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充分必要条件、充要条件


新 知 准 备
符号 与 的介绍

现有命题“若p则q”,
如果命题为真,即如果p成立 那么q一定成立, 成立, 一定成立 如果命题为真,即如果p成立,那么q一定成立, 记作 p q ,读作 “ p推出 q ”. 推出 .

如果命题为假,即如果p成立,那么q不成立, 如果命题为假,即如果 成立,那么 不成立, 成立 记作 p q ,读作 “ p推不出 q ”. 推不出 .

下面两栏中的A与 之间存在何种关系 之间存在何种关系? 下面两栏中的 与B之间存在何种关系?
(1)哪些 )哪些A (2)哪些 )哪些B (3)哪些既能 A ) B? ? A? ? B 又能 B A?

A
1 2 3 4 5

B
x 2 >0
a + b为偶数

x >0
a、b为奇数 x=2 √

两三角形全等 两三角形面积相等

ab >0 6 以a、b、c 为三 a2 + b2 = c 2 以c为最大边的三角形是RtΔ 为 边的三角形, 边的三角形, 2 7 x - 2x - 3 = 0 x = -1

x2 = 2 a >0且b >0

A
1 2 3 4 5

B
x >0
2

x >0
a、b为奇数 x=2 √

两三角形全等 两三角形面积相等 a + b为偶数

ab >0 2 2 2 6 以a、b、c 为三 a + b = c 以c为最大边的三角形是RtΔ 为 边的三角形, 边的三角形, 2 7 x - 2x - 3 = 0 x = -1
(1)A ) B : 1 A

x2 = 2 a >0且b >0

答案:(2)B )
(3)既能 A )

2 3 4 (6) 5 : 7 (6) B 又能 B A : 6

观察 1、2 、3、4

充分条件的定义
B ,我们 如果A成立时,B必然成立,即A 如果 成立时, 必然成立, 成立时 必然成立 就说, 是 成立的充分条件.(即为使 成立, 成立的充分条件.(即为使B成立 就说,A是B成立的充分条件.(即为使 成立,只 需条件A就够了 就够了) 需条件 就够了) 观察 5、7

必要条件的定义
如果B成立时, 必然成立 必然成立, 如果 成立时,A必然成立,即 B 成立时 A ,我们 就说, 是 成立的必要条件.(即为使 成立, 成立的必要条件.(即为使B成立 就说,A是B成立的必要条件.(即为使 成立,就必 须条件A成立 成立) 须条件 成立)

观察 6

充要条件的定义
如果A成立时, 必然成立 必然成立, 如果 成立时,B必然成立,即 A 成立时 成立时, 也必然成立 也必然成立, 成立时,A也必然成立,即 B 称 A . 而且B B ,而且

这时我们就说, 是B成立的充分必要条件 ,简 这时我们就说, B成立的充分必要条件 A是 A A是B的充要条件 ,记作 A 是 的充要条件 B A.

或 B

当A

B ,而且 B A . 这时我们就说, 是 的既不充分也不必要条件 这时我们就说,A是B的既不充分也不必要条件 .

例1 . 指出下列各组命题中, 是 的什么条件 的什么条件, 指出下列各组命题中,p是q的什么条件, q是p的什么条件: 的什么条件: 是 的什么条件
(1) p:x=y, q: x 2 = .2 ) : , : y

(2) p:三角形的三边相等, ) :三角形的三边相等, q:三角形的三个角相等. :三角形的三个角相等.

(1) p:x=y, q:x2=y2. ) : , :

解:由 p

q,即 x=y x2 = y2 , 知p是q的充分条件,q是 p的必要条件. 是 的充分条件 是 的必要条件

(2) p:三角形的三边均相等, ) :三角形的三边均相等, q:三角形的三个角均相等. :三角形的三个角均相等. 由 解: p q , 即三角形的三边相等 三角形的三个角相等, 的必要条件; 知p是q的充分条件,q是 p的必要条件; 是 的充分条件 是 的必要条件 反过来, 反过来, p , 由q 即三角形的三个角相等 三角形的三条边相等, 知q是p的充分条件,p是q的必要条件. 是 的充分条件 是 的必要条件 因此, 与 互为充要条件 因此,p与q互为充要条件.

用符号“ 1.用符号“ (1) x = 0 (2) xy = 0 (3) 两个角相等

”与“

填空: ”填空:

xy = 0. x = 0.
两个角是对顶角. 两个角是对顶角 两个角相等. 两个角相等

(4) 两个角是对顶角

2.下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件

(1) p:a ∈ Q ,q: a ∈ R .
Key : p 是q 的充分条件, q 是p 的必要条件 的充分条件,

(2) p:a ∈ R ,q: a ∈ Q .
Key : p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件 的必要条件,

(3) p:内错角相等,q:两直线平行. , .
Key : p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件 的充分条件,

(4) p:两直线平行,q:内错角相等. , .
Key : p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件 的充分条件,

条件的分类 (1)从逻辑推理关系来看: )从逻辑推理关系来看: ?p?q,但q?p,则p是q的充分而不必要条件; ? , 的充分而不必要条件; ? , 是 的充分而不必要条件 ?q?p,但p?q,则p是q的必要而不充分条件; ? , 的必要而不充分条件; ? , 是 的必要而不充分条件 ?p?q,且q?p,则p是q的充要条件; ? , 的充要条件; ? , 是 的充要条件 ?p?q,且q?p,则p是q的既不充分也不必要条件. ? q, 的既不充分也不必要条件. ?p, p是q的既不充分也不必要条件 (2)从集合与集合关系来看: )从集合与集合关系来看: ?若A?B,则A是B的充分条件; 的充分条件; 若 ?若A?B,则A是B的必要条件; 的必要条件; 若 ?若A=B,则A是B的充要条件; 若A=B 的充要条件; ?若A?B且B?A,则A既不是B的充分条件,也不是B 既不是B的充分条件,也不是B 若 的必要条件; 的必要条件;

