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2015年天津市高考数学试题及答案(理科)【解析版】


2015 年天津市高考数学试卷(理科)
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?天津)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6}, 集合 B={1,3,4,6,7},则集合 A∩?UB=( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可; 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6}, 集合 B={1,3,4,6,7}, ∴?UB={2,5,8}, 则 A∩?UB={2,5}. 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
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2. (5 分) (2015?天津)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+6y 的

最大值为( A.3

) B.4 C.18 D.40

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最 大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) .
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由 z=x+6y 得 y=﹣ x+ z, 平移直线 y=﹣ x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A 时,直线 y=﹣ x+ z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(0,3)

将 A(0,3)的坐标代入目标函数 z=x+6y, 得 z=3×6=18.即 z=x+6y 的最大值为 18. 故选:C.
1

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 3. (5 分) (2015?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )

A.﹣10

B.6

C.14

D.18

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=8 时满足条件 i>5,退 出循环,输出 S 的值为 6. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=20,i=1 i=2,S=18 不满足条件 i>5,i=4,S=14 不满足条件 i>5,i=8,S=6 满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 6. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 i,S 的值是解题的 关键,属于基础题.
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2

4. (5 分) (2015?天津)设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x +x﹣2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由“|x﹣2|<1”得 1<x<3, 2 由 x +x﹣2>0 得 x>1 或 x<﹣2, 2 即“|x﹣2|<1”是“x +x﹣2>0”的充分不必要条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.
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2

5. (5 分) (2015?天津)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经 过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )

A.

B.3

C.

D.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 由相交弦定理求出 AM,再利用相交弦定理求 NE 即可. 解答: 解:由相交弦定理可得 CM?MD=AM?MB, ∴2×4=AM?2AM, ∴AM=2, ∴MN=NB=2, 又 CN?NE=AN?NB, ∴3×NE=4×2,
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∴NE= . 故选:A. 点评: 本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.

6. (5 分) (2015?天津)已知双曲线 且双曲线的一个焦点在抛物线 y =4
2



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, )

) ,

x 的准线上,则双曲线的方程为(

3

A. ﹣ C. ﹣ =1 =1

B. ﹣ D. ﹣ =1 =1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴上 的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双 曲线的标准方程. 解答: 解:由题意, = ,
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∵抛物线 y =4 x 的准线方程为 x=﹣ 准线上, ∴c= , 2 2 2 ∴a +b =c =7, ∴a=2,b= , ∴双曲线的方程为 .

2

,双曲线的一个焦点在抛物线 y =4

2

x的

故选:D. 点评: 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基 础题. 7. (5 分) (2015?天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数, 记 a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. |x| 分析: 根据 f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而 f(x)=2 ﹣1,这样便知道 f(x)在[0,+∞) 上单调递增, 根据 ( f x) 为偶函数, 便可将自变量的值变到区间[0, +∞) 上: a=f (|log0.53|) , b=f(log25) ,c=f(0) ,然后再比较自变量的值,根据 f(x)在[0,+∞)上的单调性 即可比较出 a,b,c 的大小. 解答: 解:∵f(x)为偶函数; ∴f(﹣x)=f(x) ;
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|x﹣m|

∴2 ﹣1=2 ﹣1; ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|; 2 2 (﹣x﹣m) =(x﹣m) ; ∴mx=0; ∴m=0; |x| ∴f(x)=2 ﹣1;
4

|﹣x﹣m|

|x﹣m|

∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且 a=f(|log0.53|)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f (0) ; ∵0<log23<log25; ∴c<a<b. 故选:C. 点评: 考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自 变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应 用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用.

8. (5 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=b﹣f(2﹣x) ,

其中 b∈R,若函数 y=f(x)﹣g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( ) A. B. C. D. ( ,+∞) (﹣∞, ) (0, ) ( ,2)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 创新题型;函数的性质及应用. 分析: 求出函数 y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数 h(x)=f(x)+f(2﹣x) ,作出函数 h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可. 解答: 解:∵g(x)=b﹣f(2﹣x) , ∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣b+f(2﹣x) , 由 f(x)﹣b+f(2﹣x)=0,得 f(x)+f(2﹣x)=b, 设 h(x)=f(x)+f(2﹣x) , 若 x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,
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则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x , 若 0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若 x>2,﹣x<0,2﹣x<0, 2 2 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2) +2﹣|2﹣x|=x ﹣5x+8.

