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第三讲MatheMatica入门_图文

第三讲 Mathematica入门

第一节 Mathematica的运行和工作界面
一、Mathematica的启动
1、在“开始”菜单的“程序”中单击,就启动了 Mathematica,在屏幕上显示如图的Notebook窗口,系统 暂时取名Untitled-1,直到用户保存时重新命名为止。 2、用鼠标双击桌面上的Mathematica图标。

二、Mathematica工作界面
1、工作区窗口: 左边大窗口为工作区,是显示一切输入、输出的窗口。 可以同时打开多个工作区窗口,不仅可以显示文字与数学 表达式,还可以显示图形、按钮等对象,将这种类型的窗 口称为Notebook。

2、基本输入模板:
位于工作区窗口右边的是基 本输入模板。用鼠标左键单击一 个按钮,就可以将它表示的符号 输入到当前的工作区窗口中。还 可以根据需要自制特殊的模板。 3、菜单工具栏

三、Mathematica的输入、输出和运行
1、Mathematica的输入方式:通过键盘直接输入 2、Mathematica的运行 在Mathematica的工作区窗口,输入一行或多行表达 式,例如:输入1+1,然后按下Shif+Enter键,这时系统 开始计算并输出计算结果,并给输入和输出附上次序标识 In[1]和Out[1],注意In[1]是计算后才出现的。 3、控制系统结果输出的方法

在输入表达式的后面加分号(;)后再运行,则屏幕不
显示运行结果。

四、Mathematica的联机帮助系统
1、获取函数和命令的帮助

在Notebook界面下,用 ?或 ?? 可向系统查询运算符、 函数和命令的定义和用法,获取简单而直接的帮助信息。
例如,向系统查询作图函数Plot命令的用法 ?Plot ?? Plot 系统将给出调用Plot的格式以及Plot命令的功能 则信息会更详细一些

2、Help菜单
任何时候都可以通过按F1键或点击帮助菜单项 Help Browser,调出帮助菜单。

第二节 Mathematica的数值运算
一、数据类型
在Mathematic中,基本的数值类型有四种:整数, 有理数、实数和复数。
类型 Integer Rational Real Complex 说明 任意长度的整数,是精确数 有理数,用分式的形式表示,是精确数 实数,可以有一定精度 复数,实部和虚部可为整数、有理数和实数 例 1234,7 2469/1111 0.239998 3+2I

二、系统中的数学常数
Pi 表示圆周率π E 表示自然对数的底 e=2.718286… Degree 表示角度1度 Infinity 表示无穷大∞ i表示虚数单位i

三、使用前面的计算结果
% 代表最后产生的结果 %% 倒数第二次的算结果 %%%(k) 倒数第k次的计算结果 %n 输出行Out[n])的结果(用时要小心)

四、运算的精确解和近似值
在Mathematica中,如果参加计算的都是精确数,则 输出的结果是精确 数。如果在计算式中既有近似数,又 有精确数,则输出的结果是近似数。 例1:In[1]:=1/3+2/7 Out[1]:=13/21 In[2]:=1./3+2/7 Out[2]:=0.619048

Mathematica程序: ch301.nb

为了计算结果的近似值,也可以用系统函数来控制输 出结果的精度。
函数 N[表达式]或//N N[表达式,n] 说明 计算表达式的数值并输出近似值 计算表达式的数值,并给出n位十进制的近似值

例2:

In[1]:=2Pi+Pi+1 In[2]:=%//N
In[3]:=N[1/3+2/7,20]

Out[1]:=1+3Pi Out[2]:=10.4248

Mathematica程序:
ch302.nb

Out[3]:= 0.6190476190

第三节 Mathematica中的变量与函数
一、变量与函数的命名规则
1、变量名和函数名可以是任意长度的字符或字符串,其中不 得有空格及其他运算符号,变量名和函数名不得以数字开头。
2、Mathematica内部具有的变量和函数的第一个字母必须 大写,后面用小写,当函数名可以分成几个段时,每一个段 的第一个字母用大写,后面的字母用小写,如ArcSin[x]等。 3、函数的参数标用方括号括起来,不能用圆括号。 有多个参数的函数,参数之间用逗号分隔。 4、自定义函数时,方括号中自变量的右边必须有一个下划 线“_”。

