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傅里叶变换及小波分析(修改后)


傅里叶变换

什么是傅里叶分析?
? 贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的

傅里叶分析 ? 时域——分析信号随时间的变化。 ? 频域——该信号中所包含的各种频率分量。

为什么要进行傅里叶分析?
? 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化

情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确 揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

? 信号频谱代表了信号在不同频率分量成分的

大小,能够提供比时域信号波形更直观,丰 富的信息。

1.周期信号的傅里叶级数

时域

频域

2.非周期信号的傅里叶变换

时域

频域

对比发现
? 周期信号其频谱为离散谱; (傅里叶级数)
? 非周期信号其频谱为连续谱;(傅里叶变换)
E? T1

Fn
2?
E?

F0 (w)

?

2?

?
0

?
2? T1

w

?

2? 0

?

2?

w

?

? 傅里叶级数:原信号是周期、连续的,经傅

里叶级数之后结果是离散的。
? 傅里叶变换:原信号是非周期、连续的,经

傅里叶变换之后,结果也是连续的。

适用于数字信号的傅里叶变换
? 傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号

而言的,那么对于数字信号而言,是否有对 应的傅里叶分析呢?答案是肯定的,这就是 离散时间傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶 变换(DFT)。

3.离散时间傅里叶变换(DTFT)
? 对非周期、离散信号的傅里叶分析称为离散

时间傅里叶变换。 ? 原信号是非周期、离散的,经离散时间傅里 叶变换后,结果是连续的。

4.离散傅里叶变换(DFT)
? 对周期、离散信号的傅里叶分析称为离散傅

里叶变换。 ? 原信号是周期、离散的,经离散傅里叶变换 后,结果是离散的。

离散傅里叶变换(DFT)的应用
? 由于计算机等数字设备只能处理数字信号,

即无论是时域还是频域,都要求是离散的。 因此,DFT在实践中占有最重要的地位。

1.在数字滤波器中应用
? 采用FFT算法技术进行滤波,则几乎可以做

到接近理想滤波器的效果,这种滤波器的特 点是利用了离散化的傅里叶变换算法,先对 信号的频谱进行分析,再根据滤波要求直接 剔除不需要的频谱,因此能很干净的滤除信 号中的干扰。

2.在汽车主动防撞雷达中应用
? 线性调频信号用于汽车主动防撞雷达中,匹

配傅里叶变换快速算法,可准确识别信号的 峰值,即使在较低信噪比条件下,仍具有较 强的信号检测和识别能力,体现了匹配傅里 叶变换快速算法的优越性。

3.汽车零部件形状精度检测诊断

4.汽车减速箱中主振源检测

傅立叶变换的局限性:
傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础, 有着非凡的意义,起着重大的作用。但是傅立 叶变换有它明显的缺陷,信号任何时刻的微小 变化会牵动整个频谱。实际信号往往是时变信 号、非平稳过程,了解它们的局部特性常常是 很重要的。人们通过预先加窗的方法即采用短 时傅立叶变换,用时间窗的一段信号来表示它 在某个时刻的特性,显然,窗越宽,时间分辨 率越差,但为提高时间分辨率而缩短窗宽时, 又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶变换不 能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。

小波变换
小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的, 作为时—频分析方法,小波分析比傅立叶分析 有着许多本质性的进步。 小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时 局部化的分析方法,无论分析低频或者高频信 号,它都能自动调节时—频窗,以适应实际分 析的需要,它在低频部分具有较高的频率分辨 率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的频率分辨率,所以被誉 为分析信号的显微镜。

小波分析基本原理
对模拟信号 f (t)的积分变换

W f ?a, b? ? ? f ?t ? ? ab ?t ?dt
R

称为小波变换,其中,

?ab(t) ? a ?(at?b)
1/ 2

是由? (t)经平移和放缩的结果,当满足一定条件 时? (t)称为允许小波函数。

允许小波函数 ? (t)应满足的条件:
? 1.要求

? ? (t )
R

2

dt ? ??

