.4cm

9. B

10.(2013?曲靖)某地资源总量 Q 一定,该地人均资源享有量 x 与人口数 n 的函数关系图象是(



A. 10.B

B.

C.

D.

11.(2013?凉山州)如图,正比例函数 y1 与反比例函数 y2 相交于点 E(-1,2),若 y1>y2>0,则 x 的 取值范围在数轴上表示正确的是( )

A. C. 11.A

B. D.

12. (2013?遵义) 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图如图所示, 若 M=a+b-c, N=4a-2b+c, P=2a-b. 则 M,N,P 中,值小于 0 的数有( A.3 个 C.1 个 ) B.2 个 D.0 个

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12.A 13. (2013?杭州)在?ABCD 中,下列结论一定正确的是( A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD ) D.∠A≠∠C

13.B 14. (2013?乌鲁木齐)如图,半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于 D、E 两点,直径 FG 在 AB 上,若 BG= 2 -1,则△ABC 的周长为( A.4+2 2 B.6 ) C.2+2 2 D.4

14.A 15. (2013?德阳)如图,在?ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线 于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,若 BG=4 A.2

2 ,则△CEF 的面积是(
C.3

) D.4

2

B. 2

2

2

15 . A
16. (2013?绍兴)小敏在作⊙O 的内接正五边形时,先做了如下几个步骤: (1)作⊙O 的两条互相垂直的直径,再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M,如图 1; (2)以 M 为圆心,BM 长为半径作圆弧,交 CA 于点 D,连结 BD,如图 2.若⊙O 的半径为 1,则由以
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上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是( A.BD2=

) D.BD2=

5 ?1 5 ?1 OD B.BD2= OD C.BD2= 5 OD 2 2

1 5 OD 2

16.C 17.(2013?杭州)给出下列命题及函数 y=x,y=x2 和 y=

1 , x

1 2 >a>a ,那么 0<a<1; a 1 2 ②如果 a >a> ,那么 a>1; a 1 2 ③如果 >a >a,那么-1<a<0; a 1 2 ④如果 a > >a 时,那么 a<-1. a
①如果 则( ) B.错误的命题是②③④ D.错误的命题只有③

A.正确的命题是①④ C.正确的命题是①②

17.A

二、填空题 18. (2013?岳阳) 如图, 点P (-3, 2) 处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了 5 个单位长度后的坐标为 .

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18. (2,2) 19. (2013?平凉)如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处, 则小明的影子 AM 长为 米.

19.5

20. (2013?安顺) 如图, 在平面直角坐标系中, 将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 后, 得到线段 AB′, 则点 B′的坐标为 .

20. (4,2)

21. (2013?昆明)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,3) ,在坐标轴上找一点 P,使得△AOP 是等 腰三角形,则这样的点 P 共有 21.8 22. (2013?杭州)四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且 BC=CD=2,AB=3,把梯形 ABCD 分别绕直线 AB,CD 旋转一周,所得几何体的表面积分别为 S1,S2,则|S1-S2|= (平方单位) 个.

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22.4π

23. (2013?自贡) 如图, 边长为 1 的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上, 则∠AED 的余弦值是



23.

2 5 5
1 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一 5

24. (2013?广安)如图,如果从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去 个圆锥(接缝处不重叠) ,那么这个圆锥的高是 cm.

24.3

25. (2013?江西)如图,矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,连接 DE 和 BF,分别取 DE、 BF 的中点 M、N,连接 AM,CN,MN,若 AB=2 2 ,BC=2 3 ,则图中阴影部分的面积为 .

26. 2 6
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27. (2013?包头)如图,在三角形纸片 ABC 中,∠C=90° ,AC=6,折叠该纸片,使点 C 落在 AB 边上的 D 点处,折痕 BE 与 AC 交于点 E,若 AD=BD,则折痕 BE 的长为 .

