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【中小学资料】安徽省淮北市濉溪县2017年中考数学一模试卷(含解析)

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2017 年安徽省淮北市濉溪县中考数学一模试卷

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知 5x=6y(y≠0),那么下列比例式中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

2.在下面的四个几何体中,它们各自的主视图与左视图可能不相同的是( )

A.

B.

C.

D.

3.方程 x2=3x 的解为( ) A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=3 4.若将抛物线 y=x2向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,则得到的抛物线解析式是( ) A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,则下列结论不正确的是( )

A.

B.

C.

D.

6.如图,A、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D=32°,则∠OAC 等于( )

A.64° B.58° C.68° D.55° 7.如图,以点 O 为位似中心,将△ABC 放大得到△DEF.若 AD=OA,则△ABC 与△DEF 的面积 之比为( )

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A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6 8.如图,已知反比例函数 y= (x>0),则 k 的取值范围是( )
A.1<k<2 B.2<k<3 C.2<k<4 D.2≤k≤4 9.如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙ O 于点 Q,则 PQ 的最小值为( )
A. B. C.3 D.2 10.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=6,BD=8,动点 P 从点 B 出发,沿着 B﹣A﹣D 在菱形 ABCD 的边上运动,运动到点 D 停止,点 P′是点 P 关于 BD 的对称点,PP′ 交 BD 于点 M,若 BM=x,△OPP′的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为( )
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A.

B.

C.

D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.计算:tan45°﹣2cos60°= . 12.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为 2,∠B=135°,则 的长 .

13.在△ABC 中,D 为 AB 边上一点,且∠BCD=∠A,已知 BC=2 ,AB=3,则 AD= .

14.二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如表

x ﹣1 0

1

3

y ﹣1 3

5

3

下列结论:①ac<0;②当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小.

③当 x=2 时,y=5;④3 是方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的一个根;

其中正确的有 .(填正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 2 小题,共 16 分) 15.解方程:x(x﹣4)=1. 16.如图,在小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,根据图形解答下 列问题: 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 (1)将△ABC 向左平移 4 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)将△DEF 绕 D 点逆时针旋转 90°,画出旋转后的△DE1F1.
四、(共 2 小题,满分 16 分) 17.某条道路上通行车辆限速为 60 千米/时,在离道路 50 米的点 P 处建一个监测点,道路 AB 段为检测区(如图).在△ABP 中,已知∠PAB=30°,∠PBA=45°,那么车辆通过 AB 段的 时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到 0.1 秒)?(参考数据: ≈1.41, ≈1.73, 60 千米/时= 米/秒)
18.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知点 A、B、 C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点,AB 为半圆的直径,抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3, 求这个“果圆”被 y 轴截得线段 CD 的长 .
五、(共 2 小题,满分 20 分) 19.某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众,有一期甲、乙两人被抽为场 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 外幸运观众,他们获得了一次抽奖的机会,在如图所示的翻奖牌的正面 4 个数字中任选一个, 选中后翻开,可以得到该数字反面的奖品,第一个人选中的数字第二个人不能再选择了.
(1)如果甲先抽奖,那么甲获得“手机”的概率是多少? (2)小亮同学说:甲先抽奖,乙后抽奖,甲、乙两人获得“手机”的概率不同,且甲获得 “手机”的概率更大些.你同意小亮同学的说法吗?为什么?请用列表或画树状图分析. 20.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为 4 万元,可 变成本逐年增长,已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元,设可变成本平均每年增长的 百分率为 x. (1)用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 万元; (2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元,求可变成本平均每年增长的百分率 x.
六、(满分 12 分) 21.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为三角形内一点,且∠ACD=∠DAB=∠DBC. (1)求∠CDB 的度数; (2)求证:△DCA∽△DAB; (3)若 CD 的长为 1,求 AB 的长.
七、(满分 12 分) 22.2016 年里约奥运会,中国跳水队赢得 8 个项目中的 7 块金牌,优秀成绩的取得离不开 艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图 所示的一条抛物线,已知跳板 AB 长为 2 米,跳板距水面 CD 的高 BC 为 3 米,训练时跳水曲 线在离起跳点水平距离 1 米时达到距水面最大高度 k 米,现以 CD 为横轴,CB 为纵轴建立直 角坐标系. 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 (1)当 k=4 时,求这条抛物线的解析式; (2)当 k=4 时,求运动员落水点与点 C 的距离; (3)图中 CE= 米,CF= 米,若跳水运动员在区域 EF 内(含点 E,F)入水时才能达到 训练要求,求 k 的取值范围.
八、(满分 14 分) 23.[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上(如图①)
[思考]如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点 C,D 在 AB 的同侧),那么点 D 还在经过 A,B,C 三点的⊙O 上吗? 我们知道,如果点 D 不在经过 A,B,C 三点的圆上,那么点 D 要么在⊙O 外,要么在⊙O 内, 以下该同学的想法说明了点 D 不在⊙O 外.请结合图④证明点 D 也不在⊙O 内. 【证】 [结论]综上可得结论,如果∠ACB=∠ADB=α (点 C,D 在 AB 的同侧),那么点 D 在经过 A,B, 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 C 三点的圆上,即:A、B、C、D 四点共圆. [应用]利用上述结论解决问题: 如图⑤,已知△ABC 中,∠C=90°,将△ACB 绕点 A 顺时针旋转 α 度(α 为锐角)得△ADE, 连接 BE、CD,延长 CD 交 BE 于点 F; (1)用含 α 的代数式表示∠ACD 的度数; (2)求证:点 B、C、A、F 四点共圆; (3)求证:点 F 为 BE 的中点.
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2017 年安徽省淮北市濉溪县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知 5x=6y(y≠0),那么下列比例式中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】比例的性质. 【分析】比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项, 中间的两项叫做比例的内项,根据两内项之积等于两外项之积可得答案.

