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四川省成都市都江堰市2016届高三上学期11月调研考试数学(文)试题 Word版含答案


9
都江堰市高 16 届 11 月调研试题
文科数学
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? { x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {0,1,2} ,则 A ? B ? ( A. {0} 2. 复数 B. {0,1} C. {0,2} D. {0,1,2} ) C.第三象限 )
频率 组距



i 在复平面上对应的点位于( 3?i
B.第二象限

A.第一象限 3.命题“若 ? ? A.若 ? ?

D.第四象限

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是( B. 若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1

?
4

,则 tan ? ? 1

C. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

D. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ? )

?
4

0.02 0.015 0.01 0.005

4. sin 20? cos 10? ? sin 70? sin 10? ? ( A. ?

3 ? 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

O

20 40 60 80 100

成绩 / 分

5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 [20,40) ,

[40,60) , [60,80) , [80,100) 。若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是(
A. 45 6. 已知双曲线 B. 50 C. 55 D. 60



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 且双曲线

的离心率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为(



x2 y2 ? ?1 27 18 x2 y2 ? ?1 C. 12 24
A.

y2 x2 ? ?1 18 27 x2 y2 ? ?1 D. 3 6
B. )

7. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 ? a 2 ? 10a1 ,a 5 ? 9 , 则 a1 ?( A.

1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9

-1-

8.执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 ,则输入 k 的值可以为( A. 6 B. 10 C. 4 D. 8

)

9. 在 ? ABC 中,内角 A, B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 a 2 ? b 2 ? 3bc , c ? 2 3b ,则 A ? ( ) A. 30 ? B. 60 ? C. 120? D. 150? )

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

8? 3

B. 3? C.

10? 3

D. 6? 11.已知函数 f ( x ) ? 2 ln x ? x 2 ? a 在 [ , e ] 上存在零点,则实数 a 的取值范围是( A.[1,

1 e



1 ? 2] e2

B.[1, e 2 ? 2]

C.[

1 ? 2, e 2 ? 2] 2 e

D.[e 2 ? 2,??)

12.若非零向量 AB 与 AC 满足 ( ( ) A.等腰直角三角形

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 ,且

AB

| AB | | AC |

?

AC

?

1 ,则 ? ABC 为 2

B.非等边的等腰三角形 第Ⅱ卷

C.等边三角形

D.直角三角形

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

?x ? 0 ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 y ? x 的取值范围为 _____ ; ?2 x ? y ? 3 ?
14 . 从 1,2,3,6 这 四 个 数 中 一 次 随 机 地 取 2 个 数 , 则 所 取 两 个 数 的 乘 积 为 6 的 概 率 为 ;

15. 一个圆经过椭圆

y2 x2 ? ? 1 错误! 未找到引用源。 的上顶点、 下顶点及右顶点三个顶点, 16 4


则该圆的标准方程为

16.抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F , 点 ( x , y ) 为该抛物线上的动点, , 又已知点 A( ?2,0) , 则 的取值范围是 .

| PA | | PF |

-2-

三.解答题:本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤。 18. (本小题满分 12 分)一次考试中, 5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文( x 分) 英语( y 分)

S1
87
86

S2
90
89

S3
91
89

S4
92
92

S5
95
94

(Ⅰ)根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (Ⅱ)若某位同学语文得分为 80 分,估计英语得分为多少?

?? ?x ? a ? ?b ? 中, b (线性回归方程 y

?(x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

?(x
i ?1

? ? y ? bx ,其中 x , y 为样本 ,a

? x)

2

? ,a ? 的值的结果保留二位小数.) 平均值, b

18.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {a n } 满足 a 2 ? 2 , a 5 ? a 3 ? 2 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ..

-3-

19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB // DC ,

P E

?ADC ? 90 ? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 ,点 E 位 PC 的中点
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ;
A

D

C

(Ⅱ)求 E 到平面 PBD 的距离。

B

20. (本题满分 12 分)已知椭圆 E : (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。

x2 b
2

?

y2 a
2

? 1(a ? b ? 0) ,离心率为

2 ,且过点 A( ?1,0) 。 2

(Ⅱ)若椭圆 E 的任意两条互相垂直的切线相较于点 P ,证明:点 P 在一个定圆上

-4-

21.已知函数 f ( x ) ?

