江苏高考数学文二轮专题复习真题2.3导数及其应用

第3讲 导数及其应用 1．(2013· 江西)若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则 α＝ ________. 解析 y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α. 曲线在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入方程，得 α＝ 2. 答案 2 2．(2013· 四川改编)设函数 f(x)＝ ex＋x－a(a∈R，e 为自然对数的底数)，若存 在 b∈[0，1]，使 f(b)＝b 成立，则 a 的取值范围是________． 解析 由题意知， ex＋x－a＝x 在[0，1]上有解．∴a＝ex＋x－x2，x∈[0，1]， a′＝ex－2x＋1，当 0<x<1 时，a′＝ex－2x＋1>e0－2×1＋1＝0，∴a＝ex＋x －x2 在[0，1]上递增，当 x＝0 时，a 值范围是[1，e]． 答案 [1，e] 最小 ＝1；当 x＝1 时，a 最大＝e，故 a 的取 3．(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x)＝ex(x＞0)的图象上 的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M.过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于 点 N.设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是________． 答案 e 1 2＋2e 4． (2013· 浙江改编)已知 e 为自然对数的底数， 设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)2， 则 f(x) 在 x＝________处取到极小值． 解析 f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)， 显然 f′(1)＝0，且 x 在 1 的左边附近 f′(x)<0， x 在 1 的右边附近 f′(x)>0，∴f(x)在 x＝1 处取到极小值． 答案 1