【解答】解:A、 = ,则 5y=6x,故此选项错误;

B、 = ,则 5x=6y,故此选项正确;

C、 = ,则 5y=6x,故此选项错误;

D、 = ,则 xy=30,故此选项错误; 故选:B.

2.在下面的四个几何体中,它们各自的主视图与左视图可能不相同的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】分别分析四个选项的三视图,然后得出结论. 【解答】解:A 选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形; B 选项的主视图与左视图都是正方形; C 选项的主视图与左视图都是矩形; D 选项的主视图与左视图都是圆. 故选 A.

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3.方程 x2=3x 的解为( ) A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=3 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法. 【分析】因式分解法求解可得. 【解答】解:∵x2﹣3x=0, ∴x(x﹣3)=0, 则 x=0 或 x﹣3=0, 解得:x=0 或 x=3, 故选:D.
4.若将抛物线 y=x2向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,则得到的抛物线解析式是( ) A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后 利用顶点式解析式写出即可. 【解答】解:∵抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位, ∴平移后的抛物线顶点坐标为(2,3), ∴得到的抛物线解析式是 y=(x﹣2)2+3. 故选 B.
5.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,则下列结论不正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】根据锐角三角函数的定义,即可解答.

【解答】解:在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,sinB= ,

∵AD⊥BC, 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 ∴sinB= , sinB=sin∠DAC= , 综上,只有 C 不正确 故选:C.
6.如图,A、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D=32°,则∠OAC 等于( )
A.64° B.58° C.68° D.55° 【考点】圆周角定理. 【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠BAC 的度数,再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的 度数,进而可得出结论. 【解答】解:∵BC 是直径,∠D=32°, ∴∠B=∠D=32°,∠BAC=90°. ∵OA=OB, ∴∠BAO=∠B=32°, ∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°. 故选 B.
7.如图,以点 O 为位似中心,将△ABC 放大得到△DEF.若 AD=OA,则△ABC 与△DEF 的面积 之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 【考点】位似变换. 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比. 【解答】解:∵以点 O 为位似中心,将△ABC 放大得到△DEF,AD=OA, ∴OA:OD=1:2, ∴△ABC 与△DEF 的面积之比为:1:4. 故选:B. 8.如图,已知反比例函数 y= (x>0),则 k 的取值范围是( )
A.1<k<2 B.2<k<3 C.2<k<4 D.2≤k≤4 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】直接根据 A、B 两点的坐标即可得出结论. 【解答】解:∵A(2,2),B(2,1), ∴当双曲线经过点 A 时,k=2×2=4; 当双曲线经过点 B 时,k=2×1=2, ∴2<k<4. 故选 C.
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9.如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙ O 于点 Q,则 PQ 的最小值为( )