27.4 三、解答题 28. (2013?齐齐哈尔)如图所示,在△OAB 中,点 B 的坐标是(0,4) ,点 A 的坐标是(3,1) . (1)画出△OAB 向下平移 4 个单位长度、再向左平移 2 个单位长度后的△O1A1B1 (2)画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90° 后的△OA2B2,并求出点 A 旋转到 A2 所经过的路径长(结果保 留 π)

28.解: (1)如图所示:△O1A1B1,即为所求;

(2)如图所示:△OA2B2,即为所求, ∵AO= 12 ? 32 ? 10 ,
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∴点 A 旋转到 A2 所经过的路径长为:

90? ? 10 10 π. ? 180 2

29. (2013?齐齐哈尔)甲乙两车分别从 A、B 两地相向而行,甲车出发 1 小时后乙车出发,并以各自速度 匀速行驶,两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶,如图所示是甲乙两车之间的距离 S(千米)与甲 车出发时间 t(小时)之间的函数图象,其中 D 点表示甲车到达 B 地,停止行驶. (1 )A、B 两地的距离 千米;乙车速度是 ;a 表示 .

(2)乙出发多长时间后两车相距 330 千米? 29.解: (1)t=0 时,S=560, 所以,A、B 两地的距离为 560 千米; 甲车的速度为: (560-440)÷ 1=120km/h, 设乙车的速度为 xkm/h, 则(120+x)×(3-1)=440, 解得 x=100; 相遇后甲车到达 B 地的时间为: (3-1)×100÷ 120= 所以,a=(120+100)× =

5 小时, 3

5 1100 千米; 3 3

(2)设直线 BC 的解析式为 S=k1t+b1(k1≠0) , 将 B(1,440) ,C(3,0)代入得,

? k1 ? b1 ? 440 , ? ?3k1 ? b1 ? 0
解得 ?

? k1 ? -220 , ?b1 ? 660

所以,S=-220t+660, 当-220t+660=330 时,解得 t=1.5, 所以,t-1=1.5-1=0.5; 直线 CD 的解析式为 S=k2t+b2(k2≠0) ,

5 14 +3= , 3 3 14 1100 将 C(3,0) ,D( , )代入得, 3 3
点 D 的横坐标为

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?3k2 ? b2 ? 0 ? ?14 1100 , k ? b ? 2 2 ? 3 ?3
解得 ?

? k 2 ? 220 , ?b2 ? -660

所以,S=220t-660, 当 220t-660=330 时,解得 t=4.5, 所以,t-1=4.5-1=3.5, 答:乙出发多长 0.5 小时或 3.5 小时后两车相距 330 千米. 30. (2013?南宁)在一条笔直的公路上有 A、B 两地,甲骑自行车从 A 地到 B 地;乙骑自行车从 B 地到 A 地,到达 A 地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y(km)与行驶时 x(h)之间的函数 图象,根据图象解答以下问题: (1)写出 A、B 两地直接的距离; (2)求出点 M 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两人之间保持的距离不超过 3km 时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用 无线对讲机保持联系时 x 的取值范围.

30.解: (1)x=0 时,甲距离 B 地 30 千米, 所以,A、B 两地的距离为 30 千米;

(2)由图可知,甲的速度:30÷ 2=15 千米/时, 乙的速度:30÷ 1=30 千米/时, 30÷ (15+30)=

2 , 3

2 ×30=20 千米, 3
所以,点 M 的坐标为(

2 2 ,20) ,表示 小时后两车相遇,此时距离 B 地 20 千米; 3 3
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(3)设 x 小时时,甲、乙两人相距 3km, ①若是相遇前,则 15x+30x=30-3, 解得 x=

3 , 5 11 , 15

②若是相遇后,则 15x+30x=30+3, 解得 x=

③若是到达 B 地前,则 15x-30(x-1)=3,

9 , 5 3 11 9 所以,当 ≤x≤ 或 ≤x≤2 时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系. 5 15 5
解得 x=

31.(2013?天门)如图,在平面直角坐标系中,双曲线 y ? 坐标为(-3,2),BC⊥y 轴于点 C,且 OC=6BC. (1)求双曲线和直线的解析式; (2)直接写出不等式

m 和直线 y=kx+b 交于 A,B 两点,点 A 的 x

m >kx+b 的解集. x

31.解:(1)∵点 A(-3,2)在双曲线 y= ∴2=

m 上, x

m ,即 m=-6, ?3 6 , x

∴双曲线的解析式为 y=∵点 B 在双曲线 y=-

6 上,且 OC=6BC, x

设点 B 的坐标为(a,-6a), ∴-6a=-

6 ,解得:a=± 1(负值舍去), a

∴点 B 的坐标为(1,-6),
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∵直线 y=kx+b 过点 A,B, ∴?

