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高一数学必修5水平测试卷


湖南省长沙市第一中学数学必修五模块水平测试卷
(试卷总分 150 分、考试时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分共 50 分) 1、下列命题中正确的是 (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B)若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 a b c (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,2 是等比数列 a b c (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2 ,2 ,2 是等差数列 2 、 对 于 任 意 实 数 a 、 b 、 c 、 d , 命 题 ① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ; ② 若a ? b, 则ac ? bc ; ③
2 2

1 1 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd .其中真命题的个数是 a b
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3 3、已知数列{an}是公比 q≠1 的等比数列,则在 “(1){anan+1}, (2){an+1-an}, (3){an },(4){nan}” 这四个数列中,成等比数列的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、下列结论正确的是 (A)当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 (B) 当x ? 0 时, x ? 1 ? 2 lg x x

1 无最大值 x a c 5、若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 ? ? m n
(C) 当x ? 2时, x ? (D) 当0 ? x ? 2时, x ? (A)4 (B)3 + 6、 设 x,y ? R ,且 xy-(x+y)=1,则 (A) x+y ? 2 2 +2
2

1 的最小值为2 x

(C)2

(D)1

(B) xy ?

2 +1

(C) x+y ? ( 2 +1)

2

(D)xy ? 2 2 +2

7.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x| -

1 1 < x < },则 a + b 的值为 3 2

(A) -10 (B) -14 (C) 10 (D) 14 n 2 2 2 2 8、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+?+an=2 -1,则 a1 +a2 +a3 +?+an 等于 (A) (2 ? 1)
n 2

(B) (2 ? 1)
n

1 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

1 n (4 ? 1) 3

o 9、某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的值

为 (A)

3

(B) 2 3

(C)

3 或2 3

(D) 3

10、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金属板,每张 2 2 面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金属板可造甲、乙产品 各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使总用料面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用 5 张

二、填空题(每小题 4 分共 16 分) 11、已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= ___________

12、已知 f ( x) ? ?

?1,x ? 0; ,则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是__________ ?? 1,x ? 0
a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C

13、在△ ABC 中,若

14、如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第 n 行

(n ? 2) 第 2 个数是

. 。 1 2 3 4 7 4 7 2 3 4

5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 三.解答题(第 15,17 题每小题 12 分,第 16、18、19、20 题每小题 14 分,共 80 分) 15、 (满分 12 分) (理科)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,

cos B ?

3 . 4

1 1 的值; ? tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 2
(Ⅰ)求 (文科)解不等式: | x |? 2 x ? 1 .
2

16、 (满分 14 分) (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列{bn}的第 1,3, 5 项,(1)求数列{an}的第 20 项,(2)求数列{bn}的通项公式. (文科)已知实数 a, b, c 成等差数列, a ? 1, b ? 1 , c ? 4 成等比数列, 且 a ? b ? c ? 15 ,求 a, b, c .

17、 (满分 12 分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时) 与汽车的平均速度 ? (千米/小时)之间的函数关系为: y ?

(1) 在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (保留分数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

920? (? ? 0) . ? ? 3? ? 1600
2

18、 (满分 14 分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种 棉纱的利润是 900 元, 工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、 二级子棉不超 过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?

19、 (满分 14 分)已知 x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }( an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 2 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f ( S n ?1 ) .(1)求数列 {a n } 的第 n+1 项; 1 1 , 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. (2)若 bn 是 a n ?1 a n

湖南省长沙市第一中学数学必修五模块水平测试卷答案及解析
一、选择题:(请将正确答案的代号填在答题卡内,每小题 4 分,共 40 分) 题 号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A 得 分

二、填空题:(每题 4 分,共 16 分)

? ? 1 ?n ? 11、 S n ? 12 ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?

12、 ? ? ?, ? 2

? ?

3? ?

13、等边三角形

14、

n2 ? n ? 2 2

三.解答题(第 15,16 题每小题 12 分,第 17,18 题每小题 10 分共 44 分) 15、 (理科) (Ⅰ) cos B ? 解: 由 于是 1 ? 1
tan A ?

3 3 7 2 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 由 b =ac 及正弦定理得 4 4 4

2 s in B ? s in s in . A C

tan C

sin B 1 4 cos A cosC sin C cos A ? cosC sin A sin(A ? C ) ? ? ? 7. ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin2 B sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA ? BC ?

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得ca ? 2,即b 2 ? 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3
?2 x 2 ? x ? 1 ? 0, ? 解得: ? 2 ?2 x ? x ? 1 ? 0 ?

? x ? 2 x 2 ? 1  , ? (文科)解:由原不等式得: ? 即 ? x ? ?2 x 2 ? 1 ?

? 1 ?? 2 ? x或x ? 1, ? 即: ? 1 ? x或x ? ?1 . ? 1 ? x ? ?1, 或x ? ? 2 ?

∴原不等式的解集为 ?x | x ? ?1或x ? 1?

16、 (理科)解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 a5=10,a7=10+2d,a10=10+5d 因为等比数列{bn}的第 1、3、5 项也成等比,所以 a72=a5a10 即:(10+2d)2=10(10+5d) 解得 d=2.5 ,d=0(舍去) 所以:a20=47.5 (2)由(1)知{an}为正项数列,所以 q2=b3/b1=a7/a5=

3 2

bn=b1qn-1=±10(3/2)(n-1)/2

?a ? b ? c ? 15 ? ? (文科)解:由题意,得 ?a ? c ? 2b ? 2 ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1? ?

?1? ? 2? ? 3?

由(1) (2)两式,解得 b ? 5 将 c ? 10 ? a 代入(3) ,整理得

a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得a ? 2或a ? 11, 故a ? 2, b ? 5, c ? 8或a ? 11, b ? 5, c ? ?1. 经验算,上述两组数符合题意。

17、解: (Ⅰ)依题意, y ?

920 920 920 ? ? , ?????3 分 1600 83 3 ? 2 1600 3 ? (v ? ) v

当且仅当v ? 所以y max

1600 ,即v ? 40时, 上式等号成立, v 920 ? (千辆 / 小时). 83
2

??.6 分

(Ⅱ)由条件得

920 v ? 10, 整理得 v2-89v+1600<0,????????? 8 分 v ? 3v ? 1600

即(v-25) v-64)<0,解得 25<v<64. ?????????? 10 分 ( 答:当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超 过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时.???????12 分 18、解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元, y

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

z=600x+900y.

2x+y=300

50 50

x+2y=250 x

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直 线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; ?2 x ? y ? 300   350 200 得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大. 19、解: (1)? x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2

f ( x) ? 2 ? x ? 3 ∴ f ( x) ? ( x ? 3 ) 2 . 2
2

∵ S n ? f ( S n ?1 ), (n ? 2),? S n ? f ( S n ?1 ) ? ( S n ?1 ? 3 ) ∴ S n ? ∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列. ∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ? ∴ S n ? 3n (n ? N ? ).
2

S n ?1 ? 3 , S n ? S n ?1 ? 3 ,

S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,
2 2

∴ a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3.

(2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 a n ?1 a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?


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