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江苏高考数学文二轮专题复习真题2.3导数及其应用

第3讲 导数及其应用 1.(2013· 江西)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α= ________. 解析 y′=αxα-1,∴y′|x=1=α. 曲线在点(1,2)处的切线方程为 y-2=α(x-1),将点(0,0)代入方程,得 α= 2. 答案 2 2.(2013· 四川改编)设函数 f(x)= ex+x-a(a∈R,e 为自然对数的底数),若存 在 b∈[0,1],使 f(b)=b 成立,则 a 的取值范围是________. 解析 由题意知, ex+x-a=x 在[0,1]上有解.∴a=ex+x-x2,x∈[0,1], a′=ex-2x+1,当 0<x<1 时,a′=ex-2x+1>e0-2×1+1=0,∴a=ex+x -x2 在[0,1]上递增,当 x=0 时,a 值范围是[1,e]. 答案 [1,e] 最小 =1;当 x=1 时,a 最大=e,故 a 的取 3.(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上 的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M.过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于 点 N.设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 答案 e 1 2+2e 4. (2013· 浙江改编)已知 e 为自然对数的底数, 设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)2, 则 f(x) 在 x=________处取到极小值. 解析 f′(x)=(x-1)(xex+ex-2), 显然 f′(1)=0,且 x 在 1 的左边附近 f′(x)<0, x 在 1 的右边附近 f′(x)>0,∴f(x)在 x=1 处取到极小值. 答案 1

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