A. B. C.3 D.2 【考点】切线的性质. 【分析】因为 PQ 为切线,所以△OPQ 是 Rt△.又 OQ 为定值,所以当 OP 最小时,PQ 最小.根 据垂线段最短,知 OP=3 时 PQ 最小.根据勾股定理得出结论即可. 【解答】解:∵PQ 切⊙O 于点 Q, ∴∠OQP=90°, ∴PQ2=OP2﹣OQ2, 而 OQ=2,

∴PQ2=OP2﹣4,即 PQ=



当 OP 最小时,PQ 最小, ∵点 O 到直线 l 的距离为 3, ∴OP 的最小值为 3, ∴PQ 的最小值为 = . 故选 B.

10.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=6,BD=8,动点 P 从点 B 出发,沿着 B﹣A﹣D 在菱形 ABCD 的边上运动,运动到点 D 停止,点 P′是点 P 关于 BD 的对称点,PP′ 交 BD 于点 M,若 BM=x,△OPP′的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】由菱形的性质得出 AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,分两种情况:

①当 BM≤4 时,先证明△P′BP∽△CBA,得出比例式

,求出 PP′,得出△OPP′

的面积 y 是关于 x 的二次函数,即可得出图象的情形; ②当 BM≥4 时,y 与 x 之间的函数图象的形状与①中的相同;即可得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,

①当 BM≤4 时, ∵点 P′与点 P 关于 BD 对称, ∴P′P⊥BD, ∴P′P∥AC, ∴△P′BP∽△CBA,



,即



∴PP′= x, ∵OM=4﹣x, ∴△OPP′的面积 y= PP′?OM= × x(4﹣x)=﹣ x2+3x; ∴y 与 x 之间的函数图象是抛物线,开口向下,过(0,0)和(4,0); ②当 BM≥4 时,y 与 x 之间的函数图象的形状与①中的相同,过(4,0)和(8,0);

综上所述:y 与 x 之间的函数图象大致为



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中小学最新教育资料 故选:D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.计算:tan45°﹣2cos60°= 0 . 【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】把特殊角的三角函数值代入,再计算乘法,后计算加减法即可. 【解答】解:原式=1﹣2× , =1﹣1, =0. 故答案为:0.
12.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为 2,∠B=135°,则 的长 π .

【考点】弧长的计算;圆内接四边形的性质. 【分析】连接 OA、OC,然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数,最后根据弧长公式求解. 【解答】解:连接 OA、OC, ∵∠B=135°, ∴∠D=180°﹣135°=45°, ∴∠AOC=90°,

则 的长=

=π .

故答案为:π .

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13.在△ABC 中,D 为 AB 边上一点,且∠BCD=∠A,已知 BC=2 ,AB=3,则 AD=



【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】证明△DCB≌△CAB,得

,可求出 BD 的长,进而可求出 AD 的长,由此即可

解决问题即可. 【解答】解:∵∠BCD=∠A,∠B=∠B, ∴△DCB~△CAB,





∴=,

∴BD= ,

∴AD=AB﹣BD= ,

故答案为: .

14.二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如表

x ﹣1 0

1

3

y ﹣1 3

5

3

下列结论:①ac<0;②当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小.

③当 x=2 时,y=5;④3 是方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的一个根;

其中正确的有 ①③④ .(填正确结论的序号)

【考点】待定系数法求二次函数解析式;解一元二次方程﹣因式分解法.