4x 3x 2 ? 3

( x ? [0,2]) 。

(Ⅰ)求 f ( x ) 的值域; ( Ⅱ ) 设 a ? 0 , 函 数 g( x ) ?

1 3 ax ? a 2 x( x ? [0,2]) , 若 对 任 意 x1 ? [0,2] , 总 存 在 3

x 2 ? [0,2] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

-5-

请考生在 22 题、23 题、24 题中,任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一题目计分,做答时,请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线,且
BC ? 3 PB ,求

P

B

C

AB 的值。 AC

A
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

? x ? a ? 4t ? 直线 l : ? ( t 为参数) ,圆 C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴 4 ? y ? ?1 ? 2 t
重合,且单位长度相同) . (Ⅰ)求圆心 C 到直线 l 的距离; (Ⅱ)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 ,求 a 的值。 5

24。 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? a | . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x ) ? ?

1 ; 2

(Ⅱ)若存在实数 x ,使得不等式 f ( x ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

-6-

都江堰市高 16 届 11 月月考文科数学
参考答案 一.选择题: 题号 选项 1
C

2

3
C

4

5

6

7
C

8

9

10

11

12
C

B

D

B

D

D

A

B

B

二.填空题: 13. [0,3] ; 三.解答题: 17.解析: (Ⅰ) x ? 14.

1 3 25 ; 15. ( x ? ) 2 ? y 2 ? ; 16. [1, 2 ] 。 3 2 4

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91 ????????????(2 分) 5 86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 y? ? 90 ????????????????(4 分) 5

i ?1 5

? ( x i ? x ) 2 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ? 0 2 ? 1 2 ? 4 2 ? 34

5

i ?1

? ( x i ? x )( y i ? y ) ? ( ?4) ? ( ?4) ? ( ?1) ? ( ?1) ? 0 ? ( ?1) ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ? 35
? ? 35 ? 1.03 ???????????? b 34
(7 分) (8 分) (9 分) (12 分)

? x ? 90 ? 1.03 ? 91 ? ?3.73 ???????????? ? ? y?b a
? ? 1.03 x ? 3.73 ???????????? 故回归直线方程为 y
(Ⅱ)当 x ? 80 时, y ? 1.03 ? 80 ? 3.73 ? 78.67 (分) 18.解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d 由 a 2 ? 2 , a 5 ? a 3 ? 2 ,可得 a1 ? 1 , d ? 1 ????????(2 分)

?an ? n

??????????????(4 分) (5分)

(2)由 bn ? a n ? 2 n ? n ? 2 n ??????????

?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n?1



??????????(6分) (7分)

②??????????

以上两式相减,得 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?2 n ? n ? 2 n?1 ????????????(10分)

?Tn ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ?????????????????? (12分)

-7-

19.解析: (Ⅰ)证明:? 侧面 PCD ? 底面 ABCD 于 CD , PD ? 面 PCD , PD ? CD ,

? PD ? 底面 ABCD ,
? BC ? 面 ABCD

? PD ? BC
在 Rt ? ABD 中, AB ? AD ? 1 ,故 BD ? 2 , 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,故 BC ? 2 由 BC 2 ? BD2 ? CD2 ,得 BC ? BD , 又因为 PD ? BC , PD ? DB ? D 所以 BC ? 平面 PBD ??????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? 平面 PBD , E 为平面 PBD 的斜线段 PC 的中点, 故 E 到平面 PBD 的距离 d ?

1 2 | BC |? 。 2 2

20.解析: (Ⅰ)由已知 e ?

c 2 ? , b ? 1 ,则 a ? 2 , c ? 1 a 2
y2 ? 1 ??????4 分 2 y2 ? 1 相切. 2

所以椭圆的方程为 x 2 ?

(Ⅱ)设交点 P ( x 0 , y 0 ) ,过交点 P 的直线 l 与椭圆 x 2 ?

(1)当斜率不存在或等于零时,易得 P 点的坐标为 P (?1,? 2 ) ??????5 分 (2)当斜率存在且非零时,则 x 0 ? ?1 。设斜率为 k ,则直线 l : y ? k ( x ? x 0 ) ? y 0 , 与椭圆方程联立,消 y 得

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k( y0 ? kx0 ) x ? ( y0 ? kx0 ) 2 ? 2 ? 0
由 l 与椭圆相切,可得 ? ? [2k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(2 ? k 2 )[( kx0 ? y0 ) 2 ? 2 ? 0
2 2 化简,得 (1 ? x 0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? 2 ? y0 ?0



因椭圆外一点有两条直线与椭圆相切,由已知两切线垂直,故 k1 k 2 ? ?1 ,而 k1 , k 2 为方程 ①的两根,故
2 2 ? y0

1?

