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高中数学 直线 圆 圆锥曲线

直线 圆 圆锥曲线 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°.

3.1.2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那

么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒 数,那么它们互相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与

y 轴的交点为 (0, b)

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方 A (a,0) ,与 程:已知直线

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

其中

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
l



x

轴的交点为

y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 2、各种直线方程之间的互化。

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 解:解方程组 L1:2x+y +2=0

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

3.3.2 3.3.3



两 点 间的距

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

点间距离
离公式

点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l :

Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
圆与方程 4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)
2

C1 ? C2 A2 ? B 2

? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) (1) ( x0 (3) ( x0
2

? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
(2) ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内

? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点: (1)① x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ② 没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

ax ? by ? c ? 0 , 设直线 l : 圆 C :x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆的半径为 r , 圆心 (?
到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d (3)当 d (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; ? r 时,直线 l 与圆 C 相离;

2

2

D E , ? ) 2 2

? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M O P Q M' y

4.3.1 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、

z 轴上的坐标
2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点

x

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系 中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫 做点 M 的竖坐标。

z

4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2
即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

圆锥曲线

1、平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 )的点的轨迹称为椭圆.

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F 1, F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的点的轨迹 称为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为 抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? 2? ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程

x??

p 2

x?

p 2
e ?1

y??

p 2

y?

p 2

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 9、焦半径公式:

p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?


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