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排列组合100题


高中数学第四册排列组合讲义
1.A , B 两队比篮球赛,每局不得成和局,规定 A 队胜三局为赢;A 队胜三场前 B 胜二局算 B 队赢,试问此比赛之所有可能情形有 种?又其中 A , B 输赢如 何? 2.有 A , B , C , D , …等身高不等的 8 人排成一横列,欲使任一较矮者不夹排在 二较高者之间之排法共有 种? 3.五种不同的颜色涂右图,相邻着异色,共有 种不同的涂法。 4. ( a ? b ? c ? d )( e ? f ? g )( x ? y ? z ? u ? v ) 的展开式中共有 项。 5.540 之正因子共有 个,其一切正因子和为 ,乘积 为 。 6.x | 36000,(x , 63)=3,25| x 之自然数 x 共有 个。 7.不同的渡船 3 艘, 每艘可载 5 人, 今有 7 人同时过渡, 有 种安全的渡法。 8.如右图,从 A 到 B 之走法中,不许走←方向的走法共有 种。 9.下列各街巷,从 A 走到 B 之快捷方式走法各有几? (1) B (2) B A A B A 10. 如右图自 A 到 B,但限定只能走↑→↓三种方向,而且道路不重复走。试问以 下情形各有几种走法? B ? (1)由 A 到 B 有 种走法。 ? (2)由 A 不经过 P 到 B 有 种走法。 ?P Q (3)由 A 不经过 Q 到 B 有 种走法。 ? A (4)由 A 不经过 P 且不经过 Q 到 B 有 种走法。 (5)由 A 经过 P 但不经过 Q 到 B 有 种走法。 11. 考虑正五边形及其所有对角线所成的图形,此图形中各线段围成之各种三角形 相似者列为一类,共有 m 类,全等者列为一类,共有 n 类,求 m= 及 n= 。总共有 个三角形。 12. 在平面上任意画不完全重合之 n 个相异圆至多有 个交点。 13. 排容原理:1 到 100 之自然数中,是 2 或 3 或 5 的倍数共有 个。 14. 千元钞 2 张, 五百元钞 3 张, 百元钞 4 张, 每次至少取一张, (1)共有 种 取法。 (2)可以配出 种不同的款项。 15. 今有五个不同的门,甲、乙两人由不同的门进入,不同的门出来,(1)自己可由 相同的门进出有 种方法。 (2)自己不可由相同的门进出有 种 方法。(3)自己必须由相同的门进出有 种方法。 16. 砝码有 1 克、2 克、4 克、8 克重各两个,则可秤 种不同的重量。 17. 砝码有 1 克、2 克、4 克、20 克重各两个,则可秤 种不同的重量,并 求这些重量的总和。 (分砝码只可放一边及两边均可放讨论) A B C D 18. 右图中 A , B , C , D , E , F 表示岛屿,连结它们的线段表示桥 梁。某人由 A 岛出发旅行,并由一岛走到另一岛。当他快要走过相 F 同桥梁两次之时, 他才停止在该岛上吃午饭。 请问他在吃午饭之前, E 他可以步行之方法有 种。 (有桥可走则不立即回头,不需每岛或每桥
1

都走过) 19. 用 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 等六个数字排成三位数,(1)数字可重复有 种。(2) 数字不可重复的偶数有 种。 (3)数字不可重复的 5 的倍数有 种。 B 20. 如右图,由 A 至 B 走快捷方式(走法 →↑↗) ,(1)其走法有 种。 ? (2)不能通过 C 点,其走法有 种。 21. 将 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 填入右图六格使右方数字 大 A B C ?C 于左方数字,上方数字大于下方数字之方 ? D E F A 法数 种。 22. 从 1 到 9876 的自然数中,数字中有 0 的数(例如 102 或 3004 等) ,共有 个。如果从 1 , 2 , 3 , …一直写到 9876 时,一共要写 个 0。 A B 23. 有一个人流浪 A , B , C , D 四镇间,此四镇相邻关系如右图。假设 每日清晨, 此人决定当日夜晚留宿该镇或改而前往相邻任一镇。 若 C D 此人第一夜宿 A 镇,则(1)第四夜宿 C 镇有 种情形。(2)第 五夜此人宿于 A 有 种情形。 24. 凸 n 边形之对角线共有 条。 25. 求下列之 n 值。(1) P 3 : P 3
n n n n n?2

? 5 : 12

。(2) P 3

n ?1

? 10 ?

