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2016-2017学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷

2016-2017 学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题 1.下列事件是随机事件的是( A.火车开到月球上 B.在地面上向空中抛出的石子会落下 C.2018 年元旦当天杭州会下雨 D.早晨太阳从东方升起
2 + 2.若 = ,则 =( ) 9 11 7 9 7 A. B. C. D.? 9 9 9 11



3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么 sinB 的值是(
3 A. 4



B.

4 3

C.
2

4 5

D.

3 5

4.把抛物线 y=﹣x 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物 线的解析式为( A.y=﹣(x﹣1)2+3 ﹣1)2﹣3 5.如图,为测量学校旗杆的高度,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具,移动竹 竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点 A,此时,竹竿与点 A 相 距 8m,与旗杆相距 22m,则旗杆的高为( ) ) B.y=﹣(x+1)2+3 C.y=﹣(x+1)2﹣3 D.y=﹣(x

A.6m B.8.8m

C.12m D.30m )

6.一个点到圆的最大距离为 9 cm,最小距离为 3 cm,则圆的半径为( A.3 cm 或 6 cmB.6 cmC.12 cm D.12 cm 或 6 cm

7.如图,取一张长为 a,宽为 b 的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长 方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边 a、b 应满足 的条件是( )
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A.a= 2b

B.a=2b

C.a=2 2b D.a=4b

1 8.在利用图象法求方程 x2= x+3 的解 x1、x2 时,下面是四位同学 的解法: 2 1 甲:函数 y=x2﹣ x﹣3 的图象与 X 轴交点的横坐标 x1、x2; 2 1 乙:函数 y=x2 和 y= x+3 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2 1 丙:函数 y=x2﹣3 和 y= x 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2 1 丁:函数 y=x2+1 和 y= x+4 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2

你认为正确解法的同学有( A.4 位 B.3 位 C.2 位 D.1 位



9.如图,由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中,等边三角形与正方 形的边长的比值为( )

A.

6

2 2 2 10.己知抛物线 y1=﹣x +1,直线 y2=x+1,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别

B.3

C. 6 D.

3 3

为 y1、y2,若 y1≠y2,取 y1、y2 中的较小值记为 M,若 y1=y2,记 M=y1=y2,例如: 当 x=1 时,y1=0,y2=2,y1<y2,此时 M=0,下列判断: ①当 x<0 时,x 值越大,M 值越小; ②使得 M 大于 1 的 x 值不存在;
1 2 2 ③使得 M= 的 x 值是﹣ 或 ; 2 2 2 1 1 2 ④使得 M= 的 x 值是﹣ 或 , 2 2 2 其中正确的是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④
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二、选择题 11.圆心角为 110°,半径为 6 的扇形的面积是 12.若 sin60°?cosα=
3



,则锐角 α= . 4 13.如图,把△ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转 32°,得到△AB'C',恰好 B',C, C'三点在一直线上,则么∠C'= .

14.一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从 0 到 9 的自然数,若要使不知道 密码的人一次就拨对的概率小于
1 1111

,则密码的位数至少需要

位.

15.△ABC 中,∠A=38°,BD 是 AC 边上的高,且 BD2=AD?CD,则∠BCA 的度数 为 .

16.己知抛物线 y=(x﹣2)2,P 是抛物线对称轴上的一个点,直线 x=t 分别与直 线 y=x、抛物线交于点 A,B,若△ABP 是等腰直角三角形,则 t 的值为 .

三、解答题 17.如图,己知△ABC (1)用直尺和圆规作出⊙O,使⊙O 经过 A,C 两点,且圆心 O 在 AB 边上(不 写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)中,若∠CAB=30°,∠B=60°且⊙O 的半径为 1,试求出 AB 的长.

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3 18.如图,小山岗的斜坡 AC 的坡度是 ,在与山脚 C 距离 200 米的 D 处,测得 4

山顶 A 的仰角为 26.6°,求小山岗的高 AB(结果取整数) 参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50) .

