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圆锥曲线基础必备


圆锥曲线必备

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 ( 红 字 为 口 诀 )- 椭 圆 一、椭圆定义 椭圆三定义,简称和比积. 1、 定 义 1: (和 )到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 , 定 值 为 长 轴 . ( 定 值 = 2a ) 2 、定 义 2 :( 比 ) 到 定 点 和 到 定 直 线 的 距 离 之 比 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 ,定 直 线 为 准 线 ,定 值 为 离 心 率 .( 定 值 = e ) 3、 定 义 3: (积 )到 两 定 点 连 线 的 斜 率 之 积 为 定 值 的 点 的 轨 迹 是 椭 圆 . 定 点 为 短 轴 顶 点 , 定 值 为 负 值 . ( 定 值 k ? e2 ? 1 ) 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理① 准线方程准焦距, a方、 b方除以 c ② 通径等于 2

e p,切线方程用代替③

焦三角形计面积,半角正切连乘 b④ 注解: 1、 长 轴 短 轴 与 焦 距 , 形 似 勾 股 弦 定 理
2 2 2 长 轴 ? 2a , 短 轴 ? 2b , 焦 距 ? 2c , 则 : a ? b ? c

2、 准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c
a2 准线方程: x ? c



a 方除以 c )
( b 方除以

b2 准焦距 p :焦点到准线的距离: p ? c

c)

3、 通 径 等 于 2 椭圆的通径

e p,切线方程用代替

d: 过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
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圆锥曲线必备

c b 2 2b 2 离 称 为 椭 圆 的 通 径 . ( 通 径 d ? 2ep ? 2 ? ? ? ) a c a

过 椭 圆 上 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 , 用 ( x0 , y0 ) 等 效 代 替 椭 圆 方 程 得 到 . 等效代替后的是切线方程是:

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

4、 焦 三 角 形 计 面 积 , 半 角 正 切 连 乘 b 焦 三 角 形 : 以 椭 圆 的 两 个 焦 点 F1 , F2 为 顶 点 , 另 一 个 顶 点 P 在 椭 圆 上 的 三 角 形 称 为 焦 三 角 形 . 半 角 是 指 ? ? ?F1 PF2 的 一 半 .
2 则 焦 三 角 形 的 面 积 为 : S ? b tan

?
2
m
F1

y P

证明: 设 PF1 ? m , PF2 ? n , 则 m ? n ? 2a . 由余弦定理:

n
F2

O

x

m2 ? n2 ? 2mn ? cos? ? 4c 2
? 4a 2 ? 4b2 ? (m ? n)2 ? 4b 2
2 2 即 : ?2mn ? cos? ? 2mn ? 4b , 即 : 2b ? (1 ? cos ? )mn .

2b 2 即 : mn ?| PF1 || PF2 |? 1 ? cos ?

1 2b sin ? 1 2 ? ? ? sin ? ? b ? S ? m ? n ? sin ? 故 : △F1 PF2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? ? 2 sin cos sin ? 2 2 ? tan ? ? ? 又: 1 ? cos ? 2 2 cos 2 2
2
2 所 以 : 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 S?F1 PF2 ? b tan

?

2.

三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角,称为弦切角定理①
第 2 页

圆锥曲线必备

切点连线求方程,极线定理须牢记② 弦与中线斜率积,准线去除准焦距③ 细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④ 注解: 1、 切 线 平 分 焦 周 角 , 称 为 弦 切 角 定 理 弦切角定理:切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角. 弦 切 角 是 指 椭 圆 的 弦 与 其 切 线 相 交 于 椭 圆 上 时 它 们 的 夹 角 ,当 弦 为 焦点弦时(过焦点的弦),那么切线是两个焦点弦的角平分线. 2、 切 点 连 线 求 方 程 , 极 线 定 理 须 牢 记 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆
x2 a2 ? 2 ? 1 外 , 则 过 P0 作 椭 圆 的 两 条 切 线 , 切 点 为 b y2

P1 , P2 , 则 点 P0 和 切 点 弦 P1 , P2 分 别 称 为 椭 圆 的 极 点 和 极 线 .