18 18 n ?1 P 2 。(3) C 4 ? C n ? 2 。

(4) C m ?1 : C m : C m ? 1 ? 3 : 4 : 5 ,求 m–2n 之值。 26. A , B , C , D , E , F , G 七人排成一列,求下列各情形之排列数: (1)A , B , C 三人必相邻 种。 (2)A , B , C , D 四人中仅仅三人相邻 种。 (3)A , B , C 三人都不与 D 相邻 种。 (4)A 不排首位 种。 (5)A , B 相邻,C , D 不相邻 种。 (6)A , B , C 任二人均不相邻 种。 (7)A , B 不排首位,C , D 不排末位 种。 (8)A , B 不得相邻,C , D , E 三人相连 种。 (9)A , B 不得相邻,且 C , D , E 三人不得相连 种。 27. 有 A , B , C , D , E , F 六家,除 B 与 C 外,其余每两家均有直道相通,且无三家 在一直在线。今一人由 A 出发,访问其他五家,又返回 A,但每家不得重复访 问。共有 种不同的访问法。 28. (1)五男四女排成一列,男女相间之排法有 种。 (2)五男五女排成一列,男女相间之排法有 种。 Ans:1. 10。A 胜 4 种,B 胜 6 种。 2. 128 3. 320 4. 60 5. 24;1680;54012 6. 12 7. 2142 8. 1440 9.(1)7 (2)29 10.(1)98 (2)42 (3)34 (4)18 (5)16 11. m ? 2 , n ? 5 ;35 个 12. n 2 ? n 13. 74 14.(1)59 (2)39 15.(1)400 (2)260 (3)20 16. 30 17.一边:44,1215;两边:54,1485 18. 11 19.(1)180 (2)52 (3)36 20.(1)90 (2)26 21.5 22. 2598,2867 23.(1)7 (2)21 24. n ( n ? 3 ) / 2 25.(1)7 (2)4 or 5 (3)2 or 12 (4)-97 26.(1)720 (2)1728 (3)1440 (4)4320 (5)960 (6)1440 (7)2640 (8)432 (9)1152 27. 72 28.(1)2880 (2)28800 29. 错位排列:(1)10 人排成一列,甲一定排首位之方法有 种。
2

(2)10 人排成一列,甲不排首位之方法有 种。 (3)10 人排成一列,甲不排首,乙排第二位之方法有 种。 (4)10 人排成一列,甲不排首,乙不排第二位之方法有 种。 (5)10 人排成一列,甲不排首,乙不排第二位,丙排第三位之方法有 (6)10 人排成一列,甲不排首,乙不排第二位,丙不排第三位之方法有 30. 设 A ? { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } ? {1 , 2 , 3 , 4} ,则排成数列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 时, (1)满足 ( a 1 (2)满足 ( a 1
? 1)( a 2 ? 2 )( a 3 ? 3 )( a 4 ? 4 ) ? 0 ? 1)( a 2 ? 2 )( a 3 ? 3 )( a 4 ? 4 ) ?

种。 种。

之排法有 0 之排法有

种。 种。

31. 从 100 到 499 的自然数中,数字均相异的有 个。 32. 3000 到 8000 数字均相异之奇数共有 个。 33. 班上干部中,班长、副班长……卫生共 8 人,从此八人选出 5 人排成一列, (1)班长、副班长必参加的排列数有 种。(2)班长、副班长必选出且排在 相邻位置,其法有 种。 34. 以 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 作成的 8 位偶数共有 种。 35. 掷一枚硬币 10 次,有 种情形得到 7 次正面与 3 次反面。 36. 有 2 红球、3 白球、4 黑球,球皆相同,分给各人,每人至多一球,球必分完, 求下列各人数的分法:(1)9 人 (2)12 人。 37. 把「庭院深深深几许」七自重新排列。试求下列各排列数: (1)任意排成一列 (2)三个「深」完全排在一起 (3)恰有两个「深」连在一起 (4)三个「深」完全分开 (5)三个「深」不完全连在一起 38. 一楼至二楼共有八级楼梯,某人上楼,或跨一级,或跨二级,问有 种 不同上楼的方法。 39. 警报器长鸣一次需 3 秒,短鸣一次需 1 秒,休息(间隔)一次需 2 秒,问 30 秒 长可有 种不同的信号。 40. 甲、乙、丙、丁、戊、己等 6 人排成一列,(1)规定甲一定在乙右方之排法有 种。(2)甲在乙的左方,乙又在丙的左方的排法有 种。(3)甲在乙和丙的 左方的排法又有 种。 (本题甲、乙、丙不一定要相邻) 41. 英文字 factoring 中各字母,每次全取排列:(1)元音保持 a , o , i 顺序者有 种。(2)子音保持 f , c , t , r , n , g 顺序者有 种。(3)元音保持 a , o , i 顺序, 同时子音保持顺序 f , c , t , r , n , g 顺序者有 种。 42. 「我为人人,人人为我」八个字排成一列,使同字不相邻之排法有 种。 43. 4 个中国人,2 个美国人,2 个日本人排成一列,使同国籍的人不相邻之排法有 种。 44. 如右图,某人沿着坐标格子线的道路由 A (-3,-3) 走 y B 到 B (6 , 4),要取快捷方式:(1)走法有 种。 ? (2)每次都须经过原点,则走法有 种。 C ? (3)不经过原点之走法有 种。 (4)同时经过原点与 C 点有 种。 x (5)至少经过原点及 C 点之一有 种。 ? A (6)若必经过第二象限有 种。
3