19.己知:Rt△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示,点 B 的坐标为(4,2) ,P 为 OB 的中点,点 C 为折线 OAB 上的动点,线段 PC 把 Rt△OAB 分割成两部分, 问:点 C 在什么位置时,分割得到的三角形与 Rt△OAB 相似?要求在图上画出 所有符合要求的线段 PC,并求出相应的点 C 的坐标.

20.一只不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有 数字 2,3,4,x,甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球,并计算摸出 的这 2 个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验,实验 数据如下表: 摸球总次数 “和为 6”出现的频数 20 10 30 13 60 24 90 30 120 37 180 58 240 82 330 110 450 150

“和为 6”出现的频数 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题: (1)如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为 6”的频率将稳定在它的 概率附近,估计出现“和为 6”的概率是 .

(2)当 x=5 时,请用列表法或树状图法计算“和为 6”的概率 (3)判断 x=5 是否符合(1)的结论,若符合,请说明理由,若不符合,请你写 出一个符合(1)的 x 的值.
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21.大学生小韩在暑假创业,销售一种进价为 20 元/件的玩具熊,销售过程中发 现, 每周销售量少 (件) 与销售单价 x (元) 之间的关系可近似的看作一次函数: y=﹣2x+100 (1)如果小韩想要每周获得 400 元的利润,那么销售单价应定为多少元? (2)设小韩每周获得利润为 w(元) ,当销售单价定为多少元时,每周可获得利 润最大,最大利润是多少? (3) 若该玩具熊的销售单价不得高于 34 元, 如果小韩想要每周获得的利润不低 于 400 元,那么他的销售单价应定为多少? 22.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积 的一半,如图 1,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,对角线 AC=BD,且 AC⊥BD (1)求证:AB=CD; (2)若⊙O 的半径为 8,弧 BD 的度数为 120°,求四边形 ABCD 的面积; (3)如图 2,作 OM⊥BC 于 M,请猜测 OM 与 AD 的数量关系,并证明你的结 论.

23.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,Rt△ABC 的直角顶点 C 在抛物线 y=ax2+bx 上运动,斜边 AB 垂直于 y 轴,且 AB=8,∠ABC=60°,当 Rt△ABC 的斜边 AB 落 在 x 轴上时,B 点坐标是(﹣3,0) ,A 点恰在抛物线 y=ax2+bx 上 (1)求 AB 边上的高线 CD 的长; (2)求抛物线解析式; (3)Rt△ABC 在运动过程中有可能被 y 轴分成两部分,当这两部分的面积之比 为 1:2 时,求顶点 C 的坐标.

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2016-2017 学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.下列事件是随机事件的是( A.火车开到月球上 B.在地面上向空中抛出的石子会落下 C.2018 年元旦当天杭州会下雨 D.早晨太阳从东方升起 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可. 【解答】解:A、火车开到月球上是不可能事件; B、在地面上向空中抛出的石子会落下是必然事件; C、2018 年元旦当天杭州会下雨是随机事件; D、早晨太阳从东方升起是必然事件, 故选:C. 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在 一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事 件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
2 + 2.若 = ,则 =( ) 9 11 7 9 7 A. B. C. D.? 9 9 9 11



【分析】设 a=2k,进而用 k 表示出 b 的值,代入求解即可. 【解答】解:设 a=2k,则 b=9k.
+ 2 +9 11 = = , 9 9

故选 A. 【点评】 考查比例性质的计算; 得到用 k 表示的 a, b 的值是解决本题的突破点.

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3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么 sinB 的值是(
3 A. 4



B.

4 3

C.

4 5

D.

3 5

【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长,再运用锐角三角函数的定义解答. 【解答】解:∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB= 2 + 2= 32 + 42 =5, ∴sinB=
3 = . 5

故选 D. 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义, 勾股定理. 正确记忆定义是解题关键.