?2 ? ?3k ? b , ??6 ? k ? b ?k ? ?2 . ?b ? ?4
k2 (x>0)的图象交于 A(a,1)、B(1,b) x

解得: ?

∴直线的解析式为 y=-2x-4; 32.(2013?衢州)如图,函数 y1=-x+4 的图象与函数 y2= 两点. (1)求函数 y2 的表达式; (2)观察图象,比较当 x>0 时,y1 与 y2 的大小.

32.解:(1)把点 A 坐标代入 y1=-x+4, 得-a+4=1, 解得:a=3,…(1 分) ∴A(3,1), 把点 A 坐标代入 y2= ∴k2=3, ∴函数 y2 的表达式为:y2= (2)∴由图象可知, 当 0<x<1 或 x>3 时,y1<y2, 当 x=1 或 x=3 时,y1=y2, 当 1<x<3 时,y1>y2.

k2 , x 3 ; x

(2)根据图象得:不等式

m >kx+b 的解集为-3<x<0 或 x>1. x
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33. (2013?鄂州)小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码 20 层!”小华却不以为 然:“20 层?我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题! 让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选 A、B 两点,测量数据如图,其中矩形 CDEF 表示楼体, AB=150 米,CD=10 米,∠A=30° ,∠B=45° , (A、C、D、B 四点在同一直线上)问: (1)楼高多少米? ( 2 )若每层楼按 3 米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由. (参考数据:

3 ≈1.73 ,

2 ≈1.41,

5 ≈2.24)

33.解: (1)设楼高为 x 米,则 CF=DE=x 米, ∵∠A=30° ,∠B=45° ,∠ACF=∠BDE=90° , ∴AC= 3 x 米,BD=x 米, ∴ 3 x+x=150-10, 解得 x=

140 =70( 3 -1) (米) , 3 ?1

∴楼高 70( 3 -1)米. (2)x=70( 3 -1)≈70(1.73-1)=70×0.73=51.1 米<3×20 米, ∴我支持小华的观点,这楼不到 20 层. 34. (2013?十堰)某商场计划购进 A,B 两种新型节能台灯共 100 盏,这两种台灯的进价、售价如表所示: 类型 价格 A型 B型 进价(元/盏) 30 50 售价(元/盏) 45 70

(1)若商场预计进货款为 3500 元,则这两种台灯各购进多少盏? (2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批 台灯时获利最多?此时利润为多少元?
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34.解: (1)设商场应购进 A 型台灯 x 盏,则 B 型台灯为(100-x)盏, 根据题意得,30x+50(100-x)=3500, 解得 x=75, 所以,100-75=25, 答:应购进 A 型台灯 75 盏,B 型台灯 25 盏; (2)设商场销售完这批台灯可获利 y 元, 则 y=(45-30)x+(70-50) (100-x) , =15x+2000-20x, =-5x+2000, ∵B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍, ∴100-x≤3x, ∴x≥25, ∵k=-5<0, ∴x=25 时,y 取得最大值,为-5×25+2000=1875(元) 答:商场购进 A 型台灯 25 盏,B 型台灯 75 盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为 1875 元. 35. (2013?衢州)“五?一”假期,某火车客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排队等候检票.经 调查发现,在车站开始检票时,有 640 人排队检票.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅 客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.检票时,每分钟候车室新增排队检票进站 16 人, 每分钟每个检票口检票 14 人.已知检票的前 a 分钟只开放了两个检票口.某一天候车室排队等候检票的 人数 y(人)与检票时间 x(分钟)的关系如图所示. (1)求 a 的值. (2)求检票到第 20 分钟时,候车室排队等候检票的旅客人数. (3)若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进站,以便后来到站的旅客随到随检,问检 票一开始至少需要同时开放几个检票口? 35.解: (1)由图象知,640+16a-2×14a=520, ∴a=10;

(2)设当 10≤x≤30 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,由题意,得

?10k ? b ? 520 , ? ?30k ? b ? 0
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解得: ?

