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导数的概念及运算 附答案


3.1 导数的概念及运算(学案) 【一.导数的意义】 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 在 x ? x0 处的导数.其几何意义为: 【二.导数的运算公式】 ① (c)? = ⑤ ( a )? =
x n ;② ( x )? =

姓名

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim

称为函数 y ? f ( x)

;③ (sin x)? = ;⑦ (log a x)? = ;

;④ (cos x)? = ;⑧ (ln x)? =

; ;

;⑥ (e )? =
x

⑨ ( )? =

1 x

;⑩ ( x )? =

【三.导数的运算法则】 ①.和差的导数: [ f ( x) ? g ( x)]? = ;②. [C ? f ( x)]? = ;其中 C 为常数。

③.积的导数:[ f ( x)?g ( x)]? = 【四.复合函数的导数】

;④.商的导数:?

? f ( x) ?? ?= ? g ( x) ?

( g ( x) ? 0) 。

设函数 u ? g ( x) 在点 x 处有导数 u x? ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu? ,则复合函 数 y ? f ( g ( x)) 在点 x 处也有导数,且 y x? =__ 【五.求导】 ______,

( 1.求导:① x ? a )? =5x4·x+x5·xln a a a
5 x

;② ? sin(2 x ?

? ?

? ??

)? = 3 ?

③?

2.已知 f(x)=x2+3x f ?(2) ,则 f ?(2) =__-2___. 3.求函数 y=(x-1)(x-2)·…·(x-100) (x>100)的导数. 解析:两边取对数得 lny=ln(x-1)+ln(x-2)+…+ln(x-100). 1 1 1 y′ 1 1 1 两边对 x 求导: = + +…+ .∴y′=?x-1+x-2+…+x-100?· y x-1 x-2 ? ? (x-1)(x-2)·…·(x x-100 -100). 【六.导数的几何意义】 1 4 4.已知曲线 y= x3+ .(1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 3 3 1 3 4 解 (1)∵y= x + ,∴y′=x2,∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率 3 3 k=y′|x=2=4 由 y-4=4(x-2),得 4x-y-4=0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x-y-4=0 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3 3

? ln x ?? ? = 2 ? x ?1?

1 3 4 A ?x0,3x0+3? ? ?
2 则切线的斜率 k=y′|x=x0=x0. 1 3 4 ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x2(x-x0), ? ? 0 2 4 即 y=x2x- x3+ 0 0 3 3 2 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2- x3+ 0 3 0 3 2 2 即 x3-3x0+4=0,∴x3+x0-4x2+4=0, 0 0 0 2 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点 P 处的切 线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最

大值是___ tmax ?

1 1 (e ? ) _____. 2 e
x x0

解析:设 P( x0 , e 0 ), 则 l : y ? e

? e x0 ( x ? x0 ),? M (0, (1 ? x0 )e x0 ) ,过点 P 作 l 的垂线


y ? e x0 ? ?e? x0 ( x ? x0 ), N (0, e x0 ? x0e ? x0 )

1 1 t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e? x0 ] ? e x0 ? x0 (e ? x0 ? e x0 ) 2 2 1 x0 1 1 t ' ? (e ? e? x0 )(1 ? x0 ) ,所以,t 在 (0,1) 上单调增,在 (1, ??) 单调减, tmax ? (e ? ) 。 2 2 e
5.已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、 b、c 的值. 解:∵y′=2ax+b, ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. ① 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上, ∴a+b+c=1, ② 4a+2b+c=-1. ③

?a=3, ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9. ?

∴实数 a b c 的值分别为 3、-11、9.

【课堂练习】 练 1.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A.-9 B.-3 C.9 D.15 3 练 2.曲线 y=x +11,求过点 P(0,13)且与曲线相切的直线方程. 解:因点 P 不在曲线上,设切点的坐标为(x0,y0),

( C

)

由 y=x3+11,∴y′=3x2,∴k=y′|x=x0=3x2. 0 y0-13 x3+11-13 0 又∵k= ,∴ =3x2. 0 x0 x0-0 3 ∴x0=-1.∴x0=-1.∴k=3,y0=10. ∴所求切线方程为 y-10=3(x+1).即 3x-y+13=0. 练 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f ′(x),f ′(0)>0,对于任意实数 x,都有 f(x)≥0,则

f (1) 的最小值为 f ?(0)
A.3 5 B. 2 C.2 3 D. 2

( C )

a 练 4.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为 ( D ) b 1 2 2 1 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 3 2 练 5.已知函数 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0), 且在点 P 处有公共切线, f(x) 则 =___2x3-8x ___,g(x)=__ 4x2-16______.

3.1 导数的概念及运算(作业) 1.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax 2 ?
3

姓名 )

A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

15 (A x ? 9 都相切,则 a 等于 4 7 25 7 C. ? 或 D. ? 或 7 4 4 64
D.a=-1,b=-1 ( B

2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0, b)处的切线方程是 x-y+1=0, 则 A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 3.若函数 f (x)= ax ? bx ? c 满足 f ′(1)=2 则 A.-1 B.-2 C.2
4 2

( A ) )

f ′(-1)等于
D.0

4.曲线 y=xsinx 在点 (?

