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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(13)(附答案)


加试模拟训练题 (13) 1 、一圆 O 切于两条平 行线 l1 , l2 , 第二个圆 O1 切 l1 于 A ,外切 O 于 C ,第三 个圆 O2 切 l2 于 B ,外切 O 于 D ,外切 O1 于 E , AD 交 BC 于 Q ,求证 Q 是 ?CDE 的外 心。 2.已知 a n ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N * ). 2 3 n 2 试证:当 n ? 2 时, a n ? 2( a a 2 a3 1 ? ? ??? ? n ) ? . 2 3 n n 3.平面上给定 4n+1 个点,任意三点不共线,证明:可以用其中的 4n 个点组成 2n 对,连接每对点的 2n 条线段至少有 n 个不同的交点. 4.1987 可以在 b 进制中写成三位数 xyz ,如果 x ? y ? z ? 1 ? 9 ? 8 ? 7 ,试确定所有 可能的 x, , y, z 和 b 。 加试模拟训练题 (13) 1、一圆 O 切于两条平行线 l1 , l2 ,第二个圆 O1 切 l1 于 A ,外切 O 于 C ,第三个圆 O2 切 l2 于 B ,外切 O 于 D ,外切 O1 于 E , AD 交 BC 于 Q ,求证 Q 是 ?CDE 的外心。 证明 由 AO1 ∥ BO2 ,知 ?AO1 E ? ?BO2 E ,从而有 ?AEO1 ? ?BEO2 ,即 A, E , B 三 点 共 线 。 同 理 由 OF ∥ BO2 , 可 得 B, D, F 三 点 共 线 。 又 因 为 1 1 ?EDB ? 180? ? ?EO2 B ? 180? ? ?AO1 E ? ?EAF , 所 以 A, E , D, F 四 点 共 圆 , 2 2 BE BA ? BD BF ,即点 B 在 O1 与 O 的根轴上。又因为 C 在 O1 与 O 的根轴上, 所以 BC 是 O1 与 O 的根轴。同理 AD 是 O2 与 O 的根轴,因此 Q 为根心,且有 QC ? QD ? QE ,即 Q 是 ?CDE 的外心。 2.已知 a n ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N * ). 2 3 n 2 试证:当 n ? 2 时, a n ? 2( a a 2 a3 1 ? ? ??? ? n ) ? . 2 3 n n 2 证明: (1) 当 n ? 2 时, 左边= a 2 ? (1 ? a 1 3 1 1 2 9 2 ) ? ; 右边= a 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2; 2 2 2 2 2 4 9 ? 2 ,所以,所证不等式成立. 4 (2)假设 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 a k ? 2( 2 a a 2 a3 1 ? ? ? ? ? ? k ) ? 成立. 2 3 k k 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? (a k ? 2 2a 1 2 1 2 ) ? ak ? k ? k ?1 k ? 1 (k ? 1) 2 2(a k ?1 ? 1 ) 1 k ?1 ? k ?1 (k ? 1) 2 a a a 1 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? ? ? k ) ? ? 2 3 k k ? 2( a a a 2 a3 a k a k ?1 a 2 a3 1 1 k 2 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? k ? k ?1 ) ? ? ? 2 ( ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2 3 k k ? 1 k (k

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