【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式,再根据二次函数的解析式

逐一分析四条结论的正误即可得出结论.

【解答】解:将(﹣1,﹣1)、(0,3)、(1,5)代入 y=ax2+bx+c,

,解得:



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∴二次函数的解析式为 y=﹣x2+3x+3. ①ac=﹣1×3=﹣3<0, ∴结论①符合题意;

②∵y=﹣x2+3x+3=﹣

+,

∴当 x> 时,y 的值随 x 值的增大而减小,
∴结论②不符合题意; ③当 x=2 时,y=﹣22+3×2+3=5, ∴结论③符合题意; ④ax2+(b﹣1)x+c=﹣x2+2x+3=(x+1)(﹣x+3)=0, ∴x=3 是方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的一个根, ∴结论④符合题意. 故答案为:①③④.

三、解答题(本大题共 2 小题,共 16 分) 15.解方程:x(x﹣4)=1. 【考点】解一元二次方程﹣配方法. 【分析】先把方程化为 x2﹣4x=1,再利用配方法得到( x﹣2)2=5,然后利用直接开平方法 解方程. 【解答】解:x2﹣4x=1,
x2﹣4x+4=5, ( x﹣2)2=5, x﹣2=± , 所以 x1=2+ ,x2=2﹣ .

16.如图,在小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,根据图形解答下 列问题: (1)将△ABC 向左平移 4 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)将△DEF 绕 D 点逆时针旋转 90°,画出旋转后的△DE1F1.

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【考点】作图﹣旋转变换;作图﹣平移变换. 【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1 即可; (2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1 即可. 【解答】解(1)如图所示:△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示:△DE1F1 即为所求;
四、(共 2 小题,满分 16 分) 17.某条道路上通行车辆限速为 60 千米/时,在离道路 50 米的点 P 处建一个监测点,道路 AB 段为检测区(如图).在△ABP 中,已知∠PAB=30°,∠PBA=45°,那么车辆通过 AB 段的 时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到 0.1 秒)?(参考数据: ≈1.41, ≈1.73, 60 千米/时= 米/秒)
【考点】解直角三角形的应用. 中小学最新教育资料

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【分析】作 PC⊥AB 于点 C,根据三角函数即可求得 AC 与 BC 的长,则 AB 即可求得,用 AB 的长除以速度即可求解. 【解答】解:作 PC⊥AB 于点 C. 在直角△APC 中,tan∠PAC= ,

则 AC=

=50 ≈86.5(米),

同理,BC=

=PC=50(米),

则 AB=AC+BC≈136.5(米),

60 千米/时= 米/秒,

则 136.5÷ ≈8.2(秒). 故车辆通过 AB 段的时间在 8.2 秒内时,可认定为超速.

18.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知点 A、B、 C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点,AB 为半圆的直径,抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3, 求这个“果圆”被 y 轴截得线段 CD 的长 3+ .

【考点】二次函数综合题. 【分析】将 x=0 代入抛物线的解析式得 y=﹣3,故此可得到 DO 的长,然后令 y=0 可求得点 A 和点 B 的坐标,故此可得到 AB 的长,由 M 为圆心可得到 MC 和 OM 的长,然后依据勾股定理 可求得 OC 的长,最后依据 CD=OC+OD 求解即可.
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【解答】解:连接 AC,BC. ∵抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3, ∴点 D 的坐标为(0,﹣3), ∴OD 的长为 3. 设 y=0,则 0=x2﹣2x﹣3,解得:x=﹣1 或 3, ∴A(﹣1,0),B(3,0). ∴AO=1,BO=3,AB=4,M(1,0). ∴MC=2,OM=1.

在 Rt△COB 中,OC=

=.

∴CD=CO+OD=3+ ,即这个“果圆”被 y 轴截得的线段 CD 的长 3+ . 故答案为:3+ .