二、变量的赋值方法
1、Mathmatica用等号“=”表示为变量赋值,赋值号 的 左端应当是一个可以赋值的对象(变量),右端可以是 任何表达式; 2、用“函数名/.自变量名称->自变量值”的形式给一个 变 量赋值,或用“函数名/.{自变量名称->自变量值,……, 自变量名称->自变量值}”的形式给多个变量赋值。如: x+y+z/.{x -> 1,y -> 2,z -> 3}

三、系统内数学函数
在Mathmatic中定义了大量的数学函数可以直接调用, 这些函数其名称一般表达了一定的意义,可以帮助我们理

解。下面是几个常用的函数:
Sign[x] Abs[x] Random[Real,{xmin,xmax}] Exp[x] Log[x] Log[b,x] Sin[x],Cos[x],Tan[x], …… 符号函数 x绝对值 xmin~xmax之间的随机函数 指数函数 自然对数函数lnx 以b为底的对数函数 三角函数(变量是以弧度为 单位的) m被n整除的余数

Mod[m,n]

四、函数的定义
1、函数的立即定义 语法 : f[x_]=expr 函数名为f,自变量为x,expr是表达式

例如,想要定义函数f(x)=x*sin(x)+x^2

输入:f[x_]=x*Sin[x]+x^2
2、 多变量函数的定义
语法: f[x_,y_,z_,…]=expr 函数名为f,自变量为x,y,z… expr是表达式

例如,想要定义函数f(x,y)=xy+ycos(x)

输入:f[x_,y_]=x*y+y*Cos[x]

3、延迟定义函数
延迟定义的格式为f[x_]:=expr,延迟定义和即时定义 的主要区别是:即时定义函数在输入函数后立即定义函数并 存放在内存中并可直接调用。延时定义只是在调用函数时才 真正定义函数。 4、使用条件运算符定义和If命令定义函数

例3,画出函数图像

?x ? 1 ? 2 f ( x) ? ? x ?sin x ?

x?0 0 ? x ? ?1 x ? ?1

这样的分段函数应该如何定义,显然要根据x 的不同值 给出不同的表达式。

一种办法是使用条件运算符,基本格式为:
f[x_]:=expr/;condition f[x_]:=x-1/;x>0 f[x_]:=x^2/;(x>-1)&&(x<=0) f[x_]:=Sin[x]/;x<=-1 Plot[f[x],{x,-2,2}]
Mathematica程序: ch303.nb

当condition条件满足时才把expr赋给f

另一种方法是使用If命令定义。If语句的格式为: If[条件,值1,值2]
如果条件成立取“值1”,否则取“值2”

g[x_]:=If[x>0,x-1,If[x<=-1,Sin[x],x^2]] Plot[g[x],{x,-2,2}]
Mathematica程序: ch304.nb

五、变量和函数的清除
一旦给某一变量或函数变量赋值后,这值就一直保持不 变。一般,当一个变量或函数使用完之后,清除的方法是 用Clear[变量]或Clear[函数]。

第三节 Mathematica程序设计
一、关系运算符与逻辑运算
1、关系运算符:
符号 == != > 说明 相等 不相等 大于 例 x==y x!=a a+b>1 关系表达式的一般形 式是:

< >=
<=

小于 大于或等于
小于等于

x-y<a-2 x>=1
x<=1

<表达式>+<关系运 算符>+<表达式>

2、逻辑运算符: 符号 说明 例 逻辑表达式的一般形 式为: <关系表达式>+<逻辑运 算符>+<关系表达式>

!
&& ||

否定
并且 或者

!(x>5)
x<2&&x>=1 a>1||a<-1

逻辑表达式的值有三个:真,假,非真非假。
(1)当条件成立时,逻辑表达式的值为True(真): (2)当判定条件不成立时,逻辑表达式的值为False(假):

(3)当判定条件无法确定时,逻辑表达式的值为非真非假,
即它仍为一个逻辑表达式。 例4: x=2;x>y Out[1]=x>y 2>3 Out[2]=False;