(7)若不经过第四象限有 种。 45. 如右图 A 到 B 的快捷方式走法中不经过斜线区域者有 种。 46. 有 3 公分及 2 公分长之两种纸条,今自上往下接 10 公分长之纸条上下挂起来, 但每一连接处为 1 公分,求其连接法有 种。 47. 三个苹果、四个梨子、五个橘子分给 12 个人,每人一个,则有 种分法。 (设同类水果完全相同) 48. 有一楼梯共有 7 级,甲上楼,一步最多可跨三级楼梯。设甲一次跨一级、跨二 级、跨三级所费时间比为 3:4:5,则甲在费时最少之情形下,上楼的方法有 种。 49. 四男四女混合排一列(八个人身高都不相同) ,男生较高者必在男生较矮者之左 侧,女生较高者必在女生较矮者之左侧,其排列数有 种。 50. 右图中,这些纵横线段共可构成 个矩形(包括正方形) ; 构成 个正方形。 51. 自原点 O(0,0,0)到 P(3,3,4)沿着 x 轴、y 轴或 z 轴之平行方向行走, 设路线之每一小段长均为 1,则 (1)由 O 到 P 走快捷方式,有 种走法。 (2)由 O 到 P 走快捷方式, 但至少经过 Q(1,1,2)或 R(2,2,2)中之一点, 有 种 走法。 52. 五对夫妇围圆桌而坐 (只论左邻、 右邻) (1)任意围成一圆之坐法有 , 种。 (2)男女相间之排法有 种。(3)夫妇相邻之排法有 种。(4)夫妇相 邻且男女相间之排法有 种。(5)男女对坐共 种。 53. 四对夫妇为圆桌而坐,只论左邻、右邻,规定男女相间且夫妇不相邻之方法共 有 种。 54. 8 人围一张正方桌,每边 2 人,坐法共有 种。 55. 主人、主妇和 6 位宾客围一张长方桌,两端各坐一人,长边各坐 三人(如图) ,(1)任意坐有 种坐法。(2)主人、主妇坐在 两端有 种坐法。 (3)主人、 主妇相对而坐有 种坐 法。(4)主人、主妇在同一边且相邻有 种坐法。 56. 4 红、3 白、1 黄、4 蓝宝石的项圈排列数为 。 57. (1)用 6 种颜料涂一正方体之每边,且各面须异色,则可涂出 种不同色 彩之正立方体。(2)若由 10 种颜料来涂此正方体,有 种。 58. 用六种颜色涂一正四面体,(1)各面异色之涂法有 种。(2)相邻面可同色 之涂法有 种。 (涂法中,若经翻转后相同时,视为一种涂法) Ans:29. (1)9!=362880 (2) 10 !? 9! ? 9 ? 9! ? 3265920 (3) 9!? 8! ? 8 ? 8! =322560 (4) 10 !? 2 ? 9!? 8! ? 2943360 (5) 9!? 2 ? 8!? 7! ? 287280 (6) 10 !? 3 ? 9!? 3 ? 8!? 7! ? 2656080 30.(1)9 (2)15 31. 288 32. 1232 33.(1)2400 (2)960 34. 270 35. 120 36.(1)1260 (2)277200 37.(1)840 (2)120 (3)480 (4)240 (5)720 38. 34 39. 80 40.(1)360 (2)120 (3)240 41.(1)60480 (2)504 (3)84 42. 24 43.2304 44.(1)11440 (2)4200 (3)7240 (4)1600 (5)6800 (6)2080 (7)6280 45. 107 46. 55 47. 27720 48. 6 49. 70 50. 228;55 51.(1)4200 (2)1872 52.(1)362880 (2)2880 (3)768 (4)48 (5)46080 53. 12 54. 10080 55.(1)20160 (2)720 (3)2880 (4)1440 56. 5790 57.(1)30 (2)6300 58.(1)30 (2)141
4