4.把抛物线 y=﹣x2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物 线的解析式为( A.y=﹣(x﹣1)2+3 ﹣1)2﹣3 【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论. 【解答】解:抛物线 y=﹣x2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平 移后抛物线的解析式为:y=﹣(x+1)2+3. 故选 B. 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减” 的法则是解答此题的关键. ) B.y=﹣(x+1)2+3 C.y=﹣(x+1)2﹣3 D.y=﹣(x

5.如图,为测量学校旗杆的高度,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具,移动竹 竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点 A,此时,竹竿与点 A 相 距 8m,与旗杆相距 22m,则旗杆的高为( )

A.6m B.8.8m

C.12m D.30m

【分析】 竹竿、 旗杆以及经过竹竿和旗杆顶部的太阳光线正好构成了一组相似三
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角形,利用相似三角形的对应边成比例即可求得旗杆的长. 【解答】解:如图,AD=8m,AB=30m,DE=3.2m; 由于 DE∥BC,则△ADE∽△ABC,得:
8 3.2 = ,即 = , 30

解得:BC=12m, 故选:C.

【点评】本题考查了相似三角形的应用,解题时关键是找出相似的三角形,建立 适当的数学模型来解决问题.

6.一个点到圆的最大距离为 9 cm,最小距离为 3 cm,则圆的半径为( A.3 cm 或 6 cmB.6 cmC.12 cm D.12 cm 或 6 cm



【分析】根据线段的和差,可得直径,根据圆的性质,可得答案. 【解答】解:点在圆外,圆的直径为 9﹣3=6cm,半径为 3cm, 点在圆内,圆的直径为 9+3=12cm,半径为 6cm, 故选:A. 【点评】本题考查了点于圆的位置关系,利用线段的和差得出直径是解题关键, 分类讨论,以防遗漏.

7.如图,取一张长为 a,宽为 b 的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长 方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边 a、b 应满足 的条件是( )

A.a= 2b

B.a=2b

C.a=2 2b D.a=4b
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【分析】 根据对折表示出小长方形的长和宽,再根据相似多边形的对应边成比例 列式计算即可得解.
1 【解答】解:对折两次后的小长方形的长为 b,宽为 a, 4

∵小长方形与原长方形相似,
∴ =1 ,
4

∴a=2b. 故选 B. 【点评】 本题考查了相似多边形对应边成比例的性质,准确表示出小长方形的长 和宽是解题的关键.
1 8.在利用图象法求方程 x2= x+3 的解 x1、x2 时,下面是四位同学 的解法: 2 1 甲:函数 y=x2﹣ x﹣3 的图象与 X 轴交点的横坐标 x1、x2; 2 1 乙:函数 y=x2 和 y= x+3 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2 1 丙:函数 y=x2﹣3 和 y= x 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2 1 丁:函数 y=x2+1 和 y= x+4 的图象交点的横坐标 x1、x2; 2

你认为正确解法的同学有( A.4 位 B.3 位 C.2 位 D.1 位



1 1 【分析】根据方程 x2= x+3 的解为 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 的两个根为 x1、 2 2

x2,即可求解.
1 1 【解答】解:方程 x2= x+3 的解为 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 的两个根为 x1、 2 2

x2,
1 1 对甲,函数 y=x2﹣ x﹣3 的图象与 X 轴交点的横坐标 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 2 2

的两个根为 x1、x2;
1 1 对乙,函数 y=x2 和 y= x+3 的图象交点的横坐标 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 的 2 2

两个根为 x1、x2;
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1 1 对丙,函数 y=x2﹣3 和 y= x 的图象交点的横坐标 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 的 2 2

两个根为 x1、x2;
1 1 对丁,函数 y=x2+1 和 y= x+4 的图象交点的横坐标 x1、x2,即方程 x2﹣ x﹣3=0 2 2

的两个根为 x1、x2; 故选 A. 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解,属于基础题,关键是掌握方程 的根即为函数与 x 轴的交点.

9.如图,由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中,等边三角形与正方 形的边长的比值为( )

A.

6

2 2 【分析】由题意知:三个正方形的共用顶点即为圆的圆心,也是等边三角形的重

B.3

C. 6 D.

3 3

心;可设等边三角形的边长为 2x,作等边三角形,再根据三角形重心的性质即 可得到正方形的对角线的长,求出正方形的边长,即可得出答案.