2

即 h(x)=



作出函数 h(x)的图象如图: 当 x≤0 时,h(x)=2+x+x =(x+ ) + ≥ , 当 x>2 时,h(x)=x ﹣5x+8=(x﹣ ) + ≥ , 故当 b= 时,h(x)=b,有两个交点, 当 b=2 时,h(x)=b,有无数个交点, 由图象知要使函数 y=f(x)﹣g(x)恰有 4 个零点, 即 h(x)=b 恰有 4 个根,
5
2 2 2 2

则满足 <b<2, 故选:D.

点评: 本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解 决本题的关键. 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) (2015?天津)i 是虚数单位,若复数(1﹣2i) (a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 ﹣2 . 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值. 解答: 解:由(1﹣2i) (a+i)=(a+2)+(1﹣2a)i 为纯虚数,
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,解得:a=﹣2.

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题. 10. (5 分) (2015?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m.
3

6

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出 它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体, 且圆柱底面圆的半径为 1,高为 2,圆锥底面圆的半径为 1,高为 1; ∴该几何体的体积为
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V 几何体=2× π?1 ×1+π?1 ?2 = π. 故答案为: π. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.
2

2

2

11. (5 分) (2015?天津)曲线 y=x 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为 1,从而利用定 积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 1,积分下限为 0
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直线 y=x 与曲线 y=x 所围图形的面积 S=∫0 (x﹣x )dx 而∫0 (x﹣x )dx=( ∴曲边梯形的面积是 . 故答案为: .
1 2

2

1

2

)|0 = ﹣ =

1

点评: 本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用 定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数.

7

12. (5 分) (2015?天津)在(x﹣

) 的展开式中,x 的系数为

6

2



考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 2 分析: 在二项展开式的通项公式中, 令 x 的幂指数等于 2, 求出 r 的值, 即可求得 x 的系数. 解答: 6 6﹣r r r 6 解: (x﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= ?(x) ?(﹣ ) =(﹣ ) ? ?x
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﹣2r


2

令 6﹣2r=2,解得 r=2,∴展开式中 x 的系数为 故答案为: .

×

=



点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题. 13. (5 分) (2015?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ ABC 的面积为 3 ,b﹣c=2,cosA=﹣ ,则 a 的值为 8 .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 cosA=﹣ ,A∈(0,π) ,可得 sinA=
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.利用 S△ ABC=
2 2 2

=



化为 bc=24,又 b﹣c=2,解得 b,c.由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA 即可得出. 解答: 解:∵A∈(0,π) ,∴sinA= = . ∵S△ ABC= = bc= ,化为 bc=24,

又 b﹣c=2,解得 b=6,c=4. 由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=36+16﹣48×
2 2 2

=64.

解得 a=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 14. (5 分) (2015?天津) 在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB∥DC, AB=2, BC=1, ∠ABC=60°. 动 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 且 =λ , = , 则 ? 的最小值为 .

考 平面向量数量积的运算. 点:

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8

专 创新题型;平面向量及应用. 题: 分 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 λ 的代数式, 根据具体的 析: 形式求最值. 解 解:由题意,得到 AD=BC=CD=1,所以 ? =( )?( )=( ) 答: ?( = 1×cos120° =1+ + ﹣ . ≥ + = (当且仅当 时等号成立) ; ) =2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+ ×2×1+ ×1×

故答案为:

点 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是 评: 正确表示所求,利用基本不等式求最小值. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (13 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=sin x﹣sin (x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣ , ]内的最大值和最小值.
2 2

) ,x∈R.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由三角函数公式化简可得 f(x)=﹣ sin(2x﹣ ) ,由周期公式可得;
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(Ⅱ)由 x∈[﹣



]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值. )

解答: 2 2 解: (Ⅰ)化简可得 f(x)=sin x﹣sin (x﹣ = (1﹣cos2x)﹣ [1﹣cos(2x﹣ = (1﹣cos2x﹣1+ cos2x+ = (﹣ cos2x+ = sin(2x﹣ ) =π; sin2x) )]

sin2x)

∴f(x)的最小正周期 T=

9

(Ⅱ)∵x∈[﹣ ∴sin(2x﹣



],∴2x﹣

∈[﹣



], )∈[﹣ , ], ,﹣

)∈[﹣1, ,

],∴ sin(2x﹣

∴f(x)在区间[﹣

]内的最大值和最小值分别为

点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角函数的周期性和最值,属基础题. 16. (13 分) (2015?天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员 组队参加,现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中 种子选手 3 名,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ) 利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数, 然后利用古典概型概率 计算公式得答案; (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,由古典概型概率计算公式求得概 率,列出分布列,代入期望公式求期望. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,有 P(A)= ,
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∴事件 A 发生的概率为



(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=k)= (k=1,2,3,4) .

