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2.3等比数列求和课件(苏教版必修5)


等比数列的 前n项和
高一数学备课组

an ?1 ? q (q ? 0) 等比数列的定义: an a3 an a2 a4 即 ? ? ??? ?? q a1 a2 a3 a n ?1
等比数列通项公式 :an ? a1q
n?1

知识回顾

(a1 ? 0, q ? 0)
?

, 等比数列的性质 : 若?a n ?是等比数列 且m ? n ? p ? q (m,n, p, q ? N )

则有am ? an ? a p ? aq

传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2 个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在 第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难,就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗?

分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒 数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是

1,2,2 ,2 ,?,2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2 3

2

3

63

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 .
62 63

问题:求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ?? 2 ? 2 .
62 63

两边同乘公比2, 得

2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ?16 ? ?? 2 ? 2 .
63 64

将上面两式列在一起,进行比较

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ?? 2 ,
63


64

2S64 ?
② - ①,得
64

2 ? 4 ? 8 ? ?? 2 ? 2 .
63



S64 ? 264 ?1
19

2 ? 1 超过了1 .84 ? 10 ,假定千粒麦子的质量为 说明: 40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王 是不可能同意发明者的要求。

等比数列: a 1,a 2,a 3,?,a n,?, 的公比为q。前 n 项和 : S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n
即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n -1

S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n -1
-)

qS n =

a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n -1 + a 1q n - a 1q n

(1-q)S n= a 1 —— 错位相减法

当 q = 1 时,S n = na 1
当 q ≠1 时,

a1 ? a1q Sn ? 1? q

n

等比数列前 n 项和公式 :

______________________________

na1 q ?1 ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? q ?1 ? 1? q ? 1? q

用比例的性质推导

an a 2 a3 a 4 因为 ? ? ??? ?q a1 a2 a3 an?1

a 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n 所以 ?q a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 S n ? a1 ?q S n ? an

a1 ? a n q Sn ? 1? q

a ( 1 ? q ) 1 或S n ? (q ? 1) 1? q
n

na1 q?1 ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? q?1 ? 1? q ? 1? q
注意:

1、使用等比数列前 n 项求和公式时
= 1 还是 q ≠ 1 应注意 q _______________

na1 q?1 ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? q?1 ? 1? q ? 1? q
① ②

2、当 q ≠1 时,若已知 a 1、q、n, 公式 ① 则选用 ____________ ; 公式 ② 若已知 a 1、q、a n,则选用 _____

? an ? a1q ? n a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? S ? ? n ? 1? q 1? q ?
n ?1

q?1

3、若 a n、a 1、n、q、S n 五个量中

二 个量。 已知____个量,可求另___



1 1 例1、求等比数列 :1、- 、 、 2 4



1 解:由题 a 1 = 1,q = - 2
1 10 1 ? (? ) 2 ? S10 ? 1 1 ? (? ) 2

1 、…… 8

前 10 项的和

2 ?1 341 ? ? 9 512 3?2
10

练习: 1. 根据下列条件,求相应的等比 数列 {an} 的 S n

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;
解: ∵a =3,q=2,n=6 1

3 ? (1 ? 2 ) ? S6 ? ? 189. 1? 2
6

1 1 (2) a1 ? 8, q ? , a n ? ; 2 2
解:

∵a1=8,

1 q= 2

1 ,an= 2

1 1 8? ? 31 2 2 ? S5 ? ? . 1 2 1? 2

例2、等比数列1, 2, 4, 8, 16, …,

求从第 5 项到第 10 项的和。 解:由题 a n = 2 n -1

法一:a 5 = 16,项数 n = 6,
16 ? (1 ? 2 ) S ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 1? 2
6

公比 q = 2

? 16? (2 ? 1)
6

= 1008

解:由题 a n = 2 n -1
法二:S = S 10 -S 4

1? 2 1? 2 ? ? 1? 2 1? 2
10

4

= 2 10 -2 4 = 1008

例3.某商场第一年销售计算机 5000台,如果平均每年的销售量 比上一年增加10%,那么从第1年 起,约几年内可使总销售量达到 30000台 (保留到个位)?

解: 根据题意,每年销售量比上一年增加
的百分率相同,所以从第一年起,每年 的销售量组成一个等比数列 a ,

? n?

a1 ? 5000 , q ? 1 ? 10 % ? 1.1, Sn ? 30000
an (1 ? q ) Sn ? 1? q
n

5000 (1 ? 1.1 ) 即 ? 30000 1 ? 1.1
n

即 1.1 ? 1.6
n

两边取对数 , 得n lg1.1 ? lg1.6

得n ? 5

答:约5年内可以使总销售量达到30000台.

课堂小结:
等比数列前 n 项和公式 :

na1 q?1 ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? q?1 ? 1? q ? 1? q
若 a n、a 1、n、q、S n 五个量中

已知三个量,可求另二个量。


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