切 点 弦 P1 P2 的 直 线 方 程 即 极 线 方 程 是 3、 弦 与 中 线 斜 率 积 , 准 线 去 除 准 焦 距

x0 x a
2

?

y0 y b2

? 1( 称 为 极 线 定 理)

弦 指 椭 圆 内 的 一 弦 AB . 中 线 指 弦 AB 的 中 点 M 与 原 点 O 的 连 线 , 即
a2 ?OAB 得 中 线 . 这 两 条 直 线 的 斜 率 的 乘 积 , 等 于 准 线 距 离 xc ? ? 去 除 c
b2 准焦距 p ? ,其结果是: c

k AB ? kOM

p b2 ? ?? 2 xc a

4、 细 看 中 点 弦 方 程 , 恰 似 弦 中 点 轨 迹 中 点 弦 AB 的 方 程 : 在 椭 圆 中 , 若 弦 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) , 弦 AB 称
x0 x y0 y x0 2 y0 2 为中点弦,则中点弦的方程就是 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,是直线方程. a b a b
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圆锥曲线必备

弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 :在 椭 圆 中 ,过 椭 圆 内 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 弦 AB ,其
x0 x y0 y x2 y2 中点 M 的方程就是 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,仍为椭圆. a b a b

这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了. 圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 ( 红 字 为 口 诀 )- 双 曲 线 一、双曲线定义 双曲线有四定义,差比交线反比例 1 、定 义 1 :( 差 ) 平 面 内 ,到 两 个 定 点 F1 ,F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 定 值 2a ( 小 于 这 两 个 定 点 间 的 距 离 F1 F2 )的 点 的 轨 迹 称 为 双 曲 线 。定 点
F1 ,F2 叫 双 曲 线 的 焦 点 。 即 : PF1 ? PF2 ? 2a

2、 定 义 2: (比 )平 面 内 , 到给定一点及一直线的距离之比为定值 e ? 1 的 点 的 轨 迹 称 为 双 曲 线 。定 点 叫 双 曲 线 的 焦 点 ,定 直 线 叫 双 曲 线 的 准 线。 3 、定 义 3 : ( 交 线 ) 一 平 面 截 一 圆 锥 面 ,当 截 面 与 圆 锥 面 的 母 线 不 平 行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线 。 4、 定 义 4: (反 比 例 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 反 比 例 函 数 y ? 象称为双曲线。 证明:反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到. 证 明 : 因 为 xy ? k 的 对 称 轴 是 y ? x , 是 x轴,
x2 y2 y ? ?x , 而 2 ? 2 ? 1 的 对 称 轴 a b

k 的图 x

y 轴 ,所 以 应 该 旋 转 45 o . 设 旋 转 的 角 度 为 ? ( ? ? 0 ,顺 时 针 )

( ? 为双曲线渐进线的倾斜角) 则 有 : X ? x cos ? ? y sin ? , Y ? ? x sin ? ? y cos ?
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圆锥曲线必备

取 ? ? 45 o , 则 :
o o o o X 2 ?Y 2 ? ? ? x cos 45 ? y sin 45 ? ? ?? ? x sin 45 ? y cos 45 ? ? 2 2

?

1? 2 2 x ? y ? ? ? x ? y ? ? ? 2 xy ? ? 2?

而 xy ? k , 所 以 , X 2 ? Y 2 ? 2 xy ? 2k 即:
X2 Y2 ? ? 1 ( k ? 0 )或 2k 2k
Y2 X2 ? ?1 ( k ?0) ( ?2k ) ( ?2k )

由此证得,反比例函数其实 就是双曲线的一种形式,只不过是双曲 线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 二、双曲线的性质定理 基本同椭圆,有所区别: 长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理① 准线方程准焦距, a 方、 b方除以 c ② 通径等于 2

e p,切线方程用代替③

焦三角形计面积,半角余切连乘 b④ 注解: 1、 长 轴 短 轴 与 焦 距 : 形 似 勾 股 弦 定 理
2 2 2 长 轴 ? 2a , 短 轴 ? 2b , 焦 距 ? 2c , 则 : a ? b ? c

实际上,双曲线是实轴、虚轴、与焦距,但为了方便记忆,也不 至于造成混乱,我们还是按椭圆的口诀记忆. 2、 准 线 方 程 准 焦 距 , a 方 、 b 方 除 以 c

a2 准线方程: x ? ? c



a 方除以 c )
( b 方除以 c )

b2 准焦距 p :焦点到准线的距离: p ? c
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圆锥曲线必备