【解答】解:如图, 设圆的圆心为 O, 由题意知: 三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点 O. 过 A 作 AD⊥BC 于 D,则 AD 必过点 O,且 AO=2OD; 设△ABC 的边长为 2x,则 BD=x,AD= (2) ? 2 = 3x, OD=
3 3
2

x;
6 3

∴正方形的边长为:

x,
6 3

∴等边三角形与正方形的边长的比值是 2x:

x= 6,

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故选 C. 【点评】此题考查的知识点有:轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角 形重心的性质等知识点, 找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的 关键.

10.己知抛物线 y1=﹣x2+1,直线 y2=x+1,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别 为 y1、y2,若 y1≠y2,取 y1、y2 中的较小值记为 M,若 y1=y2,记 M=y1=y2,例如: 当 x=1 时,y1=0,y2=2,y1<y2,此时 M=0,下列判断: ①当 x<0 时,x 值越大,M 值越小; ②使得 M 大于 1 的 x 值不存在;
1 2 2 ③使得 M= 的 x 值是﹣ 或 ; 2 2 2 1 1 2 ④使得 M= 的 x 值是﹣ 或 , 2 2 2 其中正确的是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【分析】①错误.观察图象可知当 x<0 时,x 值越大,M 值越大. ②正确.因为 y1=﹣x2+1 的最大值为 1,所以使得 M 大于 1 的 x 值不存在.
1 1 2 ③错误.使得 M= 的 x 值是﹣ 或 . 2 2 2 1 2 ④正确.求出 x=﹣ 和 时 y 的值即可判断. 2 2 【解答】解:①错误.观察图象可知当 x<0 时,x 值越大,M 值越大.故①错

误. ②正确.因为 y1=﹣x2+1 的最大值为 1,所以使得 M 大于 1 的 x 值不存在,故② 正确.
1 1 2 ③错误.使得 M= 的 x 值是﹣ 或 ,故错误. 2 2 2 1 3 1 1 ④正确.∵x=﹣ 时,y1= ,y2= ,∴M= , 2 4 2 2 2 1 2 1 ∵x= 时,y1= ,y2= +1,∴M= . 2 2 2 2 故选 D.

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【点评】本题考查二次函数与不等式等知识,解题的关键是理解题意,学会画出 函数图象,利用图象解决问题,所以中考常考题型.

二、选择题 11.圆心角为 110°,半径为 6 的扇形的面积是 【分析】利用扇形的面积公式即可直接求解. 【解答】解:扇形的面积是 故答案是:11π. 【点评】本题考查了扇形的面积的计算,理解扇形的面积公式是关键.
110 ?62 360

11π .

=11π.

12.若 sin60°?cosα=

,则锐角 α= 60° . 4 【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案. 【解答】解:由题意,得 , 4 1 得 cosα= , 2
2 3

3

?coα=

3

由 α 是锐角, 得 α=60°, 故答案为:60°. 【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.

13.如图,把△ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转 32°,得到△AB'C',恰好 B',C, C'三点在一直线上,则么∠C'= 74° .
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【分析】利用旋转的性质得出 AC=AC′,以及∠CAC′的度数,再利用等腰三角形的 性质得出答案. 【解答】解:由题意可得:AC=AC′, ∵把△ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转 34°, 得到△AB′C′, 点 C 刚好落在边 B′C′上, ∴∠CAC′=32°,
1 ∴∠ACC′=∠C′= ×(180°﹣32°)=74°. 2

故答案是:74°. 【点评】 此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识,根据题意得 出 AC=AC′是解题关键.

14.一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从 0 到 9 的自然数,若要使不知道 密码的人一次就拨对的概率小于
1 1111

,则密码的位数至少需要

4

位.

【分析】 分别求出取一位数、 两位数、 三位数、 四位数时一次就拨对密码的概率,
1 再根据 所在的范围解答即可. 1111

【解答】解:解:因为取一位数时一次就拨对密码的概率为 取两位数时一次就拨对密码的概率为 取三位数时一次就拨对密码的概率为 取四位数时一次就拨对密码的概率为 故一次就拨对的概率小于 故答案为:4.
1 1111 1 100 1

1 10



; ; .