59. 用六块不同色而大小相同的压克力板,(1)若均为正三角形,并成正四面体有 种。(2)若均为正方形,并成正方体有 种。 60. 由红黄二色任意涂在一正方体各面,每色可重复使用,同色可相邻,每面一色, 共 种涂法。 61. 二位数中,(1)个位数字比十位数字大者共 个。(2)十位数字比个位数字 大者共 个。 62. 用 0,1,2,3,4,5 做成四位数,大于 2300 者共有 个。 (数字不重复) 63. 用 1,2,3,4,5 等五个数字做成五位数,数字不许重复,求所有五位数之和 为 。 64. 从 3,4,5,6,7 五个数字中, 取出 4 个相异数字, 作成循环小数, 0 . 3467 、 . 5476 …, 如 0 则这些循环小数的和为 。 65. 以 0,1,2,3,4 不重复所作成三位数之总和为 。 66. 用五个数字 0,1,2,3,4 作五位数而各位数字均不相同,请问这些数如果依照由小 到大之顺序排列时,第 30 个数是 。 67. 由 1 , 2 , 3 , 4 , 5 五个数字(可重复使用)排成之三位数有 种;又数字 不可重复时,共 种。 68. 设 A={0,1,2,3},B={4,5,6},C={7,8,9},今自每一集合中至少取出一数字作四位 数,共有 个四位数。 69. 用 0 , 1 , 2 , … , 9 等十个数字, 构成数字互异的三位数中, 的倍数有 3 个。 70. 用 0 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 共七个数字,(1)全取作一七位数由个位算起,奇数位为奇 数数字有 个;(2)全取作一七位数,恰有二个 5 相邻者,有 个。 71. 卡片四张,各张正反两面分别标记 1 与 2,3 与 4,5 与 6,7 与 8,则此四张卡 片可排出 个四位数;所有四位数的总和为 个。 72. 将 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 等七个数字组成一个七位数,若将这些七位数按自然数由 小而大顺序排列时,(1)第 1234 个为 ;(2)3451276 是第 个。 73. (1)欲同时刻印从 1 到 365 的数字,需准备 个活铅字。(2)上题中,刻 0 之活字需要 个。 74. 以五种不同颜色涂右图各区, 相邻不同色, 颜色可重复使用,各有几种涂法? 75. 用红、蓝、黑三种不同颜色铅笔划四边形,若四边形之相邻两边不同颜色,共 可画出不同色彩之四边形 种。 (不考虑四边形边长、角度、旋转全等) 76. 右图中,相邻三角形不同色,5 颜色供使用,且图可旋转,(1)恰用 4 色 有 种;(2)恰用 3 色有 种;(3)恰用 2 色有 种。 77. 以 8 种不同色的颜料,分别涂下列各不固定(可移动翻转)之立体表面,各有 多少种涂法?(1)圆锥 种;(2)圆柱 种;(3)球面,但被二垂直大 圆分割成等区域的四区域 种;(4)正四面体 种;(5)直正三角柱 种。 78. 垃圾车从下图各小题之村落入口 A 进 来,从出口 B 出去,要经过所有的巷 路, 但是走过的路不能再走, 请问各小 题有几种方法?
5

79. 考虑右图,其中 A,B,C,D 为四个站,警察在巡逻时,必须走过所有 街道,但是不重复走过同一条街,因此派出所必须设在 A 站或 D 站 (Why?)。从 A 站出发要完成巡逻,共可有 种不同的巡逻路 线。

80. 上各图中,由 A 到 A 或 A 到 B 一笔画的方法各有几种? 81. 以 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 等 7 个数字做成四位数 ABCD,(1) A , B , C , D 互异者有 个;(2)A<B<C<D 者有 个;(3) A ? B ? C ? D 者有 个; (4)A+B+C+D=6 者有 个。 基本公式: P m
n

?

n n n m P ( n , m ) ? nPm , P m ? C m ? P m ? C m ? n !

Cm

n

?

Pm
m!

n

?

n ( n ? 1) ? ? ? ( n ? m ? 1) m ( m ? 1) ? ? ? 1

?

n! m !(n ? m ) !
n m

?

C n?m
?

n

巴司卡定理:设 n ? 1 , m

? 1 , n ? m ? 1 ,则 C

?

Cm

n ?1

C m ?1

n ?1

Cm

k

?

Cm

k ?1

?

Cm

k?2

? ????

Cm

k?n

?

C m ?1

k ? n ?1

?

C m ?1

k

82. 某班 50 人,选 3 人为代表,(1)含班长有 种选法;(2)不含班长有 种选法;(3)所有方法有 种。 83. 有 8 男 4 女,每 2 人一对,配成 6 对跳土风舞。若规定女生一定要与男生搭配, 共有 种配对法。 84. n , p ? Z 且 n>p,证明: 1 ? C 1
n ?1

?

C2

n ?1

?

C3

n ?1

? ? ? ? ? ? ( ? 1)

n? p

C n ? p ? ( ? 1)

n ?1

n? p

C p。

n

85. 证明:连续 n 个自然数的乘积必为 n!的倍数。 86. 一列火车从第一车到第十车共十节车厢。要指定其中三节车厢准许吸烟,则共 有 种指定法。若更要求此三节准许吸烟的车厢两两不相衔接,则共有 种指定法。 87. 甲、 丙、 戊、 庚 7 人中选出 5 人组织一委员会: 乙、 丁、 己、 (1)甲必入选有 种 选法;(2)甲必不入选有 种选法;(3)甲入选但乙不入选有 种选 法;(4)甲、乙不能同时入选有 种选法;(5)甲、乙中至少有 1 人入选有 种选法;(6)甲乙丙丁戊 5 人中至少选 4 人有 种选法。 Ans:59.(1)30 (2)30 60. 10 61.(1)36 (2)45 62. 216 63.399960 64. 200/3 65. 12990 66. 20431 67. 125,60 68. 2754 69. 228 70.(1)12 (2)204 71.384; 1919808 72.(1)2634571 (2)1730 73.(1)987 (2)66 74.6480; 8640; 3660 80; 75.18 76.(1)40(2)120(3)20 77.(1)56(2)168(3)210(4)140(5)1120 78.(1)6(2)36(3)216 79. 720 80. 8;48;384;160;192;72;864 81.(1)720 (2)15 (3)209 (4)56 82.(1) C 2
49