3、 通 径 等 于 2

e p,切线方程用代替

双曲线的通径

d: 过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间

c b 2 2b 2 d ? 2ep ? 2 ? ? ? 的 距 离 称 为 双 曲 线 的 通 径 .( 通 径 ) a c a

过 双 曲 线 上 P0 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 ,用 P0 ( x0 , y0 ) 等 效 代 替 双 曲 线 方 程

x0 x y0 y 得到,等效代替后的是切线方程是: 2 ? 2 ? 1 a b
4、 焦 三 角 形 计 面 积 , 半 角 余 切 连 乘 b 焦 三 角 形 : 以 双 曲 线 的 两 个 焦 点 F1 , F2 为 顶 点 , 另 一 个 顶 点 P 在 椭 圆 上 的 三 角 形 称 为 焦 三 角 形 . 半 角 是 指 ? ? ?F1 PF2 的 一 半 .
x2 y2 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 P 为 双 曲 线 上 异 于 顶 a b

2b 2 点 任 意 一 点 ?F1 PF2 ? ? , 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足 :PF1 PF2 ? 1 ? cos ?
2 其 面 积 为 ; S?F1 PF2 ? b co t

?

2.

证 明 : 设 PF1 ? m , PF2 ? n , 则 m ? n ? 2a 在 ?F1 PF2 中 , 由 余 弦 定 理 得 :
PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? F1 F2 ,
2 2 2 2 2 2 2 即 : m ? n ? 2mn ? cos ? ? 4c ? 4a ? 4b ? (m ? n) ? 4b 2 2 2 2 即 : m ? n ? 2mn ? cos ? ? (m ? n) ? 4b
2 2 2

2 2 即 : 2mn ? 2mn ? cos ? ? 4b , 即 : 2b ? mn(1 ? cos ? )

2b 2 2b 2 mn ? PF PF ? 即: 1 2 1 ? cos ? , 即 : 1 ? cos ?
那么,焦点三角形的面积为:
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圆锥曲线必备

S?F1 PF2
2

1 2b 2 1 ? sin ? ? mn ? sin ? ? ? 2 1 ? cos ? 2

2 sin cos b sin ? 2 2 2 ? 2 ? ?b ? ? b cot ? 1 ? cos ? 2 2 sin 2 2
2 故: S?F1 PF2 ? b cot

?

?

?
2

同 时 : S?F1 PF2

1 b2 ? ? F1 F2 ? yP ? c ? yP , 故 : y p ? ? ? cot c 2 2
?
2

2 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 : S?F1 PF2 ? b co t

.

三、双曲线的相关公式 切线平分焦周角,称为弦切角定理① 切点连线求方程,极线定理须牢记② 弦与中线斜率积,准线去除准焦距③ 细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④ 注解: 1、 切 线 平 分 焦 周 角 , 称 为 弦 切 角 定 理 弦切角定理:切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角. 弦 切 角 是 指 双 曲 线 的 弦 与 其 切 线 相 交 于 双 曲 线 上 时 它 们 的 夹 角 ,当 弦为焦点弦时(过焦点的弦),那么切线是两 个焦点弦的角平分线. 如 图 , ?F1 PF2 是 焦 点 三 角 形 , ?F1 PF2 为 焦 周 角 , PT 为 双 曲 线 的 切 线 . 则 PT 平 分 ?F1 PF2 .
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y

P

F1

T

F2

x

圆锥曲线必备

2、 切 点 连 线 求 方 程 , 极 线 定 理 须 牢 记 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线
y2 ? ? 1外,以包含焦点的区域为内,不包含 a 2 b2 x2

焦 点 的 区 域 为 外 , 则 过 P0 作 双 曲 选 的 两 条 切 线 ,切 点 为 P1 、 P2 ,则 点 P0 和 切 点 弦 P1 P2 分别称为双曲线的极点和极线,切点弦
P1 P2 的 直 线 方 程 即 极 线 方 程 是
x0 x a
2

y
P1 P0

?

y0 y b
2

F1
?1

O
P2

F2

x

(称为极线定理) 3、 弦 与 中 线 斜 率 积 , 准 线 去 除 准 焦 距 弦 指 双 曲 线 内 的 一 弦 AB . 中 线 指 弦 AB 的 中 点 M 与 原 点 O 的 连 线 , 即 ?OAB 得 中 线 . 这两条直线的斜率的乘积,等于准线距离
a2 b2 xc ? 去 除 准 焦 距 p? , 其 结 果 是 : c c
F1

y M A
O

B

F2 x

k AB ? kOM

p b2 ? ? xc a 2

4、 细 看 中 点 弦 方 程 , 恰 似 弦 中 点 轨 迹 中 点 弦 AB 的 方 程 :在 双 曲 线 中 ,若 弦 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,称 弦 AB 为中点弦,则中点弦的方程就是:
x0 x
2 2 y0 y x0 y0 ? ? ? ,它是直线方程. a2 b2 a 2 b2

弦 中 点 M 的 轨 迹 方 程 : 在 双 曲 线 中 , 过 双 曲 线 外 一 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 弦
x0 x y0 y x2 y2 AB , 其 AB 中 点 M 的 方 程 就 是 2 ? 2 ? 2 ? 2 , 仍 为 双 曲 线 . a b a b

这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了 .