1000 1

10000

,密码的位数至少需要 4 位.

【点评】 本题考查了概率的求法与运用, 一般方法为: 如果一个事件有 n 种可能, 而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P
(A)= .
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15.△ABC 中,∠A=38°,BD 是 AC 边上的高,且 BD2=AD?CD,则∠BCA 的度数 为 52°或 128° . 【分析】根据相似三角形的判定,由已知可判定△ADB∽△BDC,进而求出∠A= ∠CBD,即可求∠BCA 的度数. 【解答】解:有两种可能:△ABC 为锐角三角形或钝角三角形时, ①当△ABC 为锐角三角形时, ∵BD2=AD?CD,
∴ = ,

∵BD 是 AC 边上的高, ∴∠ADB=∠CDB=90°, ∴△ADB∽△BDC, ∴∠A=∠CBD, ∵∠A=38°, ∴∠CBD=38°, ∴∠BCA=∠BDC﹣∠CBD=90°﹣38°=52°. ②当△ABC 为钝角三角形时, ∵BD2=AD?CD,
∴ = , ∵BD 是 AC 边上的高,

∴∠ADB=∠CDB=90°, ∴△ADB∽△BDC, ∴∠CBD=38°, ∴∠BCA=∠BDC+∠CBD=90°+38°=128°; 故答案为:52°或 128°.

【点评】 本题考查相似三角形的判定与性质;熟练掌握相似三角形的判定与性质
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是解决问题的关键,注意分类讨论.

16.己知抛物线 y=(x﹣2)2,P 是抛物线对称轴上的一个点,直线 x=t 分别与直 线 y=x、抛物线交于点 A,B,若△ABP 是等腰直角三角形,则 t 的值为 或2 ± 2或3 ± 3或
7± 17 2

0或3



【分析】首先求出抛物线与直线 y=x 的交点坐标,再分四种情形列出方程即可解 决问题. 【解答】解:由 = = 1 = 4 2 解得 = 1或 = 4, = ( ? 2)

根据的通知解三角形的性质可知当 AB=|Px﹣Ax|或 AB=2|Px﹣Ax|时,△PAB 可以 是等腰直角三角形. ①当 0<x≤1 时, (t﹣2)2﹣t=2﹣t 或(t﹣2)2﹣t=2(2﹣t) , 解得 t=2﹣ 2或 0, ②当 1<t≤2 时,t﹣(t﹣2)2=2﹣t 或 t﹣(t﹣2)2=2(2﹣t) , 解得 t=3﹣ 3或 , 2 ③当 2<t≤4 时,t﹣(t﹣2)2=(t﹣2) ,或 t﹣(t﹣2)2=2(t﹣2) , 解得 t=2+ 2或 3, ④当 t>4 时, (t﹣2)2﹣t=t﹣2 或(t﹣2)2﹣t=2(t﹣2) , 解得 t=3+ 3或
7+ 17 2 7? 17


7± 17 2

综上所述,满足条件的 t 的值为 0 或 3 或2 ± 2或3 ± 3或 故答案为 0 或 3 或2 ± 2或3 ± 3或
7± 17 2





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【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、 一元二次方程等知识, 解题的关键是学会用转化的思想思考问题,学会构建方程 解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题 17.如图,己知△ABC (1)用直尺和圆规作出⊙O,使⊙O 经过 A,C 两点,且圆心 O 在 AB 边上(不 写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)中,若∠CAB=30°,∠B=60°且⊙O 的半径为 1,试求出 AB 的长.

