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最新高考数学(文)第五章 平面向量 5-1-1习题及答案

→ → ) 1.设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( 点击观看解答视频 → → 1 4 A.AD=- AB+ AC 3 3 → → → 1 4 B.AD= AB- AC 3 3 → → 4 1 C.AD= AB+ AC 3 3 → → 4 1 D.AD= AB- AC 3 3 答案 解析 A. 2. 已知点 A, B, C 在圆 x2+y2=1 上运动, 且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0), → → → ) B.7 D.9 B → 解析 → → → → → → → → → → → 解法一:因为 A,B,C 均在单位圆上,AC 为直径,故PA+PC=2PO= 则|PA+PB+PC|的最大值为( A.6 C.8 答案 A → → → → → → 1 1 1 1 4 由题意得AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ AC- AB=- AB+ AC,故选 3 3 3 3 3 → → → → → → → (-4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|≤2|PO|+|PB|,又|PB|≤|PO|+1=3,所 → → → 以|PA+PB+PC|≤4+3=7,故其最大值为 7,选 B. 解法二:因为 A,B,C 均在单位圆上,AC 为直径,不妨设 A(cosx,sinx), → → → B(cos(x+α),sin(x+α))(α≠kπ,k∈Z),C(-cosx,-sinx),PA+PB+PC → → → = (cos(x + α) - 6 , sin(x + α)) , | PA + PB + PC | = x+α -6]2+sin2 x+α = 37- x+α ≤7,故选 B. ) 3.对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 答案 解析 B 对 于 A 选 项 , 设 向 量 a , b 的 夹 角 为 θ , ∵ |a·b| = |a|·|b||cosθ|≤|a||b|,∴A 选项正确;对于 B 选项,∵当向量 a,b 反向时, |a-b|≥||a|-|b||,∴B 选项错误;对于 C 选项,由向量的平方等于向量模的 平方可知, C 选项正确; 对于 D 选项, 根据向量的运算法则, 可推导出(a+b)·(a -b)=a2-b2,故 D 选项正确,综上选 B. ?x,x≥y, 4.记 max{x,y}=? ?y,x<y, 面向量,则( ) ?y,x≥y, min{x,y}=? ?x,x<y, 设 a,b 为平 A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案 解析 D 在 A 中,取 a=(1,0),b=(0,0),则 min{|a+b|,|a-b|}=1,而 min{|a|,|b|}=0,不符合,即 A 错.在 B 中,设 a=b≠0,则 min{|a+b|,|a -b|}=0,而 min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即 B 错.因为|a+b|2=|a|2+ |b|2+2a·b,|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b,则当 a·b≥0 时,max{|a+b|2,|a -b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;当 a·b<0 时,max{|a+b|2,|a-b|2} =|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即总有 max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2. 故选 D. 5.设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实 λ=________. 答案 解析 1 2 由于 λa+b 与 a+2b 平行,所以存在 μ∈R,使得 λa+b=μ(a+ 2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0,因为向量 a,b 不平行,所以 λ-μ=0,1 1 -2μ=0,解得 λ=μ= . 2 → 答案 解析 → =|OA|2=32=9. 7.设 0<θ< =________. π , 向量 a=(sin2θ, cosθ), b=(cosθ, 1), 若 a ∥b , 则 tanθ 2 9 → → → → → → → → → → → 因为OA⊥AB,|OA|=3,所以OA·OB=OA·(OA+AB)=|OA|2+OA·AB → → → → 6.已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=________. 点击观看解答视频 答案 解析 1 2 由 a∥b,得 sin2θ=cos2θ,即 2sinθcosθ=cos2θ, π 1 ,所以 cosθ≠0,整得 2sinθ=cosθ.所以 tanθ= . 2 2 因为 0<θ<

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