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圆锥曲线必备

圆 锥 曲 线 必 背 口 诀 ( 红 字 为 口 诀 )- 抛 物 线 一、抛 物 线 定义 抛物线,有定义,定点定线等距离 1 、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为 抛物线 . 2 、二次函数的图象是 抛物线 . 二、抛物线性质 焦点准线极点线①,两臂点乘积不变② 焦弦切线成直角,切点就是两端点③ 端点投影在准线,连结焦点垂直线④ 焦弦垂直极焦线⑤,切线是角平分线⑥ 直角梯形对角线,交点就是本原点⑦ 焦弦三角计面积,半个 p 方除正弦⑧ 注解: 1 、 焦点准线极点线 抛物线的焦点和准线是一对极点和极线 . 抛物线方程: y 2 ? 2 px ,焦点 F ( , 0 ) ,准线 x p ? ?
p 2 p 2 p 2 p 2

( 抛物线的顶点 O(0 , 0 ) 到定点 F ( , 0 ) 和定直线 x p ? ? 距离相等 ) 焦弦:过焦点的直线与抛物线相交于两点 A 和 B ,则 AB 称为焦弦 . 弦中点 M ( xM , yM ) , x M ?
p 2 x A ? xB y ?y , yM ? A B 2 2

焦弦方程: y ? k ( x ? ) , k 为斜率 . 2 、 两臂点乘积不变
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圆锥曲线必备

焦点三角形两边 OA 和 OB 的点乘积为定值,且夹角是钝角 . 证明:焦弦 AB 满足的条件
? y 2 ? 2 px k 2 p2 p 2 ? 2 2 2 2 k x ? ( k ? 2 ) px ? ?0 k ( x ? ) ? 2 px ? ? ? p 4 2 ? y ? k( x ? ) ? 2

由韦达定理得: x A x B ?

p2 4

y A yB ? ? 2 px A ? 2 pxB ? ?2 p x A xB ? ?2 p ?
p2 , y A yB ? ? p 2 4

p ? ? p2 , 2

即: x A x B ?
??? ? ??? ?


3 4

且: OA ? OB ? ( x A , y A ) ? ( xB , yB ) ? x A xB ? y A yB ? ? p 2 ? 0 . 故:焦点三角形两边之点乘积为定值 . 3 、 焦弦切线成直角,切点就是两端点 即:焦弦两端点的切线互相垂直 . 证明:如图,由抛物线方程: y 2 ? 2 px 得到导数: yy ' ? p ,即: y ' ? 故: k AE ?
p p , k BE ? yA yB
p p p2 ? ? y A yB y A yB

D E F
C

A M B

p y

于是: k AE ? k BE ?

将①式 y A yB ? ? p 2 代入上式得: k AE ? kBE ? ?1 即: AE ? BE ,故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形 . 4 、 端点投影在准线,连结焦点垂直线 即:焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形 .
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????

????

圆锥曲线必备

证明:坐标 C ( ? , yB ) , D( ? , y A ) 则: CF ? ( p, ? yB ) , DF ? ( p, ? y A ) 于是: CF ? DF ? p 2 ? y A yB 将①式 y A yB ? ? p 2 代入上式得: CF ? DF ? 0
???? ???? 故: CF ? DF ???? ????
???? ???? ???? ????

p 2

p 2

D E F
C

A M B

即:焦弦端点 A, B 在准线的投影点 D, C ,则
???? ???? CF ? DF ,即:焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形 .

5 、 焦弦垂直极焦线 若焦弦 AB 对应的极点 E ,则 EF 为极焦线,于是 EF ? AB 用向量方法可证 . 由于 M 是 AB 的中点, ?AEB 为直角三角形,计算可得 E 是 DC 的中点, 故: ED ? EF ? EC 由向量法可证 EF ? AB ? 0 即:焦弦 AB 与极焦线 EF 互相垂直 . 6 、 切线是角平分线 即:切线平分焦弦的倾角 ( 或倾角的外角 ) 如图:因为 ?ADE 和 ?AFE 都是直角三角形, 且由定义知: AF ? AD , AE ? AE 故 ?ADE ≌ ?AFE ,则对应角相等 . 即: AE 是 ?DAF 的角平分线 同理, BE 是 ?CBF 的角平分线 7 、 直角梯形对角线,交点就是本原点
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???? ????