,这就要求 ? (t ) 具

有快速衰减性。
? 2.要求

? ? (t )dt ? 0
R

,表明 ? (t ) 具有波动性。

? (t )是像波一样的快速衰减函数,形如小 总之, 的波,这就是? (t ) 称为小波的原因。

构造小波的意义
小波变换在分析诊断信号有着自身的显著优势, 然而并不是每个小波都能分析处理任意的信号, 运用小波有很强的选择性,针对不同的信号需 要应用符合其条件的小波,如何选择小波是小 波研究中的热点和难点问题。

小波变换的应用
1.由前面的我们知道:对于高频谱的信息,时间间隔
要相对较小以给出比较好的精度,而对于低频谱的

信息,时间间隔要相对较宽以给出完全的信息,亦
即需要一个灵活可变的时间—频率窗,使在高“中 心频率”时自动变窄,而在低“中心频率”时自动 变宽,傅里叶变换无法达到这种要求,它只能作全 局分析,而且只对平稳信号的分析有用。

2.短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变

换不具有局部分析能力的缺陷,但它也存在着自身不可克
服的缺陷,即当窗函数确定后,矩形窗口的形状就确定了, 只能改变窗口在相平面的位置,而不能改变窗口的形状。 因此短时傅里叶变换本质上是具有单一分辨率的分析,若 要改变分辨率,则必须重新选择窗函数g(t)。因此,短时

傅里叶变换比较适合用来分析平稳信号,不适合分析非平
稳信号,在信号波形变化剧烈的时刻,主频是高频,要求 有较高的时间分辨率。而波形变化比较平缓的时刻,主频 是低频,则要求有较高的频率分辨率,短时傅里叶变换不 能兼顾两者。

3. 小波变换时一种新的变换分析方法,它继承和发展了 短时傅里叶变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不 随频率变化等缺点,能够提供一个随频率改变的时间—频 率窗口,是进行信号时频分析和处理的理想工具。他的主

要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征,因
此,小波变换在许多领域都得到了成功的应用,特别是小 波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究 中。从此,小波变换越来越引起人们的重视,其应用领域 越来越广泛,如:信号处理、图像处理、电力系统的故障诊 断等,并取得了可喜成果。

图像处理
1.基于小波变换的图像压缩
基于二维小波分析的图像压缩方法有很多, 比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、 小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析 用于图像压缩是小波应用的 一个重要方面。 一个图像做小波分解后,可得到一系列 不同 分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的 频率 是不同的。高分辨率(即高频)子图像上

大部分点的数 值都接近于 0 , 越是高频 ,这种现象越明显。对一个图
像来说, 表现一个图像的最主要的部分是低频部分 , 所 以一个最简单的 压缩方法是利用小波分解去掉高频部 分而只保留低频部分。

2.基于小波变换的图像去噪
用二维小波分析的方法对二维信号进行去噪处理 的步骤如下: (1)二维信号的小波分解 。选择一个小波和一 个小波分解的层次 N ,然后计算信号 s 到第 N 层的分解。 (2)对高频系数进行阈值量化 。对于从 1 ~ N 的每 一层 ,选择一个阈值 ,并对这一层的 高频系数进行软阈值量化处理。 (3)二维小波重构 。根据小波分解的低频系 数和经过修改的从第一层到第 N 层的各层 高频系数计算二维 信号的小波重构。 其中 ,重点是如何选取阈值和对阈值的量化。

3 基于小波变换的图像增强

小波变换将一幅图像分解为大小、 位置和方向不同 的分量。在做逆 变换之前可以改变小波变换域中 某些系数的大小,这样就能够有选 择地放大所感兴趣的分量 而减少 不需要的分量。

4 基于小波变换的图像融合
图像融合是将同一对象的两个或更多的图像 合成在一幅图像中, 使得它比合成前的任何一 幅图像都更容 易为人们所理解。图像融合分 为三个层次 :像素级融 合、特征级融合及决策 级融。 像素级融合是最低层次的融合, 也是后两级的 基础,它是将各原图像中对应的像素进行融合 处理 , 精度 比较高,因而备受人们的重视。像素级图像融 合方法大 致分为三大类:简单的图像融合方法;基于塔形分 解的 图像融合方法;基于小波 变换的图像融合方法。图像融合这一技术可运用于多频图 像理解以及医学图像处理等领域。在这些场合, 同一物体 部件的图像往往是采用不同的成像机理得到的。