五、(共 2 小题,满分 20 分) 19.某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众,有一期甲、乙两人被抽为场 外幸运观众,他们获得了一次抽奖的机会,在如图所示的翻奖牌的正面 4 个数字中任选一个, 选中后翻开,可以得到该数字反面的奖品,第一个人选中的数字第二个人不能再选择了.
(1)如果甲先抽奖,那么甲获得“手机”的概率是多少? (2)小亮同学说:甲先抽奖,乙后抽奖,甲、乙两人获得“手机”的概率不同,且甲获得 “手机”的概率更大些.你同意小亮同学的说法吗?为什么?请用列表或画树状图分析. 【考点】列表法与树状图法. 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 【分析】(1)一共有 4 种情况,手机有一种,除以总情况数即为所求概率; (2)列举出所有情况,看所求的情况占总情况的多少即可. 【解答】解:(1)第一位抽奖的同学抽中手机的概率是 ;
(2)不同意.
从树状图中可以看出,所有可能出现的结果共 12 种,而且这些情况都是等可能的. 先抽取的人抽中手机的概率是 ; 后抽取的人抽中手机的概率是 = . 所以,甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的.
20.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为 4 万元,可 变成本逐年增长,已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元,设可变成本平均每年增长的 百分率为 x. (1)用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 2.6(1+x)2 万元; (2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元,求可变成本平均每年增长的百分率 x. 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】(1)根据增长率问题由第 1 年的可变成本为 2.6 万元就可以表示出第二年的可变成 本为 2.6(1+x),则第三年的可变成本为 2.6(1+x)2,故得出答案; (2)根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可 【解答】解:(1)由题意,得 第 3 年的可变成本为:2.6(1+x)2, 故答案为:2.6(1+x)2;
(2)由题意,得 4+2.6(1+x)2=7.146,
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解得:x1=0.1,x2=﹣2.1(不合题意,舍去). 答:可变成本平均每年增长的百分率为 10%.
六、(满分 12 分) 21.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为三角形内一点,且∠ACD=∠DAB=∠DBC. (1)求∠CDB 的度数; (2)求证:△DCA∽△DAB; (3)若 CD 的长为 1,求 AB 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】(1)只要证明∠CDA=135°,∠ADB=135°即可解决问题. (2)根据两角对应相等两三角形相似即可判定. (3)由△DCA∽△DAB,推出 = = = ,又 CD=1,推出 AD= ,DB=2.根据

BC=

,求出 BC,再在 Rt△ABC 中,求出 AB 即可解决问题.

【解答】(1)解:∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°. 又∵∠ACD=∠DAB, ∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°, ∴∠CDA=135° 同理可得∠ADB=135° ∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°.

(2)证明:∵∠CDA=∠ADB,∠ACD=∠DAB, ∴△DCA∽△DAB

(3)解:∵△DCA∽△DAB,

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∴=== ,

又∵CD=1, ∴AD= ,DB=2. 又∵∠CDB=90°,

∴BC=

=

=,

在 Rt△ABC 中,∵AC=BC= ,

∴AB=

=.

七、(满分 12 分) 22.2016 年里约奥运会,中国跳水队赢得 8 个项目中的 7 块金牌,优秀成绩的取得离不开 艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图 所示的一条抛物线,已知跳板 AB 长为 2 米,跳板距水面 CD 的高 BC 为 3 米,训练时跳水曲 线在离起跳点水平距离 1 米时达到距水面最大高度 k 米,现以 CD 为横轴,CB 为纵轴建立直 角坐标系. (1)当 k=4 时,求这条抛物线的解析式; (2)当 k=4 时,求运动员落水点与点 C 的距离; (3)图中 CE= 米,CF= 米,若跳水运动员在区域 EF 内(含点 E,F)入水时才能达到 训练要求,求 k 的取值范围.