D E F
C

A M

B

圆锥曲线必备

即:直角梯形 ABCD 对角线相交于原点 即: A, O , C 三点共线; B, O , D 三点共线 . 用向量法证明: OA / / CO , OB / / DO
2 2 yA yB p p 证明:坐标 A( , y A ) , B( , yB ) , C ( ? , yB ) , D( ? , y A ) 2p 2p 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

????

向量: OA ? (

??? ?

2 ??? ? yA p , y A ) , CO ? ( , ? yB ) 2p 2

2 yA ??? ? ??? ? 2 2 (OA) y (OA) x 2 p y A y yA ? ? A ? 各分量之比: ???? ? ? 2 , ??? p p (CO ) x (CO ) y ? yB ? y A yB 2 ??? ? 2 2 (OA) y yA yA 2 将①式 y A yB ? ? p 代入上式得: ???? ? ? 2 (CO ) y ? y A yB p ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (OA) x (OA) y OA 故: ???? ? ???? ? ???? ,即: OA / / CO (CO ) x (CO ) y CO

同理: OB / / DO . 直角梯形 ABCD 对角线相交于原点 . 8 、 焦弦三角计面积,半个 p 方除正弦 即:焦弦三角形的面积为: S?AOB ? 证明: AB ? AF ? BF ? x A ? 如图: GF ? 2 OF ? p 则: EM ?
EF GF 1 p ? ? ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ?
G

??? ?

????

p2 2 sin ?

( ? 为焦弦的倾角)

p p p ? xB ? ? x A ? xB ? p ? 2( x M ? ) ? 2 EM 2 2 2
E M

?
O

?

?
F

2p 于是: AB ? 2 sin ?

故: S?AOB

1 p 2p p2 1 ? OF AB sin ? ? ? ? 2 ? sin ? ? 2 2 sin ? 2 sin ? 2



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圆锥曲线必备

附 : 圆 锥 曲 线 必 背 ---- 极 坐 标 一、 极坐标通式 圆锥曲线的极坐标以准焦距 p 和离心率 e 来表示常量, 以极径 ? 和极角
? 来表示变量 .
? ? 0 , ? ? [0 , 360 o )

以焦点 F (0 ,? ) 为极点 ( 原点 O ) ,以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线 的实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为准焦距 p 、 且垂直于极轴的直线 L . 极坐标系与直角坐标系的换算
O (F )

L

x

关系是: ? ? x 2 ? y 2 , ? ? arctan 或者: x ? ? cos? , y ? ? sin ?

y x

e?1 e?1 e?1

特别注意:极坐标系中,以焦

点为极点 (原点 ) ,而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程 . 如图,O 为极点, L 为准线,则依据定义,到 定 点 ( 极点 ) 和 到 定 直 线 ( 准 线)的 距 离 之 比 为 定 值 (定 值 e )的 点 的 轨 迹 为 圆 锥 曲 线 . 所以,对极坐标系,请记住: ⑴ 极坐标系的极点 O 是椭圆的左焦点、 抛物线的焦点、 双曲线的右焦点; ⑵ 曲线上的点 P ( ? ,? ) 到焦点 F 的距离是 ? ,到准线的距离是 p ? ? cos? , 根据定义: e ?
? p ? ? cos ?

即: ep ? e ? cos? ? ? ,即: ep ? ? ? e ? cos? ,



13



圆锥曲线必备

即: ? ?

ep 1 ? e cos ?



这就是极坐标下,圆锥曲线的通式 . ⑶ 对应不同的 e ,呈现不同的曲线 . 对双曲线,只是右边的一支; 对抛物线,开口向右 . 二、 极轴旋转 180 o 将极轴旋转 180 o , ? 和 ? 分别对应变 换 前 后 的 极 角 , 即 转 角 为 ? ? ? ? 180 o , 则极坐标方程变换前方程为:
??
ep 1 ? e cos ? ep 1 ? e cos ?

