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高二数学导数与积分测试题


高二数学导数与积分练习题 一.选择题: 1.定积分 ? 2 xdx 的值是
0 2

(

) )

A.1 B.2 C.3 D.4 2 2. f(x)=ax +bx+c 的图象开口向上, 且顶点在第二象限, 则 y=f′ (x) 的图象大概是: (
y 0 y x y 0 y

3.曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.4
A B. 5

x x 3? 0 ) 与坐标轴围成的面积是 2

0





x

B C.3 C D.2 D 2 4.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有 A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) ? 5.在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 的点中,坐标为整数的点的个数 4 是( ) 。 A.3 B.2 C.1 D.0 3 6.曲线 f ( x) ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P0 的坐标为( ) C 、 (1, 0) 和 (?1, ? 4) A 、 (1, 0) B 、 (2, 8) D 、 (2, 8) 和 (?1, ? 4)

7.已知 f(x)=2x3-6x2+a(a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值 是( ) A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 2 8.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0 ' ' 9 . 设 f 0 ?x? ? sin x , f1 ?x? ? f 0 ?x? , f 2 ?x? ? f1 ?x? … .. f n?1 ?x? ? f n' ?x? n ? N ? , 则

f2008 ? x ? =(

)

A 、 sinx B 、 cosx C 、 -sinx D、 -cosx 10.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm,则力所做的功为 ( ) A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.18J 二.填空题: 11.

?

3

?4

| x ? 2 |dx =
1

12.以函数 y ? x 2 为导数的函数 f(x)图象过点(9,1) ,则函数 f(x)= 2 13 曲线 y ? 3 ? x 与直线 y=2x 所围成的图形的面积_ _____.



14.如果函数 y=f(x)的导函数的图像如右图所示, 给出下列判断: (1) 函数 y=f(x)在区间(3,5)内单调递增; (2) 函数 y=f(x)在区间(-1/2,3)内单调递减; (3) 函数 y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增; -3 (4) 当 x= -1/2 时,函数 y=f(x)有极大值; (5) 当 x=2 时,函数 y=f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是 . 三.解答题: 15.设函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b ,

y

-2 -1

1 ? 2

1 0

2

3

4 5 x

(1)若 x ??1, 2? ,且函数 f ( x) 的最小值为零,求 b 的值; (2)若在 ?1, 2? 内 f ( x) 恒为正值,求 b 的取值范围。

16.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 公里的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问: (1)若轮船以每小时 24 公里的速度航行,求行驶 100 公里的费用总和。 (2)如果甲、乙两地相距 100 公里,求轮船从甲地航行到乙地的总费用的最小值,并求 出此时轮船的航行速度。

17 设函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax ? 8, 其中a ?R. (1)若 f ( x)在x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f ( x)在(??,0) 上为增函数,求 a 的取值范围.

18.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a . (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

19设函数f(x)= 2x3 ? 3(a ?1) x2 ? 1, 其中a ? 1. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;(Ⅱ) 讨论 f(x)的极值.
4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 2? x (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和值域; (Ⅱ)设 a ? 1 ,函数 g ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a, x ?[0,1].若对于任意 x1 ?[0,1],总存在x0 ?[0,1], 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

20 已知函数 f ( x) ?

参考答案 一 1D 2C

4C 5D 6C 7D 8D 9A 10D 2 3 二 11、14.5 12 、 x 2 ? 17 13、 32/3 14、③⑤ 3 9 9 15.(1)分类讨论,得 b ? (2)由第(1)知 b ? 4 4 16. (1)745.6 元; (2)总费用的最小值为 720 元,此时轮船的航行速度为 20 公里/小时. 17.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ? a)(x ? 1). 因 f ( x)在x ? 3 取得极值, 所 以 f ?(3) ? 6(3 ? a)(3 ? 1) ? 0. 解得 a ? 3 。 经检验知当 a ? 3时, x ? 3为f ( x) 为极值点。 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 6( x ? a)(x ? 1) ? 0得x1 ? a, x2 ? 1 。 当 a ? 1时, 若x ? (??, a) ? (1,??),则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??, a) 和 (1,??) 上为增函数,故当 0 ? a ? 1时, f ( x)在(??,0) 上为增函数。 当 a ? 1时, 若x ? (??,1) ? (a,??),则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(??,1)和(a,??) 上 为 增 函 数 , 从 而 f ( x)在(??,0] 上也为增函数。综上所述,当 a ? [0,??)时, f ( x)在(??,0) 上为增函数。 1 n! 18.解:⑴令 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 a 2 ? b2 得: x1 ? ? , x2 ? 1 . 3 r !? n ? r ?! 又∵当 x∈(-∞, ? 1 )时, f ?( x ) >0; 当 x∈( ? 1 ,1)时, f ?( x ) <0;
3 3

3C

1 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x ) >0,∴ x1 ? ? 与 x2 ? 1 分别为 f ( x) 的极大值与极小值点. 3 1 5 ∴ f ( x) 极大值= f (? ) ? a ? ; f ( x) 极小值= a ? 1
3

⑵∵ f ( x) 在(-∞,

27 1 )上单调递增, ? 3

∴当 x ??? 时, f ( x) ??? ;

又 f ( x) 在(1,+∞)单调递增, 当 x ??? 时, f ( x) ??? ∴当 f ( x) 极大值<0 或 f ( x) 极小值>0 时,曲线 f ( x) 与 x 轴仅有一个交点. 即 a ? 5 ? 0 或 a ? 1 >0, ∴a∈(-∞, ? 5 )∪(1,+∞)。
27

19.解:由已知得 令 f ' ( x) ? 0 ,解得
'

f ( x) ? 6x ? x ? (a ?1)? ,
'

27

x1 ? 0, x2 ? a ? 1.

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 6 x2 , f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增
' 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 6 x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? , f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

(0, a ? 1) (a ? 1, ??) a ?1 0 + 0 0 ? ? f ( x) 极大值 极小值 从上表可知,函数 f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递减;在 (a ? 1, ??) 上单调 递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 没有极值. 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? a ? 1 处取得极小值 1 ? (a ?1)3 .

x f ' ( x)

(??, 0)

20.解: (1)对函数 f(x)=
1 2 7 2

(2 x ? 1)(2 x ? 7) ? 4 x 2 ? 16 ? 7 4x 2 ? 7 / ?? ,, , x ? [0,1], 求导,得 f (x)= 2 (2 ? x ) (2 ? x ) 2 2?x

令 f/(x)=0 解得 x= 或 x= . 当 x 变化时,f/(x), x f’(x) f(x)
1 2
? 7 2

f(x)的变化情况如下表所示:
( 1 ,1) 2

0

(0, 1 )
2

1 2

1 -3


1 2

0 -4

+ ↗

所以,当 x ? (0, ) 时,f(x)是减函数;当 x ? ( ,1) 时,f(x)是增函数, 当 x ? [0,1] 时,f(x)的值域是[-4,-3] (II)对函数 g(x)求导,则 g/(x)=3(x2-a2). 因为 a ? 1 ,当 x ? (0,1) 时,g/(x)<5(1-a2)≤0, 因此当 x ? (0,1) 时,g(x)为减函数, 从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)], 2 又 g(1)=1-2a-3a ,g(0)=-2a, 即当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a2,-2a], 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1), 则[1-2a-3a2,-2a] ? [?4,?3] , 解①式得 a≥1 或 a ? ? ,
5 3

即?

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4 ?? 2a ? ?3

① ②

,
3 2

解②式得 a ?

3 2

又 a ? 1 ,故 a 的取值范围内是 1 ? a ? 。


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