? 1176

(2) C 3

49

? 18424

(3) C 3

50

? 19600

83. 5040 84.略

85.略

86. 120;56 87.(1)15 (2)6 (3)5 (4)11 (5)20 (6)11
6

88. 湖边有 A , B , C 三船,A 船可容纳 3 人,B 船 2 人,C 船 1 人。今有 3 大人、2 小孩分乘三船,但小孩不会划船,共有 种乘法。 (未必每船都有人) 89. 数列 1 , 2, 3 , … , 50,今从此数列中取相异数字 a , b:(1)以 a , b 作为坐标之点 点;(2)作为小于 1 之分数 b ,全部分数有 个, ( a , b ) ,总共有 a 又全部的分数和为 。 90. 如图 L1 与 L2 在线各有 6 个点,各线点与点间格均一致, 在两条在线分别取三点连接成互不相交的三个线段, 则如 ???? 此连接法共有 种不同的配法。 ???? 91. 设有 16 个点排成如图之正方形,(1)连接这 16 个点可决定出 ???? 条直线;(2)以这些点为顶点所做的三角形有 个。 ???? 92. 如右图所示,此 10 个点可决定(1)直线 条;(2)三角 形 个。 93. 将正方形的各边 9 等分, 再将两双对边之等分点连结成两组 互相垂直之并行线 (两组各 8 条) 则矩形有 , 个,正方形有 个。 94. 以圆内接正十八边形的十八个顶点选三点作三角形,(1)共可作成 个三 角形; (2)共可作成 个直角三角形; (3)共可作成 个钝角三角形; (4)共可作成 个锐角三角形。 95. 右图中,线段围成(1)矩形有 个;(2)正方形有 个。 96. 从 1 到 30 的整数中,任意取出三个相异数,(1)其积为偶数的取法 有 种;(2)其和为 3 的倍数的取法有 种。 97. 自 mathematical 之字母中, 每次取 4 个的组合数有 种; 其 排列数有 种。 98. 五对夫妇中选出 3 人,但夫妻不得同时被选出,共有 种方法。 99. 文具店有 4 种不同式样的书签, 5 人前往,每人买一种,共有 今 种买法。 100. 某班 8 位同学去冷饮店,那里有六种饮料供选择,每人各要一种饮料,问店员 拿出饮料的方法有 种。 101. 以五种不同的酒倒入 4 个酒杯,每杯只能装一种酒,(1)若酒杯不同,共有 种倒法;(2)若酒杯相同,共有 种倒法。 102. (1)4 件相同物任意给 3 个人共有 种给法。(2)4 件相异物任意给 3 个人 共有 种给法。 (物均需给完) 103. (1)有相异 6 件玩具任意分给 4 位儿童,每个人至少一件,玩具必分完,则有 种分法。(2)若为 6 件相同玩具,则有 种分法。 104. 三个苹果,四根香蕉,五个梨子分给甲、乙、丙 3 人,每人至少得一,如果相 种水果为相同,则分法有 种。 105. 正号 ”+” 与负号 ”-” 排成一列,若两端符号相反,中间变号之个数必有奇 数个。今有 5 个”+”号,8 个”-”号排成一列。若中间有 5 次变号,如++- +---++----等,则共有 种情况。 106. 由 x , y , z 三个变数所成的(1)五次齐次多项式最多有 项;(2)五次非齐 次多项式最多 项。 107. 相异 5 封信,(1)投入甲乙丙三邮筒,有 种投法;(2)投入甲乙丙三邮 筒,每一邮筒至少一封,有 种投法。
7

108. 相同 5 封信,(1)投入甲乙丙三邮筒,有 种投法;(2)投入甲乙丙三邮 筒,每一邮筒至少一封,有 种投法。 109. x , y , z 均为正整数:(1)满足 1 ? x ? y ? z ? 10 之(x , y , z)共有 组。 (2)满足 1 ? x ? 10 , 1 ? y ? 10 , 1 ? z ? 10 共有 组。 (3)满足 1 ? x ? y ? z ? 10 之(x , y , z)共有 组。 110. (1) x ? y ? z ? u ? 10 之非负整数解共有 组。 (2) x ? y ? z ? u ? 10 之正整数解共有 组。 111. (1) x ? y ? z ? u ? 10 之非负整数解共有 组。 (2) x ? y ? z ? u ? 10 之正整数解共有 组。 (3) x ? y ? z ? u ? 10 之非负整数解共有 组。 (4) x ? y ? z ? u ? 10 之正整数解共有 组。 112. (1) x ? y ? z ? u ? 20 之正奇数解共有 组。 (2) x ? y ? z ? u ? 20 之非负偶数解有 组;正偶数解有 组。 (3) x ? y ? z ? u ? 20 且 x ? 1 , y ? 3 , z ? 2 , u ? 2 之整数解共有 组。 113.
x ? y ? z ?5