2 x0

2 2 ? y0 ?3 ? ?1 ,整理,得 x0

又 (?1,? 2 ) 也满足上式,故点 P 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 3 ,
-8-

即点 P 在定圆 x 2 ? y 2 ? 3 上。??????12分 21.解析: (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (0,2] 时, f ( x ) ?

4 ? 3

1 x? 1 x

∵ x?

1 ? 2 ,∴ 0 ? x

1 x? 1 x

?

1 2 2 ,∴ 0 ? f ( x ) ? 。∴ f ( x ) 的值域是 [0, ] 。 2 3 3

(Ⅱ)∵对任意 x 1 ? [0,2] ,总存在 x 2 ? [0,2] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) ? 0 , ∴ f ( x ) 的值域包含于 g ( x ) 的值域。

g ?( x ) ? ax 2 ? a 2 ( x ? [0,2]) ,
(1)当 a ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,∴ g ( x ) 在 [0,2] 上是减函数。

8a ? 2a 2 ? 0 3 8a 2 8a 此时 g ( x ) 的值域是 [ ? 2a 2 ,0] ,但 [0, ] ? [ ? 2a 2 ,0] ; 3 3 3
g( x ) max ? g(0) ? 0 , g( x ) min ? g(2) ?
(2)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 0 ? x ? a ,由 g ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a ① 当 0 ? a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, g ( x ) 在 [0, a ] 上减函数,在 [ a ,2] 上是增函数, ∴ g( x) min ? g( a ) ? g(0) ? 0 , g(2) ? ∴ g ( x ) 的值域是 [ g( a ),

8a ? 2a 2 ? g(0) ? 0 , 3

8a ? 2a 2 ] 3 2 8a 8a 2 1 若 [0, ] ? [ g( a ), ? 2a 2 ] ,则 ? 2a 2 ? ? ? a ? 1 。 3 3 3 3 3
② 当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, g ( x ) 在 [0,2] 上是减函数。此时同(1) ,是不可能的。 综上,实数 a 的取值范围是 [ , 1] 。 22.解析:∵ PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, 由切割线定理知, PA2 ? PB ? PC ? PB ? ( PB ? BC) ,又 BC ? 3 PB ∴ PA 2 ? 4 PB 2 ,即 PA ? 2PB 由 ?PAB∽ ?PCA ,∴ ??????????? 5 分 ??????????? 10 分

1 3

AB PB 1 ? ? AC PA 2

? x ? a ? 4t 23.解: (Ⅰ)把 ? 化为普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? a ? 0 ? y ? ?1 ? 2 t

????(2 分)

-9-

把 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0
5 |1 ? a | 5 3 5

??? (4 分)

?

圆心 C (1,?1) 到直线的距离为

????? (5 分)

(Ⅱ)由已知圆的半径为 2 ,弦长的一半为

?????? (7 分)

所以

(

3 5

)2 ? (

| a ? 1| 5

)2 ? 2

??????????? (8 分)

2 即 a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 2

??????????? (10 分)

?1 ( x ? 2) ? ? 24.解: (Ⅰ)∵ a ? 2 ,∴ f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ?5 ? 2 x ( 2 ? x ? 3) ? ?1 ( x ? 3) ? ?
分)

??????(1

1 ?x ? 3 ?x ? 2 ? 1 ? ?5 ? 2 x ? ? ? ∴ f ( x ) ? ? 等价于 ? 或 2 或? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? 2 ? ? ? 2 ? x ? 3 2 2 ? ? ?
解得 分)

????????(3 分)

11 11 ? x ? 3 或 x ? 3 ,所以不等式的解集为 [ ,??) 4 4

???????????

(5

(Ⅱ)由不等式性质可知 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? a |?| ( x ? 3) ? ( x ? a ) |?| a ? 3 | ?????(8 分) ∴若存在实数 x ,使得不等式 f ( x ) ? a 成立,则 | a ? 3 |? a ,解得 a ? ∴实数 a 的取值范围 ( ??, ]

3 2
(10 分)

3 2

???????????

- 10 -


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