L

O (F )

x

变换后方程为: ? ?



e?1 e?1 e?1

此时的极坐标系下,此时有: ⑴ 极坐标系的极点 O 是椭圆的右焦 点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点;

⑵ 对应不同的 e ,呈现不同的曲线 . 对双曲线,只是左边的一支;对抛 物线,开口向左 . 三、 极轴旋转 90 o ⑴ 将 极 轴 顺 时 针 旋 转 90 o , 即 :
? ? ? ? 90 o ,则情况如图 .

e?1

e?1 e?1
O (F )

圆锥曲线的方程为:
??
ep 1 ? e sin ?



x

此时的极坐标系下:
第 14 页

L

圆锥曲线必备

对应于直角坐标系下,焦点在 y 轴的情况,且极点 O 对应于椭圆下方的 焦点,双曲线上方的焦点,抛物线的焦点 . 对双曲线,只是 y 轴上边的一支;对抛物线,开口向上 . ⑵如果将极轴逆时针旋转 90 o ,即: ? ? ? ? 90 o ,则情况如图 . 圆锥曲线的方程为: ? ? 此时的极坐标系下: 对应于直角坐标系下, 焦点在 y 轴的情 况,且对应于椭圆上方的焦点,双曲线下 方的焦点,抛物线的焦点 . 对双曲线,只是 y 轴下边的一支;对抛 物线,开口向下 . 四、 坐标变换 ⑴在极坐标系中,圆锥曲线的通式为: ? = 即: ? ? e ? cos? ? ep ,即: ? ? ep ? e ? cos? 即: ? 2 ? (ep ? e ? cos ? )2 ? e 2 p 2 ? e 2 ( ? cos ? )2 ? 2e 2 p( ? cos ? ) 将 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x 代入②式得:
x 2 ? y 2 ? e 2 p 2 ? e 2 x 2 ? 2e 2 px

ep 1 ? e sin ?



e?1

L

O
(F )

x

e?1

e?1

ep 1 ? e cos ?





即: (1 ? e 2 ) x 2 ? 2e 2 px ? y 2 ? e 2 p 2 当 e ? 1时



e2 p 2 e2 p 2 2 2 2 2 x?( ) ] ? y ? e p ? (1 ? e )( ) 有: (1 ? e )[ x ? 2 1 ? e2 1 ? e2 1 ? e2
2 2

e2 p

即: (1 ? e 2 )( x ?

e2 p 2 e2 e 2 p2 2 2 2 ) ? y ? e p ( 1 ? ) ? 1 ? e2 1 ? e2 1 ? e2
第 15 页

圆锥曲线必备

(x ?

即:

e2 p 2 ) 2 1 ? e2 ? y ?1 e 2 p2 e 2 p2 1 ? e2
e 2 p2 (1 ? e 2 )2 ? e 2 p2 1 ? e2



(1 ? e 2 )2

⑴当 e ? 1 时,令 a 2 ? 则: a ? b ? 而: c 2 ? (
2 2

, b2 ?
? e 2 p2

e 2 p2 1? e

,c? 2
2

e2 p 1 ? e2
e4 p2 (1 ? e 2 )2

e 2 p2 (1 ? e 2 )2 )2 ? 2

(1 ? e 2 )2

[1 ? (1 ? e )] ?

e2 p 1? e

e4 p2 (1 ? e )
2 2

? a 2 ? b2

代入④式得:

( x ? c )2 a2

y2 ? 2 ?1 b



这是标准的椭圆方程 . ⑵当 e ? 1 时,令 a 2 ? 则: a 2 ? b 2 ? 而: c 2 ? (
e 2 p2 ( e 2 ? 1) 2 )2 ? e 2 p2 ( e 2 ? 1) 2 ? e 2 p2 e2 ? 1

, b2 ?
? e 2 p2

e 2 p2 e2 ? 1

,c?

e2 p e2 ? 1
e4 p2 ( e 2 ? 1) 2

( e 2 ? 1)

[1 ? (e 2 ? 1)] ? 2

e2 p e ?1
2

e4 p2 ( e ? 1)
2 2

? a 2 ? b2

代入④式得:

( x ? c )2 a2

y2 ? 2 ?1 b



这是标准的双曲线方程 . ⑶当 e ? 1 时,由③式 (1 ? e 2 ) x 2 ? 2e 2 px ? y 2 ? e 2 p 2 得: ?2 px ? y 2 ? p 2 即: y 2 ? 2 px ? p 2 ? 2 p( x ? ) 即: y 2 ? 2 p( x ? )
p 2 p 2



这是标准的抛物线方程 .



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