【分析】 (1)根据弦的垂直平分线经过圆心,可以先作出 AC 的垂直平分线,交 AB 于点 O,再以 O 为圆心,AO 长为半径画圆即可; (2 )先连接 CO ,根据∠CAB=30°,∠ B=60°,求得∠ BCO= ∠ B=60°,进而得到 BO=CO=1,即可得出 AB=2. 【解答】解: (1)如图所示,⊙O 即为所求;

(2)如图所示,连接 CO,
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∵∠CAB=30°,∠B=60°, ∴∠ACB=90°, 又∵AO=CO=1, ∴∠A=∠ACO=30°, ∴∠BCO=90°﹣30°=60°, ∴∠BCO=∠B=60°, ∴BO=CO=1, ∴AB=2. 【点评】 本题主要考查了复杂作图以及垂径定理的运用,解决此类题目的关键是 熟悉基本几何图形的性质, 结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图, 逐步操作.
3 18.如图,小山岗的斜坡 AC 的坡度是 ,在与山脚 C 距离 200 米的 D 处,测得 4

山顶 A 的仰角为 26.6°,求小山岗的高 AB(结果取整数) 参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50) .

【分析】 首先在直角三角形 ABC 中根据坡角的正切值用 AB 表示出 BC, 然后在直 角三角形 DBA 中用 BA 表示出 BD, 根据 BD 与 BC 之间的关系列出方程求解即可. 【解答】解:在直角三角形 ABC 中,
3 ∵ = , 4 4 ∴BC= . 3 在直角三角形 ADB 中,

∵tan26.6°=0.50,
∴ = 0.5. ∴BD=2AB.
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∵BD﹣BC=CD=200,
4 ∴2 ? 3 = 200.

解得:AB=300 米. ∴小山岗的高度为 300 米. 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出直 角三角形并求解.

19.己知:Rt△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示,点 B 的坐标为(4,2) ,P 为 OB 的中点,点 C 为折线 OAB 上的动点,线段 PC 把 Rt△OAB 分割成两部分, 问:点 C 在什么位置时,分割得到的三角形与 Rt△OAB 相似?要求在图上画出 所有符合要求的线段 PC,并求出相应的点 C 的坐标.

【分析】由于 C 点不确定,故分△OPC∽△OBA,△BPC∽△BOA,△OPC∽△OAB 三种情况进行讨论. 【解答】解:∵点 B 的坐标为(4,2) , ∴OA=4,AB=2,OB= 42 + 22 =2 5,OP= 5. 如图,当△OPC∽△OBA 时,
1 1 ∵ = = ,即 = = , 2 2 4 2

∴PC=1,OC=2, ∴C1(2,0) ; 当△BPC∽△BOA 时,
1 ∵ = = ,即 = = ,解得 BC=2, 2 2 4

∴AC=1﹣1=1, ∴C2(4,1) ;
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当△OPC∽△OAB 时,
5 ∴ = ,即 = ,解得 OC=2.5, 4 2 5

∴C3(2.5,0) ; 综上所述,C 点坐标为: (2,0)或(4,1)或(2.5,0) .

【点评】本题考查的是相似三角形的判定,在解答此题时要注意进行分类讨论, 不要漏解.

20.一只不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有 数字 2,3,4,x,甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球,并计算摸出 的这 2 个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复试验,实验 数据如下表: 摸球总次数 “和为 6”出现的频数 20 10 30 13 60 24 90 30 120 37 180 58 240 82 330 110 450 150

“和为 6”出现的频数 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题: (1)如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为 6”的频率将稳定在它的 概率附近,估计出现“和为 6”的概率是 0.33 .

(2)当 x=5 时,请用列表法或树状图法计算“和为 6”的概率 (3)判断 x=5 是否符合(1)的结论,若符合,请说明理由,若不符合,请你写 出一个符合(1)的 x 的值. 【分析】 (1)根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为 6”的概率即可; (2) 根据小球分别标有数字 2、 3、 4、 x, 用列表法或画树状图法说明当 x=5 时, 得出数字之和为 6 的概率,即可得出答案;
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(3)根据(1) (2)的结果可得出结论. 【解答】解: (1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率,所以出现“和 为 6”的概率是 0.33;

(2)当 x=5 时,如图,

2 1 共有 12 种情况,和是 6 的情况共 2 种,“和为 6”的概率= = ; 12 6

(3)由(2)可知 x=5 是不符合(1)的结论,当 x=2,3,4 时均符合. 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,以及列树状图法求概率,注意甲、 乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球,列出树状图是解决问题的关键.