? ?

π2 1 A. B.π2 C.2π2 D. (2+π)2 2 2 5.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2011(x)等于 A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 6.若曲线 y ? x (A)64 7.已知点 P 在曲线 y ? A.[0, 8.曲线 y ? e A.
? 1 2

直线 x=π 所围成的三角形的面积为 , ) 处的切线与 x 轴、 2 2

( A )

( D )

在点 (a, a

?

1 2

) 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ( A )
(C)16 (D)8

(B)32
x

? ) 4

4 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, ? 的取值范围是 ( D ) 则 ? e ?1 ? ? ? 3? 3? B. [ , ) C. ( , D. [ ] ,? ) 4 2 2 4 4

?2 x

? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 ( A )
(B)

1 3

1 2

(C)

2 3

(D)1 ( B )

9.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 α 的值为 A.1 的切线方程是 A. y ? 2 x ? 1
3 x

B. 2

C.-1
2

D.-2 ( A)

10.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

11.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_______ (??,0) ____. 12.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

y ? 3x ? 1



13.设 f(x)=e +x,若 f ?( x0 ) =2,则 f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为____2x-y+1=0 ____. 14.已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P、Q 分别作抛物 线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为___-4_____. 15.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为____(1,0)____. 16.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2.求直 线 l2 的方程. 解 y′=2x+1.直线 l1 的方程为 y=3x-3.设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 1 2 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2.因为 l1⊥l2,则有 2b+1=- ,b=- .所以直线 l2 的方程为 y 3 3

1 22 =- x- . 3 9 - - 17.设曲线 y=e x(x≥0)在点 M(t,e t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程;(2)求 S(t)的最大值. - - [解析] (1)因为 f ′(x)=(e x)′=-e x, - 所以切线 l 的斜率为-e t, -t - 故切线 l 的方程为 y-e =-e t(x-t), - - 即 e tx+y-e t(t+1)=0. - (2)令 y=0 得 x=t+1,又令 x=0 得 y=e t(t+1),

∵t≥0,∴t+1>0,e t(t+1)>0, 1 1 - - ∴S(t)= (t+1)· t(t+1)= (t+1)2e t, e 2 2 1 - 从而 S′(t)= e t(1-t)(1+t). 2 ∵当 t∈(0,1)时,S′(t)>0, 2 当 t∈(1,+∞)时,S′(t)<0,所以 S(t)的最大值为 S(1)= . e 1 2 2 18.已知定义在正实数集上的函数 f(x)= x +2ax,g(x)=3a lnx+b,其中 a>0.设两曲线 y=f(x),y 2 =g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (2)求证:f(x)≥g(x) (x>0). [解析] (1)设 y=f(x)与 y=g(x)(x>0)的公共点为(x0,y0),∴x0>0. 3a2 ∵f ′(x)=x+2a,g ′(x)= , x 由题意 f(x0)=g(x0),且 f ′(x0)=g ′(x0). 1 2 x +2ax0=3a2lnx0+b 2 0 ∴ , 3a2 x0+2a= x0 3a2 由 x0+2a= 得 x0=a 或 x0=-3a(舍去). x0 1 2 5 则有 b= a +2a2-3a2lna= a2-3a2lna. 2 2 5 2 2 令 h(a)= a -3a lna (a>0), 2 则 h′(a)=2a(1-3lna). 1 由 h′(a)>0 得,0<a<e , 3 1 由 h′(a)<0 得,a>e . 3 1 1 故 h(a)在(0,e )为增函数,在(e ,+∞)上为减函数, 3 3



? ? ?

1 1 3 2 ∴h(a)在 a=e 时取最大值 h(e )= e . 3 3 2 3 1 2 (2)设 F(x)=f(x)-g(x)= x +2ax-3a2lnx-b(x>0), 2 3a2 ?x-a??x+3a? 则 F′(x)=x+2a- = (x>0). x x 故 F(x)在(0,a)为减函数,在(a,+∞)为增函数, 于是函数 F(x)在(0,+∞)上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故当 x>0 时,有 f(x)-g(x)≥0, 即当 x>0 时,f(x)≥g(x). 19.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解析:(1)∵f ′(x)=3x2+1, ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f ′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13x-32. (2)解法 1:设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)=3x02+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16, 又∵直线 l 过原点(0,0),∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16, 整理得,x03=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 解法 2:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x03+x0-16 则 k= = , x0 x0-0 x03+x0-16 2 又∵k=f ′(x0)=3x0 +1,∴ =3x02+1, x0 解之得,x0=-2,∴y0=-26,k=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4. 设切点坐标为(x0,y0),则 f ′(x0)=3x02+1=4, ?x0=1 ?x0=-1 ? ? ∴x0=± 1,∴? ,或? . ? ? ?y0=-14 ?y0=-18 ∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为 y=4x-18 或 y=4x-14.


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