之(1)异于零之整数解有

组;(2)整数解有

组。

114. 由 1 到 1000000 的整数中有 个数其各位数字和为 13。 115. 投掷三个不同的骰子,求(1)点数和不超过 6 的情形有 种;(2)点数和 为 12 的情形有 种。 116. x y z =360 之非负整数解共有 组。 117. 将 18 本不同的课本,(1)依 6,6,6 分成三堆;(2)依 5,5,8 分成三堆;(3)依 5,6,7 分成三堆;方法数各有几? 118. 将 18 本不同的课本,分给甲、乙、丙三人(1)依 6,6,6 分;(2)依 5,5,8 分; (3)依 5,6,7 分;方法数各有几? 119. 将 6 件相同的东西任意放入 3 个相同的箱子,共有 种放法。 120. 将 6 件相同物放入 3 个相异的箱子,共有 种放法。 121. 将 6 个相异的东西, 放入 3 个相同的箱子, 各放 3 件、 件、 件, 2 1 共有 种 放法。 122. 将 6 件相异物,放入 3 个相异的箱子,各放 3 件、2 件、1 件,共有 种 放法。 Ans:88. 27 89.(1)2450 (2)1225 ; 1225/2 90. 400 91.(1)62 (2)516 92.(1)26 (2)102 93. 2025 ; 285 94.(1)816(2)144 (3)504 (4)168 95.(1)1192(2)188 96.(1)3605(2)1360 97.143;2482 98. 80 99. 1024 100. 1287 101.(1)625 (2)70 102.(1)15 (2)81 103.(1)1560 (2)10 104. 2793 105. 252 106.(1)21 (2)56 107.(1)243 (2)150 108.(1)21 (2)6 109.(1)220 (2)1000 (3)120 110.(1)286 (2)84 111.(1)210 (2)715 (3)1287 (4)126 112.(1)165 (2)286 ; 84 (3)286 113.(1)48 (2)102 114. 8232 18 12 6 18 13 8 18 13 7 115.(1)20 (2)25 116. 180 117.(1) C 6 C 6 C 6 3! (2) C 5 C 5 C 8 2! (3) C 5 C 6 C 7 118.(1) C 6 C 6 C 6 (2) C 5 C 5 C 8 (3) C 5 C 6 C 7 122. 360
8
18 12 6 18 13 8 18 13 7

119. 7 120. 28 121. 60

123. 7 个球放入三个箱子,每箱最多可放 7 球,亦可不放,问:(1)球相同,箱子相 同,有 种放法。(2)球相同,箱子相异,有 种放法。(3)球 相异,箱子相同,有 种放法。(4)球相异,箱子相异,有 种 放法。 函数常识 一、A , B 为两集合,若 A 之每一元素,在 B 中都恰有一对应元素,这种对应方式 叫做 从 A 映至 B 函数,以 f:A→B 表示(f 为函数名称) 。但注意:B 中不一 定每一元素都被对应到。 二、f:A→B,若 B 中每一元素至少为 A 中某元素之对应元素,则这个函数叫做从 A 映成至 B 或 从 A 到 B 之盖射 。(onto) 三、f:A→B,而 x1≠x2,则 f (x1)≠f (x2),即 A 中不同元素之对应元素必不同,或 说 B 中之一元素至多成为 A 中一个元素之对应元素,这种函数又叫一对一函数 或 嵌射。(1-1) 124. A={1 , 2 , 3 , 4},B={5 , 6 , 7},则(1)从 A 映至到 B 的函数共有 种; (2)从 A 到 B 的映成函数有 种;(3)从 B 映至到 A 的函数共有 种;(4)从 B 到 A 的一对一函数有 种。 125. A={1 , 2 , 3 , 4},B={1 , 2 , 3 , 4 , 5},则从 A 到 B 之函数中满足 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 4 ) 者共有 种;满足 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 4 ) 者共有 种。 126. 把 6 支不同色彩的粉笔分给 3 人,每人至少得 1 支之分法有 种。 127. 一副扑克牌共有 52 张四种花色,每种 13 张,(1)将此扑克牌平均分给甲、乙、 丙、丁四人,每人 13 张的分法有 种;(2)将此扑克排平均分为四堆, 每堆 13 张,分法有 种。 二项式定理公式 (1) ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ? ? ( x 其中 A1
?

? an ) ? x

n

? A1 x

n ?1

? A2 x

n?2

? ? ? ? ? A n ?1 x ? A n

?

ai ,

A2 ?

?
i? j

aia j ,

A3 ?

?

aia jak
n

,…,
n ?1

An ?
n?2

?
i ?1

n

ai

i ? j , j ? k ,k ? i

根与系数的关系 ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ? ? ( x ? a n ) ?

x ? B1 x
n

? B2 x
2

? ? ? ? ? B n ?1 x ? B n
2

?k
k ?1

n

?

n ( n ? 1) 2
?
n

,?
k ?1
2

n

k

2

?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6
n
2

,?
k ?1

k

3

? (? k )
k ?1

n

?

n ( n ? 1) 4

2

? aia j
i? j

1 2

[( ? a i ) ? ( ? a i ) ] , ? a k ? a m ? a m ? 1 ? a m ? 2 ? ? ? a n , m , n ? N , m ? n
k ?m

(2) (3)

(x ? y) ( x ? 1)

?

C0x

n

n

?
n

C1 x
?
n

n

n ?1

y?
n

C2x

n

n?2 n

y
2

2

? ???? ? ??? ?

