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复变函数第一章2008_2009._图文


课程简介 课程名称 教 复变函数 与积分变换 《积分变换》(东南大学编) 材 《复变函数》 (西交大编) 56学时 总 学 时 教师姓名 王燕 对 象 复变函数(自变量为复数的函数) 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系, 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 (共形映射)等。 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 论。 背 景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前,由于对复 数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又 得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪, J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等 人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了 复数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体 力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接 受,复变函数论才能顺利建立和发展。 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数, G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性 质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的 巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗 透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体 力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理 论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其 它分支的联系也日益密切。 目录 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 1.2 复数的几何表示 1.3 复数的乘幂与方根 1.4 区域 1.5 复变函数 1.6 复变函数的极限和连续性 1.1 复数及其代数运算 1.1.1复数的概念 在学习初等代数时,在实数范围内,方程x2=-1是无解的,由 于解方程的需要。人们引进一个新数 i ,称为虚数单位 ,并规定 为i2=-1,从而 i 是方程 x2=-1的一个根。 复数 :对于任意二实数 x , y形如 z=x+iy 或 z=x+yi的数,称为复数. 其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,记作 x=Re(z) ,y=Im(z). 当 x=0,y≠0 时,z=yi 称为纯虚数,当 y=0 时,z=x+0i=x,我们把 它看作是实数 x 。 两个复数相等,必须且只须它们的实部和虚部分别相等,一 个复数 z 等于0,必须且只须它的实部和虚部同时等于零。 实部相同而虚部为相反数的两个复数x+iy和x-iy称为共轭复数, 简称共轭数 与 z=x+iy 共轭的复数记为 z ? x ? iy ? x ? iy 1.1.2 复数的代数运算 设 z1 ? x1 ? y1i, z2 ? x2 ? y2 i, z1 ? z2 ? ( x1 ? x2 ) ? i( y1 ? y2 ) (1)复数的加(减)法 (2)复数的乘法 z1 ? z2 ? ( x1 ? iy1 )( x2 ? iy2 ) ? x1 x2 ? x1 y2 i ? y1 x2 i ? y1 y2 i 2 ? ( x1 x2 ? y1 y2

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