∴随机变量 X 的分布列为: X 1 2 3 4 P 随机变量 X 的数学期望 E(X)= .

点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,是中档题. 17. (13 分) (2015?天津)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD, AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD= ,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ABCD (Ⅱ)求二面角 D1﹣AC﹣B1 的正弦值;

10

(Ⅲ)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,以 AC、AB、AA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系,通过平
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面 ABCD 的一个法向量与

的数量积为 0,即得结论;

(Ⅱ)通过计算平面 ACD1 的法向量与平面 ACB1 的法向量的夹角的余弦值及平方关 系即得结论; (Ⅲ) 通过设 =λ , 利用平面 ABCD 的一个法向量与 的夹角的余弦值为 ,

计算即可. 解答: (Ⅰ)证明:如图,以 A 为坐标原点,以 AC、AB、AA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系, 则 A(0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(2,0,0) ,D(1,﹣2,0) , A1(0,0,2) ,B1(0,1,2) ,C1(2,0,2) ,D1(1,﹣2,2) , 又∵M、N 分别为 B1C、D1D 的中点,∴M(1, ,1) ,N(1,﹣2,1) . 由题可知: =(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量, ∵ ? =0,MN?平面 ABCD,∴MN∥平面 ABCD; =(1,﹣2,2) , =(2,0,0) , =(0,1,2) , =(0,﹣ ,0) ,

(Ⅱ)解:由(I)可知:

设 =(x,y,z)是平面 ACD1 的法向量, 由 ,得 ,

取 z=1,得 =(0,1,1) , 设 =(x,y,z)是平面 ACB1 的法向量,

11



,得



取 z=1,得 =(0,﹣2,1) , ∵cos< , >= =﹣ ,∴sin< , >= = ,

∴二面角 D1﹣AC﹣B1 的正弦值为 (Ⅲ)解:由题意可设 ∴E=(0,λ,2) , =λ

; ,其中 λ∈[0,1],

=(﹣1,λ+2,1) ,

又∵ =(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量, ∴cos< , >=
2

= ﹣2 或﹣2﹣ (舍) ,

= ,

整理,得 λ +4λ﹣3=0,解得 λ= ∴线段 A1E 的长为 ﹣2.

点评: 本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用 空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理能力,注意 解题方法的积累,属于中档题. 18. (13 分) (2015?天津)已知数列{an}满足 an+2=qan(q 为实数,且 q≠1) ,n∈N ,a1=1, a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列(1)求 q 的值和{an}的通项公式; (2)设 bn= ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项和.
* *

考点: 数列的求和.

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12

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过 an+2=qan、a1、a2,可得 a3、a5、a4,利用 a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列, 计算即可; (2)通过(1)知 bn= ,n∈N ,写出数列{bn}的前 n 项和 Tn、2Tn 的表达式,
*

利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. * 解答: 解: (1)∵an+2=qan(q 为实数,且 q≠1) ,n∈N ,a1=1,a2=2, ∴a3=q,a5=q ,a4=2q, 又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列, 2 ∴2×3q=2+3q+q , 2 即 q ﹣3q+2=0, 解得 q=2 或 q=1(舍) , ∴an= ;
2

(2)由(1)知 bn=

=

=

,n∈N ,

*

记数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=1+2? +3? ∴2Tn=2+2+3? +4? +4? +5? + +…+(n﹣1)? +…+(n﹣1)? +…+ ﹣n? +n? +n? , ,

两式相减,得 Tn=3+ +

=3+

﹣n?

=3+1﹣ =4﹣ .

﹣n?

点评: 本题考查求数列的通项与前 n 项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本 题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

19. (14 分) (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率
2 2

为 |FM|=

,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = .

截得的线段的长为 c,

(Ⅰ)求直线 FM 的斜率;
13

(Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 值范围.