电力系统的故障诊断
1 .小波变换在发电机故障诊断中的应用研究
发电机早期的故障信号较微弱 ,故障特征不明显 ,容易被噪 声所淹没,因此 如何从中提取特征信息,有效地监测故障,对及时发现早期故障是非常重要 的。调节每个节点的阈值获得尽可能大的压缩比。 并在获得较大压缩比的 同时又能不失真地重构原信号.汽车发电机组发生动静碰摩故障时振动信号 是含有丰富的高频、低频谐波分量的瞬态信号。 利用小波变换对汽轮发电 机组动静碰磨的振动故障信号进行分析 ,给出了碰磨信号在不同尺度下的 分析结果,通过多分辨分析 ,使碰磨故障特征在相应的尺度上表现出来。文 中比较了具有相似频谱特性的 2 类故障(碰摩故障和不平衡、不对中组合 故障)信号的小波变换结果 ,为汽轮发电机组碰摩故障识别提供了新思路 , 并运用小波变换对碰摩故障的准确定位进行了讨论。

2 小波变换在电动机故障诊断中的应用研究
获取描述电机运行状态的各种电气和非电气信息 ,并通过 先进的信号处理技术对能测量到的物理量进行有效地滤波 消噪和分析处理 ,取出明显的故障特征信息, 建立相应的故

障征兆对其有无故障及故障程度进行判断。利用 B 样条小
波具有对称性和线性相位等优点提出了一种滤波技术, 调 节输出信号的相位 ,使其不变或旋转 90°。 文中滤波器能 抑制信号中大部分白噪声和高次谐波 ,并将此滤波器应用 于鼠笼式电机转子断条的故障检测中。

3.变换在小波电力系统谐波分析中的应用研究
电力系统中的谐波分为 3 种: a .电网电压稳定时变压器铁心的非线性特性 和带稳定负荷时整流器产生的稳态型谐 波。谐波的 成分及幅值基本稳定不变; b .电弧炉 、电力机车等产生的动态型谐波, 谐 波成分及幅值具有明显的随机性 ; c .变流装置中半导体器件在电压波形的不同 位置处切换、变压器空载合闸及投切电 容器组所产 生的高频瞬变谐波 ,它实际上是一些暂态过程. 将小波变换应用于电力系统谐波检 测 ,通过对含有谐波的电流信号进行正交小波分解, 分析了电流信号的各个尺度上的分解结果。利用多 分辨的概念 ,将低频段(高尺度)上 的结果看作不含 有谐波基波分量。给出了定性的结果, 但没有对检测的误差及其来源 进行分析。文献[ 27] 运用小波变 换的时频域局部特性 , 阐明了将其应用于谐波检测 时产生误差的主要原因 , 提出了一种基于小波变换 的时变谐波检测方法 , 将谐波时变 幅值投影到小波 函数和尺度函数张成的子空间上, 从而把时变幅值的估计问题转化为 常系数估计, 利用最小二乘法即 可实现时变谐波的检测。

4 .小波变换在电力系统微机保护中的应用研究
小波变换在电力系统中应用的一个突出的领域,是在电力系统微机保护中的应用。 因 为微机保 护集成了数字滤波、快速算法 ,以及故障检测与诊断等方面。正确区分电力 系统振荡与故障, 在振荡中 快速检测出故障以切除故障区段 ,是输电线路保护有待改

善的重要问题之一。文献[ 16] 提出一种基于小波变换的电力系统振荡与故障的识别算
法。该算 法能正确区分纯振荡与故障, 避免保护误动, 在振荡过程中发生故障特别是 轻微故障时 ,亦能迅速识别 , 其性能优于传统的振荡闭锁方案。 输电线路短路故障产生的行波信号是一些传播 模式的混合信号 ,每种传播模式的不同 频率分量具有不同速度和衰减, 使行波在传播过程中发生畸变 , 降低了对行波准确到 达时间的判别及对行波反射波的识别能力 ,这些是影响行波法故障测距精度的重 要原 因。短路故障产生的暂态行波是一个突变的、奇异信号。文献[ 17] 提出了行波到达时 间由合适的 小波变换提取的行波特征点位置确定, 行波传播速度由输电线路结构参数 及相应小波变换分析尺度确 定的双端行波测距新方法 ,满足精确故障定位要求。


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