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复变函数第一章2008_2009._图文

课程简介 课程名称 教 复变函数 与积分变换 《积分变换》(东南大学编) 材 《复变函数》 (西交大编) 56学时 总 学 时 教师姓名 王燕 对 象 复变函数(自变量为复数的函数) 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系, 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 (共形映射)等。 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 论。 背 景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前,由于对复 数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又 得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪, J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等 人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了 复数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体 力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接 受,复变函数论才能顺利建立和发展。 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数, G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性 质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的 巨大努力,复变函数形成了非常系统的理论,且渗 透到了数学的许多分支,同时,它在热力学,流体 力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理 论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其 它分支的联系也日益密切。 目录 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 1.2 复数的几何表示 1.3 复数的乘幂与方根 1.4 区域 1.5 复变函数 1.6 复变函数的极限和连续性 1.1 复数及其代数运算 1.1.1复数的概念 在学习初等代数时,在实数范围内,方程x2=-1是无解的,由 于解方程的需要。人们引进一个新数 i ,称为虚数单位 ,并规定 为i2=-1,从而 i 是方程 x2=-1的一个根。 复数 :对于任意二实数 x , y形如 z=x+iy 或 z=x+yi的数,称为复数. 其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,记作 x=Re(z) ,y=Im(z). 当 x=0,y≠0 时,z=yi 称为纯虚数,当 y=0 时,z=x+0i=x,我们把 它看作是实数 x 。 两个复数相等,必须且只须它们的实部和虚部分别相等,一 个复数 z 等于0,必须且只须它的实部和虚部同时等于零。 实部相同而虚部为相反数的两个复数x+iy和x-iy称为共轭复数, 简称共轭数 与 z=x+iy 共轭的复数记为 z ? x ? iy ? x ? iy 1.1.2 复数的代数运算 设 z1 ? x1 ? y1i, z2 ? x2 ? y2 i, z1 ? z2 ? ( x1 ? x2 ) ? i( y1 ? y2 ) (1)复数的加(减)法 (2)复数的乘法 z1 ? z2 ? ( x1 ? iy1 )( x2 ? iy2 ) ? x1 x2 ? x1 y2 i ? y1 x2 i ? y1 y2 i 2 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? i ( x1 y2 ? y1 x2 ) (3)复数的除法 z1 x1 x2 ? y1 y2 x2 y1 ? x1 y2 ? ? i 2 2 2 2 z2 x 2 ? y2 x 2 ? y2 ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? ( x2 y1 ? x1 y2 )i 2 2 x 2 ? y2 x1 ? y1i ( x1 ? y1i )( x2 ? y2 i) (? ? x2 ? y2 i ( x2 ? y2 i( ) x2 ? y2 i) ? 复数的运算法则 z1 ? z2 ? z2 ? z1 , z1 z2 ? z2 z1 (交换律) z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ? (结合律) z1 ( z2 z3 ) ? ( z1 z2 ) z3 ? (分配律) z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 注意 一般说来,任意两个复数不能比较大小 1.1.3复数的共轭运算 根据共轭复数的定义,不难证明共轭复数具有如下性质 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; ( 2 ) z1 z2 ? z1 z2 ; (4) ? z1 ? z1 ? ?z ? ?? z ? 2? 2 (6) (3) z ? z; 2 2 2 (z2 ? 0 ); ( 5 ) zz ? ( Re z) ? ( Im z) ? z ; z-z ? 2i Im z. z? z ? 2 Re z, z1 z1 例1: 设 z1 ? 5-5i , z2 ? ?3 ? 4i , 求 与( ) z2 z2 _______ z1 5-5i (5-5i )(?3 ? 4i ) 解: ? ? z2 ? 3 ? 4i (?3 ? 4i )(?3 ? 4i ) ? 35 ? 5i 7 1 ? ? ? ? i; 25 5 5 z1 7 1 ? ( )?? ? i z2 5 5 ________ __ 1 3i 例 2: z ? - ? 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i ? ( 1 ? i) ? 3i(i) ? 1 ? i ? 3 2 ? i ( 2 ? i)( 1 ? i) ? ? ? 解:z ? i( 1 ? i) i ?1 1? i 2 ? 1 ( 3 ? i) ? Re (z) ? 3

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