?k ? -26 , ?b ? 780

y=-26x+780,当 x=2 时, y=260, 即检票到第 20 分钟时,候车室排队等候检票的旅客有 260 人.

(3)设需同时开放 n 个检票口,则由题意知 14n×15≥640+16×15 解得:n≥4

4 , 21

∵n 为整数, ∴n=5. 答:至少需要同时开放 5 个检票口. 36. (2013?南充)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,经过点 O 的直线交 AB 于 E,交 CD 于 F. 求证:OE=OF.

36.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,AB∥CD, ∴∠OAE=∠OCF, ∵在△OAE 和△OCF 中,

??AOE ? ?COF ? , ?OA ? OC ??OAE ? ?OCF ?
∴△OAE≌△OCF(ASA) , ∴OE=OF. 37. (2013?营口) 某中学为了解全校学生到校上学的方式, 在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查. 问 卷给出了五种上学方式供学生选择,每人只能选一项,且不能不选.同时把调查得到的结果绘制成如图所 示的条形统计图和扇形统计图(均不完整) .请根据图中提供的信息解答下列问题:
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(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生? (2)通过计算补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角是多少度? (4)若全校有 1600 名学生,估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名?

37.解: (1)24÷ 30%=80(名) , 答:这次调查一共抽取了 80 名学生;

(2)80×20%=16(名) , 补全条形统计图,如图所示;

(3)根据题意得:360° ×

26 =117° , 80

答:在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角为 117° ;

(4)根据题意得:1600×

10 =200(名) , 80

答:估计该校乘坐私家车上学的学生约有 200 名.

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38. (2013?南充)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60° ,P 为 BC 边上一点(不 与 B,C 重合) ,过点 P 作∠APE=∠B,PE 交 CD 于 E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若 CE=3,求 BP 的长.

39. (1)证明:∵等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD, ∴∠B=∠C=60° , ∵∠APC=∠B+∠BAP, 即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP, ∵∠APE=∠B, ∴∠BAP=∠EPC, ∴△APB∽△PEC;

(2)解:过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于点 F,

则四边形 ADCF 是平行四边形,△ABF 为等边三角形, ∴CF=AD=3,AB=BF=7-3=4, ∵△APB∽△PEC, ∴

BP AB ? , EC PC

设 BP=x,则 PC=7-x, ∵EC=3,AB=4, ∴

x 4 ? , 3 7?x

解得:x1=3,x2=4, 经检验:x1=3,x2=4 是原分式方程的解, ∴BP 的长为:3 或 4.
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40. (2013?随州)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平行线交⊙O 与点 D,过点 D 的切线分别交 AB、AC 的延长线与点 E、F. (1)求证:AF⊥EF. (2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.

40.证明: (1)如图,连接 DO,

∵EF 是⊙O 的切线, ∴OD⊥EF, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD,

? ? BD ? , ∴ CD
∴OD⊥BC, ∴BC∥EF, ∵AB 为直径, ∴∠ACB=90° , 即 AC⊥BC, ∴AF⊥EF;

(2)连接 BD 并延长,交 AF 的延长线于点 H,连接 CD,

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∵AB 是直径, ∴∠ADB=90° , 即 AD⊥BH, ∴∠ADB=∠ADH=90° , 在△ABD 和△ADH 中,

??HAD ? ?BAD ? , ? AD ? AD ??ADH ? ?ADB ?
∴△ABD≌△AHD(ASA) , ∴AH=AB, ∵EF 是切线, ∴∠CDF=∠CAD,∠HDF=∠EDB=∠BAD, ∴∠EDF=∠HDF, ∵DF⊥AF,DF 是公共边, ∴△CDF≌△HDF(ASA) , ∴FH=CF, ∴AF+CF=AF+FH=AH=AB. 即 AF+CF=AB。

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