Mathematica程序: ch305.nb

二、Mathematica中的顺序控制结构
Mathematica中的顺序控制结构就是复合表达式,根据 求解问题的需要把一个系统的表达式按顺序排列,在一个表 达式后面写一个分号(;)接着写其他表达式,就构成了复 合表达式。一个复合表达式的值就是它的最后一表达式的值。 例5:求函数f(x)=2x3-6x2-18x+7的驻点。 Clear[f]; f[x_]:=2x^3-6x^2-18x+7; diff=D[f[x],x]; Solve[diff==0,x] Out[]={{x->-1},{x->3}}
Mathematica程序:

ch306.nb

三、mathematica循环控制结构
许多计算问题都需要重复地做一些类似的工作,例如计 算中的秩代、递归定义和计算等等,反映在程序中是通过对 类似计算过程的反复执行完成的。Mathematica也提供了重 复执行的循环控制结构。
函数
Do[表达式,循环描述] While[条件,表达式]

说明
按照循环描述对表达式部分重复求值

只要条件为True时就重复执行表达式,一旦条 件的值不是True,立即结束整个结构。

首先对表达式求值,然后进入循环体,一次求 For[初始表达式,条件, 值条件、表达式、步长表达式。一旦对条件的 步长表达式,表达式] 求值不能得到True,立即结束整个For结构。

例6:计算

k 2 的值 ?
k ?1

100

Mathematica程序: ch307.nb

计算方法有如下三种 :

In[]:=s=0;k=1;While[k<=100,s=s+k^2;k++]; Print[s] Out[]:=338350 In[]:=s=0;k=1;Do[s=s+k^2,{k,100}]; Print[s] Out[]:=338350 In[]:=s=0;For[k=1,k<=100,k++,s=s+k^2]; Print[s] Out[]:=338350

四、mathematica分支控制结构
函数 说明

If[条件,表达式]
If[条件,表达式1,表 达式2, 表达式3]

当条件为True时将表达式的值作为整个语句的值; 当条件为False时,给出空值Null
当条件为True时将表达式1的值作为整个语句的值; 当条件为False时,将表达式2的值作为整个语句 的值;当条件Unknown时,将表达式3的值作为整 个语句的值 依次计算每个条件的值,将第一个为True的条件对 应的表达式作为整个语句的值

Which[条件1,表达式 1,条件2,表达式 2,……]

Which[条件1,表达式 依次计算每个条件的值,将第一个为True的条件对 1,…条件n,表达 应的表达式作为整个语句的值.用True作为Which 式n,True,表达式] 的最后一个条件时,可用于处理其他情况

?? x ?sin x ? ? 例7:分段函数 h( x) ? ? x ?2 ? ?0 ?

x ?0 0? x ?6 6 ? x ? 10 其他

画出函数h(x)的图形,并求函数值h(-1),h(1),h(7),h(11)。

解:先画函数图形 h[x_]:=Which[x<0,-x,x>=0&&x<6,Sin[x],x>=6&&x<10, x/2,True,0] Plot[h[x],{x,-2,12}] Mathematica程序:
ch308_1.nb

再求函数值 , 输入: {h[-1],h[1],h[7],h[11]}
Mathematica程序:

求得: Out[]:={1,sin1,7/2,0}

ch308_2.nb

五、mathematica程序流程的控制
在正常情况下,系统对表达式的求值总是按照规定的顺序 和方式进行。但是,在有些情况下,人们需要改变这种正常 的顺序,以便程序的设计,是计算流程更加自然,或者为了 提高程序的执行效率,等等。为此,Mathematcia提供了一 些特殊的程序流程控制结构。 函数 Break 说明 退出最近的一层循环

Continue 转入当前循环的下一步 Return 退出函数中的所有过程及循环,并以 表达式的值作为返回值

Break和Continue函数典型的使用具有如下结构:
While[…, ……; If[…,Continue[]];……; If[…,Break[]]; ……]

Return函数可以实现从求值中退出的功能:
Return表达式有两种形式: (1)Return[],以Null作为当前函数的值。 (2)Return[表达式],以表达的值作为当前函数的值


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