21.大学生小韩在暑假创业,销售一种进价为 20 元/件的玩具熊,销售过程中发 现, 每周销售量少 (件) 与销售单价 x (元) 之间的关系可近似的看作一次函数: y=﹣2x+100 (1)如果小韩想要每周获得 400 元的利润,那么销售单价应定为多少元? (2)设小韩每周获得利润为 w(元) ,当销售单价定为多少元时,每周可获得利 润最大,最大利润是多少? (3) 若该玩具熊的销售单价不得高于 34 元, 如果小韩想要每周获得的利润不低 于 400 元,那么他的销售单价应定为多少? 【分析】 (1)根据“总利润=单件利润×销售量”列出方程,解方程可得; (2)根据以上关系列出函数解析式,配方成顶点式可得答案; (3)根据每周获得的利润不低于 400 元,即 w≥400 列出不等式求解可得. 【解答】解: (1)根据题意可得: (x﹣20) (﹣2x+100)=400, 解得:x=30 或 x=40,
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答:销售单价应定为 30 元或 40 元;

(2)w=(x﹣20) (﹣2x+100)=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2(x﹣35)2+450, ∴当 x=35 时,w 取得最大值,最大值为 450 元, 答:当售价为 35 元/台时,最大利润为 450 元;

(3)根据题意有: (x﹣20) (﹣2x+100)≥400, 解得:30≤x≤40, 又 x≤34, ∴30≤x≤34, 答:他的销售单价应定为 30 元至 34 元之间. 【点评】本题主要考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的应用,理解 题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系列出方程或函数解析式是解题的关键.

22.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积 的一半,如图 1,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,对角线 AC=BD,且 AC⊥BD (1)求证:AB=CD; (2)若⊙O 的半径为 8,弧 BD 的度数为 120°,求四边形 ABCD 的面积; (3)如图 2,作 OM⊥BC 于 M,请猜测 OM 与 AD 的数量关系,并证明你的结 论.

【分析】 (1)根据弦、弧、圆心角的关系证明; (2)根据弧 BD 的度数为 120°,得到∠BOD=120°,利用解直角三角形的知识求 出 BD,根据题意计算即可; (3) 连结 OB、 OC、 OA、 OD, 作 OE⊥AD 于 E, 如图 3, 根据垂径定理得到 AE=DE, 再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC,∠AOE=∠ABD,再利用等角的余角相等
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得到∠OBM=∠AOE,则可证明△BOM≌△OAE 得到 OM=AE,证明结论. 【解答】 (1)证明:∵AC=BD, ∴=, 则=, ∴AB=CD;

(2)解:连接 OB、OD,作 OH⊥BD 于 H, ∵弧 BD 的度数为 120°, ∴∠BOD=120°, ∴∠BOH=60°, OB=4 3, 2 ∴BD=8 3, 则 BH=
1 则四边形 ABCD 的面积= ×AC×BD=96; 2 3

(3)AD=2OM, 连结 OB、OC、OA、OD,作 OE⊥AD 于 E,如图 2, ∵OE⊥AD, ∴AE=DE, ∵∠BOC=2∠BAC, 而∠BOC=2∠BOM, ∴∠BOM=∠BAC, 同理可得∠AOE=∠ABD, ∵BD⊥AC, ∴∠BAC+∠ABD=90°, ∴∠BOM+∠AOE=90°, ∵∠BOM+∠OBM=90°, ∴∠OBM=∠AOE, 在△BOM 和△OAE 中,

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∠ = ∠ ∠ = ∠, = ∴△BOM≌△OAE, ∴OM=AE, ∴AD=2OM.

【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形 的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键.

23.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,Rt△ABC 的直角顶点 C 在抛物线 y=ax2+bx 上运动,斜边 AB 垂直于 y 轴,且 AB=8,∠ABC=60°,当 Rt△ABC 的斜边 AB 落 在 x 轴上时,B 点坐标是(﹣3,0) ,A 点恰在抛物线 y=ax2+bx 上 (1)求 AB 边上的高线 CD 的长; (2)求抛物线解析式; (3)Rt△ABC 在运动过程中有可能被 y 轴分成两部分,当这两部分的面积之比 为 1:2 时,求顶点 C 的坐标.