Ckx
n

n

n?k

y

k

? ????
n

C n ?1 xy
n

n

n ?1

?

Cny

n

n

n

? (1 ? x )

C 0 ? C1 x ? C 2 x

Ckx

k

? ??? ?

Cnx

9

(4) C 0 ? C 1
n

n

n

?

C 2 ? ???? C n
n n

n

n

? 2 ?

n

,C 0 ? C 1
n n

n

n

?

C 2 ? C 3 ? ? ? ? ? ? ( ? 1) C n ? 0
n ?1

n

n

n

n

(5) C 0 ? C 2 ? C 4 ? ? ? ? ? C 1 (6) ( C 0 ) 2 (7) C 1
n

n

C 3 ? C 5 ? ??? ?
n 2 n

2

n

? (C )
1
n

n 2

? (C )
2
n

n 2

? ? ? ? ? (C )
n n

?
n ?1

( 2 n )! ( n! )
2

?

2 C 2 ? 3C 3 ? ? ? ? ? nC

? n?2

(可利用 ( x ? 1) n 式两边微分) x10 及 x9 , x8 的系数。 ;(2)不含 x 之项 ;

128. 求 ( x ? 1)( x ? 129. 求 ( x ?
1 3x
2

2 )( x ? 3 ) ? ? ? ( x ? 10 ) 展开式中

)

18

展开式中,(1) x6 之系数 。
? b)
2n

(3) x4 之系数 130. 设 n ? N 而 ( ax 131. 若 ( x 132.
? 1)
3 n

与 ( bx
10

? a)

2 n ?1

之展开式中 x n 之系数相等,试以 n 表示 a。 。 ,试证:

之降序展开式中,第五、六、七项之系数成 A.P.,则 n 之值可为
? 4 x ? 3)

( x ? 1)

除 (2 x 2

之余式为
3 , a n , bn ? Q

133. 设 n ? N 且 (1 ? (1) a n ?1 ? a n ? 3 b n (2) (1 ? (3) a n
2

3)

n

? a n ? bn

, b n ?1 ? a n ? b n , ? n ? N

3)

n

? a n ? bn
2

3

? 3b n

? (?2)

n

(4)求 lim

an bn
x ) ? 2 (1 ? x ) ? 3 (1 ? x ) ? ... ? 1000 (1 ? x )
2 3 1000

n ??

134. 试求 (1 ?

中 x 50 之系数

135. (1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? x 2 ) 3 ? ... ? (1 ? x 2 ) 20 之展开式中 x 4 之系数为 136. 求 1015 之值。 137. [( a ? 2 b ) 2 ? 3 c ] 5 展开式中 a 3 b 3 c 2 项的系数为 。 138. 求满足 2000
?
n n n C 1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? 3000 之正整数 n 之值
n n



139. 求下列各式之值:(1) C 0 ? 2 C 1 (2) C 0 ? 1 C 1 2
n n

? 4C

n 2

? ... ? 2

n

C n=

n

?

1 4

C 2 ? ... ?

n

1 2
n

n Cn =

Ans: 123. (1)8(2)36(3)365(4)2187 124.(1)81 (2)36 (3)64 (4)24 125. 70 ; 5 127.(1) 130. a ?
52 ! (13 ! )
4

126. 540

(2)

52 ! (13 ! ) ? 4 !
4

128. 1 ; 55 ; 1320 129.(1)
? 40 x ? 21

340 9

(2)

6188 243

(3) 0 134.
n

n ?1 2n ? 1

131. 7 or 14 132. 20 x 4

133.(4)

3

1001 ! 50 !? 951 !

135. 1330

136. 1051010100501

137. –14400 138. 11 139.(1) 3

(2) ( 3 / 2 ) n

10

140. 试证:(1) C 0 ? 1 C 1 2 (2) C 0
n

n

n

?

1 3 1

C 2 ? ... ?
n

n

1 n ?1

Cn
n

n

?

1 n ?1

(2
n

n ?1

? 1)

?

1 2

C1

n

?

1 3

C 2 ? 4 C 3 ? ? ... ? ( ? 1)
n

n

1 n ?1

Cn

?

1 n ?1

(3) C 0 ? 1 C 2 ? 1 C 4 ? ... ? n 1 1 ? 2 n 3 5 ? 5 141. ( x ? y ? z ? u ) 展开式中,(1)共有 为 142.
( 1 x ? 2 x
2 3

n

n

种不同的项;(2) x 2 y 2 z 之系数 种。 。
2

;(3) x 3 yz 之同型项有
? x )
6

展开式中 x 5 的系数为
? (2 x
2

143. 设 ( x 2

? x ? 1)

43

? 2)

101

? a 0 ? a1 x ? a 2 x

? ... ? a 202 x

202

,求

(1) a 0 = (3) a 0 ? a 2 (4) a 1 (5) a 0 144.