四种“条件” 四种“条件”的情况反映了命题的条件与 结论之间的因果关系,所以在判断时应该: 结论之间的因果关系,所以在判断时应该: 确定条件是什么,结论是什么; ⑴确定条件是什么,结论是什么; ⑵尝试从条件推出结论,从结论推出 尝试从条件推出结论, 条件,方法有:直接证法(定义) 条件,方法有:直接证法(定义) 或间接证(逆否命题) 或间接证(逆否命题)法; 确定条件是结论的什么条件. ⑶确定条件是结论的什么条件

例2 .
指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在“充分而不 是 的什么条件 充要条件” 必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、 既不充分,也不必要 “既不充分 也不必要”中选出一种)? (1) p:(x - 2)(x - 3) = 0 ; q:x – 2 = 0. : : . (2) p:同位角相等 ; q:两直线平行. 两直线平行. : (3) p: x = 3 ; q:x2=9 . : : (4) p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形 :四边形的对角线相等, :

(1) p:(x - 2)(x - 3) = 0 ; q:x – 2 = 0. : : .

解:x – 2 = 0 :

(x – 2)(x - 3) = 0 , (x – 2)(x - 3) = 0 x – 2 = 0. . 所以p是 的必要而不充分条件 的必要而不充分条件. 所以 是q的必要而不充分条件. (2) p:同位角相等 ; q:两直线平行. : 两直线平行.

解:同位角相等 :

两直线平行. 两直线平行. 所以p是 的充要条件 的充要条件. 所以 是q的充要条件.

(3) p: x = 3 ; q:x2=9 : : x 解: = 3



x = 3, 所以p是 的充分而不必要条件 的充分而不必要条件. 所以 是q的充分而不必要条件.

x 2 = 9,x 2 = 9

(4) p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形 :四边形的对角线相等, :

解: 四边形的对角线相等

四边形是平行四边形, 四边形的对角线相等. 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等. 所以p是 的既不充分也不必要条件 的既不充分也不必要条件. 所以 是q的既不充分也不必要条件.

1. 从 “

”“

”与“

”中选出适

当的符号填空 当的符号填空: 符号

(1) x > -1 (2) x2=3x+4 (3) a=b (4) a2-2ab+b2 =0

x > 1.
x = 3x + 4 .

a+c=b+c. a=b.

充分而不必要条件” 必要而不充分条件” 2.从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、 “充要条件”中选出适当的一种填空: 充要条件”中选出适当的一种填空: (1) “ a = b ” 是 “ ac = bc ” 的 充分而不必要条件 . (2) “ 两个三角形全等 ” 是 “ 两个三角形相似 ” 的 充分而不必要条件 . (3) “ a+ 5是无理数” 是 “ a无理数 ” 是无理数” 无理数 的 充要条件 . (4) “ 四边形的两条对角线相等 ” 是 “ 四边形是矩 形 ” 必要而不充分条件 .

图 示

:灯泡L :开 关 :电 源

现规定电路中,记“开关K 闭合”为p,“灯泡L 点 亮”为q, 指出下列各电路图中p是q的什么条件?
K K

A
K

K

A
L L

L

L

(A) p 是q 的 充要条件

(B) p 是q 的 必要而不 充分条件

(C) p 是q 的 充分而不 必要条件

(D) p 是q 的既 不充分也不 必要条件

练习

1

设A是C的充分条件,B是C的充分条件,D是C的必要条件 是 的充分条件 是 的充分条件 是 的必要条件 D是B的充分条件,则 是 的充分条件 (1) D是C的什么条件? 的什么条件? 是 的什么条件 (2) A是B的什么条件? 的什么条件? 是 的什么条件 由A是C的充分条件可得,A C 解: : 由B是C的充分条件可得,B 由D是C的必要条件可得,C 由D是B的充分条件可得,D C D B B C A

因而可得, (1) D是C的充要条件. D (2) A是B的充分而不必要条件.

练习

2
2

已知“ 无实根” 已知“ p:m<- 3 , q:方程x - x - m = 0 无实根”, : 指出p是q的什么条件? 指出 是 的什么条件? 的什么条件 解:方程 x 2 - x - m = 0无实根,则 无实根, Δ= (- 1) 2–4·1· (- m) = 1 + 4m < 0 -

1 即m < ? 4
∴m < - 3

无实根. 方程 x - x - m = 0 无实根.

2

的充分条件. ∴p是q的充分条件. 是 的充分条件 ∵方程 x - x - m = 0无实根 不是q的必要条件 ∴p不是 的必要条件. 不是 的必要条件. 的充分而不必要条件. ∴综上所述,p是q的充分而不必要条件. 综上所述, 是 的充分而不必要条件
2

m < - 3,

练习

3

充分而不必要条件” 必要而不充分条件” 从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、 充要条件” 既不充分也不必要条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选出适当 的一种填空: 的一种填空: (1) “ A B ” 是 “ A∩B = A ” 的 充分而不必要条件 ∩ (2) “ x∈A ” 是 “ x∈A∩B ” 的 必要而不充分条件 (3) “ a=b=0 ” 是 “ ab=0 ” 的 充分而不必要条件 (4) “ 0<x<5 ” 是 “ | x – 2| < 5” 的 充分而不必要条件 (5) “ 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点 ” 是 ≠ 的图象过原点 “c=0”的
充要条件





练习: ≤10; 练习:已知p:-2≤x≤10;q:1-m≤x≤1+m, 的必要而不充分条件, m>0.若?p是?q的必要而不充分条件,求 的取值范围. 实数m的取值范围.


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