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【分析】 (1)根据直角三角形两锐角互余求出∠A=∠BCD=30°,然后根据直角三 角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 BC、 BD, 再利用勾股定理列式计算 即可得解; (2)根据点 B 的坐标和 AB 的长度求出点 A 的坐标,再求出点 C 的坐标,然后 利用待定系数法求二次函数解析式解答; (3)设 AC、AB 与 y 轴的交点分别为 E、F,再分两种情况,利用三角形 AEF 的 面积求出 AF,再表示出 DF,得到点 C 的横坐标,再根据点 C 在抛物线上,把点 C 的横坐标代入抛物线求解得到点 C 的纵坐标即可得解. 【解答】解: (1)过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ABC 中,AB=8,∠ABC=60°, ∴∠A=30°,
1 ∴BC= AB=4,AC=4 3, 2

在 Rt△BCD 中,∠ABC=60°, ∴∠ABC=60°, ∴∠BCD=30°, ∵BC=4, ∴BD=2,CD=2 3, 即:AB 边上的高线 CD 的长为 2 3; (2)由(1)知,BD=2, ∵AB=8,B(﹣3,0) , ∴A(5,0) , ∴C 的横坐标为﹣1, ∴C(﹣1,2 3) ,
第 25 页(共 27 页)

∵A(5,0) ,C(﹣1,2 3)恰在抛物线 y=ax2+bx 上, ∴ 25 + 5 = 0, ? = 2 3
3 = 3 ∴ , 5 3 = ? 3

, 3 3 (3)由(1)知,BC=4,AC=4 3, ∴抛物线解析式为 y=
1 ∴S△ABC= BC?AC=8 3, 2 1 8 3 ∴ S△ABC= , 3 3 由(1)知,BD=2,CD=2 3, 1 ∴S△BCD= BD?CD=2 3, 2 1 ∴ S△ABC>S△BCD, 3

3

2 ?

5 3

∵Rt△ABC 在运动过程中有可能被 y 轴分成两部分, 当这两部分的面积之比为 1: 2 时,y 轴只能和 AC、AB 相交,设△ABC 的边 AC、AB 与 y 轴相交于 E,F, 在 Rt△AEF 中,∠A=30°, ∴EF=AFtan30°=
3 3

AF,

1 3 ∴S△AEF= AF?EF= AF2, 2 6 1 8 3 ①当 S△AEF= S△ABC= , 3 3 3 8 3 ∴ AF2= , 6 3 ∴AF=4,

∵AD=AB﹣BD=6, ∴C 点的横坐标为﹣2, 上, 3 5 3 14 3 ∴点 C 的纵坐标为 × 4 ? × (?2)= , 3 3 3 14 3 ∴C(﹣2, ) , 3 ∵点 C 在抛物线 y=
3 3
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3

2 ?

5 3

2 16 3 ②当 S△AEF= S△ABC= , 3 3 3 16 3 ∴ AF2= , 6 3 ∴AF=4 2,

∵AD=AB﹣BD=6, ∴C 点的横坐标为 4 2﹣6, ∵点 C 在抛物线 y= ∴点 C 的纵坐标为 ∴C(4 2﹣6,
3 3 3

2 ?

5 3 3

上,
5 3 3

3 98 3?68 6 3

× (4 2 ? 6)2 ? ) .

(4 2 ? 6)=

98 3?68 6 3



14 3 98 3 68 6 即:满足条件的点 C 的坐标为(?2, 3 ),(4 2 ? 6, 3 ? 3 ).

【点评】本题是二次函数综合题型,主要利用了直角三角形两锐角互余的性质, 勾股定理的应用, 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, (2)表示出点 C 的横坐标是解题的关键, (3)难点在于利用三角形的面积求出 点 A 到 y 轴的距离,即 AF 的长度.

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