;(2) a 0

? a 1 ? a 2 ? ... ? a 202

=



? a 4 ? a 6 ? ... ? a 202

= ; 。



? a 3 ? a 5 ? ... ? a 201 ? a 3 ? a 6 ? ... ? a 201
10

= =
7 2

展开式中,x y z 的系数为 ;xy 3 z 2 的系数为 所有各项系数的总和为 。 145. 设 Pr 表示由 1 , 2 , 3 , … , n 中任取 r 个数乘积的和,求 1 ? P1 ? P2 ? ...
( x ? y ? z ? 1)


? Pn

=

146. 147.

(1 ? x ? x

2

? x ? x )

3

4

5

之 x 3 项系数为
n ?1

。 项之系数为 ,x n ? 2 项之系数 。
8 10 8 n

( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 ) ? ? ? ( x ? n ) 展开式中 x

为 。 148. 利用二项式定理求(49.7)4 之近似值至小数点后第 4 位
10 8 10 8 10 8 10 8 10 8 10

149. C 0 C 2 ? C 1 C 3 ? C 2 C 4 ? C 3 C 5 ? C 4 C 6 ? C 5 C 7 ? C 6 C 8 ? C m , m , n ? N ,则 m + n = 。 150.
25
68

被 13 除的余数是



Ans:140. 略 141.(1)56 (2)30 (3)12 142. –120 143.(1) ? 2 101 ? 1 (2)1 (3)0 (4)1 (5) 2 101 ? 3 50 ? (1 ? 2 44 ) / 3 144. –360 ; –12600 ; 1024 145.(n+1)! 146. 35 147. n ( n ? 1) / 2 148. 6101344.6081 149. 24 or 30 150. 1

11

排列组合综合题
1. 4 个不同的玩具,分给 6 个小朋友,每人不限个数,玩具可不分完,共 2. 4 个不同的玩具,分给 6 个小朋友,每人不限个数,玩具要分完,共 3. 4 个不同的玩具,分给 6 个小朋友,每人最多 1 个,玩具可不分完,共 4. 4 个不同的玩具,分给 6 个小朋友,每人最多 1 个,玩具要分完,共 5. 4 个相同的球,分给 6 个小朋友,每人不限个数,球可不分完,共 6. 4 个相同的球,分给 6 个小朋友,每人不限个数,球要分完,共 7. 4 个相同的球,分给 6 个小朋友,每人最多 1 个,球可不分完,共 8. 4 个相同的球,分给 6 个小朋友,每人最多 1 个,球要分完,共 9. 4 个不同的玩具,装入 6 个相同箱子,每箱不限个数,玩具可不装完,共 10. 4 个不同的玩具,装入 6 个相同箱子,每箱不限个数,玩具要装完,共 11. 4 个不同的玩具,装入 6 个相同箱子,每箱最多 1 个,玩具可不装完,共 12. 4 个不同的玩具,装入 6 个相同箱子,每箱最多 1 个,玩具要装完,共 13. 4 个相同的球,装入 6 个相同箱子,每箱不限个数,球可不装完,共 14. 4 个相同的球,装入 6 个相同箱子,每箱不限个数,球要装完,共 15. 4 个相同的球,装入 6 个相同箱子,每箱最多 1 个,球可不装完,共 16. 4 个相同的球,装入 6 个相同箱子,每箱最多 1 个,球要装完,共 17. 6 个不同的玩具,分给 4 个小朋友,每人不限个数,玩具可不分完,共 18. 6 个不同的玩具,分给 4 个小朋友,每人不限个数,玩具要分完,共 19. 6 个不同的玩具,分给 4 个小朋友,每人最多 1 个,玩具可不分完,共 20. 6 个相同的球,分给 4 个小朋友,每人不限个数,球可不分完,共 21. 6 个相同的球,分给 4 个小朋友,每人不限个数,球要分完,共 22. 6 个相同的球,分给 4 个小朋友,每人最多 1 个,球可不分完,共 23. 6 个不同的玩具,装入 4 个相同箱子,每箱不限个数,玩具可不装完,共 24. 6 个不同的玩具,装入 4 个相同箱子,每箱不限个数,玩具要装完,共 25. 6 个不同的玩具,装入 4 个相同箱子,每箱最多 1 个,玩具可不装完,共 26. 6 个相同的球,装入 4 个相同箱子,每箱不限个数,球可不装完,共 27. 6 个相同的球,装入 4 个相同箱子,每箱不限个数,球要装完,共 28. 6 个相同的球,装入 4 个相同箱子,每箱最多 1 个,球可不装完,共 Ans:1.
6

7

4

? 2401
9

2.

6

4

? 1296
6

3. 1045 4. P 4 ?

6

360

5. H

7 4

?

C4

10

? 210

6. H 4 ? C 4 ? 126 7. 57 8. C 4 ? 15 9. 52 10. 15 11. 2 4 ? 16 12. 1 13. 12 14. 5 15. 5 16. 1 17. 5 6 ? 15625 18. 4 6 ? 4096 19. 1045 10 9 5 4 4 20. H 6 ? C 6 ? 210 21. H 6 ? C 6 ? 84 22. 2 ? 16 23. 855 24. 187 25. 57 26. 28 27. 9 28. 5

12


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