【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据抛物线顶点坐标 M(3,4),可设抛物线解析为:y=a(x﹣3)2+4,将点 A 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 (2,3)代入可得; (2)在(1)中函数解析式中令 y=0,求出 x 即可; (3)若跳水运动员在区域 EF 内(含点 E,F)入水达到训练要求,则在函数 y=a(x﹣3)2+k 中当 x= 米,y>0,当 x= 米时 y<0,解不等式即可得. 【解答】解:(1)如图所示:
根据题意,可得抛物线顶点坐标 M(3,4),A(2,3) 设抛物线解析为:y=a(x﹣3)2+4, 则 3=a(2﹣3)2+4, 解得:a=﹣1, 故抛物线解析式为:y=﹣(x﹣3)2+4; (2)由题意可得:当 y=0,则 0=﹣(x﹣3)2+4, 解得:x1=1,x2=5, 故抛物线与 x 轴交点为:(5,0), 当 k=4 时,求运动员落水点与点 C 的距离为 5 米; (3)根据题意,抛物线解析式为:y=a(x﹣3)2+k, 将点 A(2,3)代入可得:a+k=3,即 a=3﹣k 若跳水运动员在区域 EF 内(含点 E,F)入水, 则当 x= 时,y= a+k≥0,即 (3﹣k)+k≥0, 解得:k≤ , 当 x= 时,y= a+k≤0,即 (3﹣k)+k≤0, 解得:k≥ ,
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中小学最新教育资料 故 ≤k≤ .
八、(满分 14 分) 23.[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上(如图①)
[思考]如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点 C,D 在 AB 的同侧),那么点 D 还在经过 A,B,C 三点的⊙O 上吗? 我们知道,如果点 D 不在经过 A,B,C 三点的圆上,那么点 D 要么在⊙O 外,要么在⊙O 内, 以下该同学的想法说明了点 D 不在⊙O 外.请结合图④证明点 D 也不在⊙O 内. 【证】 [结论]综上可得结论,如果∠ACB=∠ADB=α (点 C,D 在 AB 的同侧),那么点 D 在经过 A,B, C 三点的圆上,即:A、B、C、D 四点共圆. [应用]利用上述结论解决问题: 如图⑤,已知△ABC 中,∠C=90°,将△ACB 绕点 A 顺时针旋转 α 度(α 为锐角)得△ADE, 连接 BE、CD,延长 CD 交 BE 于点 F; (1)用含 α 的代数式表示∠ACD 的度数; (2)求证:点 B、C、A、F 四点共圆; (3)求证:点 F 为 BE 的中点. 【考点】圆的综合题. 【分析】【思考】【证】如图 1,假设点 D 在⊙O 内,延长 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE,则∠AEB= 中小学最新教育资料

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∠ACB,根据外角的性质得到∠ADB>∠AEB,于是得到∠ADB>∠ACB,于是得到结论; 【应用】(1)由题意可知,AC=AD,∠CAD=α ,根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD=90° ﹣; (2)根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°﹣ α ,同时代的∠ACD=∠ABE,即可得到结论; (3)由 B、C、A、F 四点共圆,得到∠BFA+∠BCA=180°,推出 AF⊥BE,根据等腰三角形的 性质即可得到结论. 【解答】【思考】【证】如图 1,假设点 D 在⊙O 内,延长 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE,则∠AEB= ∠ACB, ∵∠ADB 是△BDE 的外角, ∴∠ADB>∠AEB, ∴∠ADB>∠ACB, 因此,∠ADB>∠ACB 这与条件∠ACB=∠ADB 矛盾, ∴点 D 也不在⊙O 内, ∴点 D 即不在⊙O 内,也不在⊙O 外,点 D 在⊙O 上; 【应用】(1)由题意可知,AC=AD,∠CAD=α , ∴∠ACD=90°﹣ ; (2)∵AB=AE,∠BAE=α ,∴∠ABE=90°﹣ α ,∴∠ACD=∠ABE, ∴B、C、A、F 四点共圆; (3)∵B、C、A、F 四点共圆, ∴∠BFA+∠BCA=180°, 又∵∠ACB=90°, ∴∠BFA=90°, ∴AF⊥BE, ∵AB=AE, ∴BF=EF, 即点 F 为 BE 的中点.
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