,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 2 (Ⅰ)通过离心率为 ,计算可得 a =3c 、b =2c ,设直线 FM 的方程为 y=k(x+c) ,
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利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论; (Ⅱ)通过联立椭圆与直线 FM 的方程,可得 M(c, c) ,利用|FM|= 计算即

可; (Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程,分 x∈(﹣ ,﹣1)与 x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵离心率为
2 2 2 2 2

,∴
2

=

= ,

∴2a =3b ,∴a =3c ,b =2c , 设直线 FM 的斜率为 k(k>0) ,则直线 FM 的方程为 y=k(x+c) , ∵直线 FM 被圆 x +y =
2 2

截得的线段的长为 c, ,

∴圆心(0,0)到直线 FM 的距离 d=

∴d +

2

=

,即(

)+

2

=



解得 k=

,即直线 FM 的斜率为



(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:
2

+

=1,直线 FM 的方程为 y=
2

(x+c) ,

联立两个方程,消去 y,整理得 3x +2cx﹣5c =0,解得 x=﹣ c,或 x=c, ∵点 M 在第一象限,∴M(c, ∵|FM|= ,∴
2 2 2 2

c) , = ,

解得 c=1,∴a =3c =3,b =2c =2, 即椭圆的方程为 + =1;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,直线 FP 的斜率为 t,
14

∵F(﹣1,0) ,∴t=

,即 y=t(x+1) (x≠﹣1) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

又∵直线 FP 的斜率大于 ∴ >



,解得﹣ <x<﹣1,或﹣1<x<0,

设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 m =

2

﹣ .

①当 x∈(﹣ ,﹣1)时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0, ∴m= ,∴m∈( , ) ;

②当 x∈(﹣1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, ∴m=﹣ ,∴m∈(﹣∞,﹣ ) ;

综上所述,直线 OP 的斜率的取值范围是: (﹣∞,﹣

)∪(



) .

点评: 本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、 一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能 力、以及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题. 20. (14 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=nx﹣x ,x∈R,其中 n∈N ,且 n≥2. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x) ,求 证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x) ; (Ⅲ) 若关于 x 的方程 f (x) =a (a 为实数) 有两个正实数根 x1, x2, 求证: |x2﹣x1|< +2.
n ?

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 压轴题;创新题型;导数的概念及应用;导数的综合应用. n 分析: (Ⅰ)由 f(x)=nx﹣x ,可得 f′(x) ,分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得 函数的单调性.
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(Ⅱ)设点 P 的坐标为(x0,0) ,则可求 x0=n

,f′(x0)=n﹣n ,可求 g(x)

2

15

=f′(x0) (x﹣x0) ,F′(x)=f′(x)﹣f′(x0) .由 f′(x)=﹣nx +n 在(0,+∞)上 单调递减,可求 F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,即可 得证. (Ⅲ)设 x1≤x2,设方程 g(x)=a 的根为 ,由(Ⅱ)可得 x2≤ .设曲线 y=f(x) ,可
n﹣

n﹣1

在原点处的切线方程为 y=h(x) ,可得 h(x)=nx,设方程 h(x)=a 的根为 得 <x1,从而可得:x2﹣x1< ﹣ = ,由 n≥2,即 2
n﹣1

=(1+1)

1

≥1+

=1+n﹣1=n,推得:2

=x0,即可得证.

解答: (本题满分为 14 分) 解: (Ⅰ)由 f(x)=nx﹣x ,可得 f′(x)=n﹣nx =n(1﹣x ) ,其中 n∈N ,且 n≥2. 下面分两种情况讨论: (1)当 n 为奇数时,令 f′(x)=0,解得 x=1,或 x=﹣1,当 x 变化时,f′(x) ,f(x) 的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) (﹣1,1) (1,+∞) + f′(x) ﹣ ﹣ f(x) 所以,f(x)在 (﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调递减,在(﹣1,1)单调递增. (2)当 n 为偶数时, 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减; 所以,f(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (Ⅱ)证明:设点 P 的坐标为(x0,0) ,则 x0=n ,f′(x0)=n﹣n ,
2 n n﹣1 n﹣1 ?

曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0) (x﹣x0) ,即 g(x)=f′(x0) (x﹣x0) , 令 F(x)=f(x)﹣g(x) ,即 F(x)=f(x)﹣f′(x0) (x﹣x0) ,则 F′(x)=f′(x) ﹣f′(x0) . n﹣1 由于 f′(x)=﹣nx +n 在(0,+∞)上单调递减,故 F′(x)在(0,+∞)上单调递 减, 又因为 F′(x0)=0,所以当 x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当 x∈(x0,+∞)时,F′ (x)<0, 所以 F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减, 所以对应任意的正实数 x,都有 F(x)≤F(x0)=0, 即对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x) . (Ⅲ)证明:不妨设 x1≤x2, 由 (Ⅱ) 知g (x) = (n﹣n ) (x﹣x0) , 设方程 g (x) =a 的根为
2

, 可得

=



由(Ⅱ)知 g(x2)≥f(x2)=a=g(

) ,可得 x2≤



16

类似地,设曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=h(x) ,可得 h(x)=nx,当 x∈ (0,+∞) ,f(x)﹣h(x)=﹣x <0,即对于任意的 x∈(0,+∞) ,f(x)<h(x) , 设方程 h(x)=a 的根为 递增, 且 h( )=a=f(x1)<h(x1) ,因此 ﹣ =(1+1) =
n﹣1 n

,可得

= ,因为 h(x)=nx 在(﹣∞,+∞)上单调

<x1, ,

由此可得:x2﹣x1< 因为 n≥2,所以 2
n﹣1

≥1+

=1+n﹣1=n,

故:2

=x0. +2.

所以:|x2﹣x1|<

点评: 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等 式等基础知识和方法,考查分类讨论思想、函数思想和化归思想,考查综合分析问题 和解决问题的能力.

17

2015 年天津市高考数学试卷(理科)
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?天津)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6}, 集合 B={1,3,4,6,7},则集合 A∩?UB=( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}

2. (5 分) (2015?天津)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+6y 的

最大值为( A.3

) B.4 C.18 D.40 )

3. (5 分) (2015?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(

A.﹣10

B.6

C.14
2

D.18

4. (5 分) (2015?天津)设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x +x﹣2>0”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2015?天津)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经 过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )

18

A.

B.3

C.

D.

6. (5 分) (2015?天津)已知双曲线 且双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 A. ﹣ C. ﹣ =1 =1
2



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, )

) ,

x 的准线上,则双曲线的方程为( B. ﹣ D. ﹣ =1 =1

7. (5 分) (2015?天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数, 记 a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a

|x﹣m|

8. (5 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=b﹣f(2﹣x) ,

其中 b∈R,若函数 y=f(x)﹣g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( ) A. B. C. D. ( ,+∞) (﹣∞, ) (0, ) ( ,2)

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) (2015?天津)i 是虚数单位,若复数(1﹣2i) (a+i)是纯虚数,则实数 a 的值 为 . 10. (5 分) (2015?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 3 m.

11. (5 分) (2015?天津)曲线 y=x 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为

2



19

12. (5 分) (2015?天津)在(x﹣

) 的展开式中,x 的系数为

6

2



13. (5 分) (2015?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ ABC 的面积为 3 ,b﹣c=2,cosA=﹣ ,则 a 的值为 .

14. (5 分) (2015?天津) 在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB∥DC, AB=2, BC=1, ∠ABC=60°. 动 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 为 . =λ , = ,则 ? 的最小值

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (13 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=sin x﹣sin (x﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣ , ]内的最大值和最小值.
2 2

) ,x∈R.

16. (13 分) (2015?天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员 组队参加,现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中 种子选手 3 名,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17. (13 分) (2015?天津)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD, AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD= ,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ABCD (Ⅱ)求二面角 D1﹣AC﹣B1 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长.

20

18. (13 分) (2015?天津)已知数列{an}满足 an+2=qan(q 为实数,且 q≠1) ,n∈N ,a1=1, a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列(1)求 q 的值和{an}的通项公式; (2)设 bn= ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项和.
*

*

19. (14 分) (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率
2 2

为 |FM|=

,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = .

截得的线段的长为 c,

(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 值范围.
n

,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取

20. (14 分) (2015?天津)已知函数 f(x)=nx﹣x ,x∈R,其中 n∈N ,且 n≥2. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x) ,求 证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x) ; (Ⅲ) 若关于 x 的方程 f (x) =a (a 为实数) 有两个正实数根 x1, x2, 求证: |x2﹣x1|< +2.

?

21


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