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2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案(B卷)

武汉大学数学与统计学院
2007—2008 第一学期《高等数学 B》期末考试试题
一、( 8 ? 6 ? )试解下列各题:

B卷

arctan x ? x 1、 计算 lim x ?0 ln(1 ? 2 x 3 )

2、 计算
x? y

ln(1 ? x) dx 2 ? 0 (2 ? x)

1

??

3、 计算积分:

?
1

arctanx dx x2

4、已知两曲线 y ? f ( x) 与 xy ? e
n ??

? 1 所确定,在点 (0, 0) 处的切线相同,写出

此切线方程,并求极限 lim nf ( )

2 n

? x ? cos t ? dy d 2 y t2 5、设, ? ,试求: , 2 | ? 的值。 1 2 d x dx t ? 2 cos udu y ? t cos t ? ? ? ? 1 2 u x sin t sin t ?sin x 6、确定函数 f ( x) ? lim( 的间断点,并判定间断点的类型。 ) t ? x sin x 1 7、设 y ? ,求 y ( n ) x(1 ? x) ?x ( x ? 0) 下方, x 轴上方之图形面积。 8、求位于曲线 y ? xe
2

? f ( x) x?a ? 二、 (12 分)设 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f (a) ? 0 , g ( x) ? ? x ? a ? x?a ?A 1、试确定 A 的值,使 g ( x) 在 x ? a 处连续; 2、求 g ?( x ) 3、证明 g ?( x ) 在 x ? a 处连续。 ? x ? cos t ? 三、 (15 分)设 P 为曲线 ? (0 ? t ? ) 上一点,作原点 O(0, 0) 和点 P 的直线 2 2 ? y ? 2sin t OP ,由曲线、直线 OP 以及 轴所围成的平面图形记为 ,

1、将 表成 的函数; 2、求平面图形 A 的面积 S ( x) 的表达式; 3、将平面图形 A 的面积 S ( x) 表成 t 的函数 S ? S (cos t ) ? S (t ) ,并求 大值时点 P 的坐标; 四、 (15 分)已知函数 y ?

dS 取得最 dt

x2 ? 5 求: x?3

1、函数 f ( x) 的单调增加、单调减少区间,极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 五、 (10 分)设函数 f ( x ) 在 [ ?l , l ] 上连续,在 x ? 0 处可导,且 f ?(0) ? 0 , 1、证明:对于任意 x ? (0, l ) ,至少存在一个 ? ? (0,1) 使

? f (t )dt ? ? f (t )dt ? x[ f (? x) ? f (?? x)]
0 0

x

?x

2、求极限

武汉大学数学与统计学院 B卷 2007—2008 第一学期《高等数学 B》期末考试试题参考答案

一、试解下列各题: (



1、解: 2、解:原式 ?

1 ? x2 ? 1 arctan x ? x 1 ? x2 1 ? x2 ? ? 1 ? lim ? lim ? lim x ?0 x ?0 x ?0 6 x 2 6 2 x3 6x2
1 1

ln(1 ? x) 1 1 1 1 1 |0 ?? dx ? ln 2 ? ? ( ? )dx 2? x (1 ? x)(2 ? x) 3 0 1+x 2 ? x 0 1 1 1 ? ln 2 ? (ln( x ? 1) |1 ln 2 0 ? ln(2 ? x ) |0 ) ? 3 3 ?? ?? arctanx 1 1 ?? 3、解: ? d x ? ? arctan x | ? dx 1 2 2 ? x x 1 1 x(1 ? x ) ? 1 ? 1 ?? ? ? [ln x ? ln(1 ? x 2 )]1 ? ? ln 2 4 2 4 2 x? y 4、解: 由 f (0) ? 0 f ?(0) ? y ?(0) ,又 y ? xy? ? e (1 ? y ?) ? 0 ; 故所求切线方程为: x ? y ? 0 , y ?(0) ? ?1 f ?(0) ? ?1 2 f ( ) ? f (0) 2 n 且 lim nf ( ) ? lim ? 2 ? 2 f ?(0) ? ?2 n ?? n ?? 2 n n dy dt ? ?2t 2 sin t 2 (t ? 0), ? ?2t sin t 2 5、解: dt dx 1 d2y 1 dy dy ? d2 y | ?? ?t | ?? , 2 ? 2 2 t? dx dx 2 dx ?2t sin t dx t ? 2 ? 2? 2
sin t sin t ?sin x 6、解: f ( x) ? lim( ) ? e sin x ,故 x ? 0 是 f ( x) 的第一类可去间断点。 t ? x sin x l i mf x( ?) ? ,故 x ? k? (k ? ?1, ?2,?) 是函数 f ( x) 的第二类无穷间断点。
x ? k?
x x

7、解:由 y ?
??

1 1 ? x 1? x

y( n) ? [(?1)n ? x?( n?1) ? (1 ? x)?( n?1) ]n!
??

8、解: S ?

?
0

?? ?? xe? x dx ? ? xe? x |0 ? ? e? x dx ? e? x |0 ?1 0

二、(10 分)解:1、

f ( x) A ? lim ? f ?(a) x ?a x ? a

f ?( x)( x ? a) ? f ( x) ( x ? a) 2 g ( x) ? g ( a) f ( x) ? f ?( x)( x ? a) f ??(a) ? x ? a , g ( a ) ? lim ? lim ? 当 x ?a x ?a ( x ? a) 2 ( x ? a) 2 ( ?a ? ) f x( ) ? f ?( x ) x x?a 2 ? ( x ? a) ? g ?( x) ? ? 所以 ? f ??(a) x?a ? ? 2 f ?( x)( x ? a) ? f ( x) f ??(a) 3、 lim g ?( x) ? lim ? ? g ?(a) x ?a x ?a 2 ( x ? a) 2 故 g ?( x ) 在 x ? a 处连续。
2、当 x ? a , g ?( x) ? 三、 (10 分)解:1、 y ? 2(1 ? x2 )

y 2(1 ? x 2 ) X ? X , x x x 1 2(1 ? x2 ) 4 1 XdX ? ? 2(1 ? X 2 )dX ? ? x ? x3 则所求面积为: S ( x) ? ? x 3 3 0 x 4 1 3 3、 S (t ) ? ? cos t ? cos t , S ?(t ) ? sin t (1 ? cos2 t ) 3 3 1 4 S ??(t ) ? cos t (3cos2 t ? 1) ,令 S ??(t ) ? 0 ? cos 2 t ? ,sin 2 t ? 3 3 1 4 1 4 dS x? ,y ? , ) 取得最大值时点 P 的坐标; P( dt 3 3 3 3 四、 (15 分)解:定义域为: (??,3) ? (3, ??) 8 ( x ? 1)( x ? 3) 令 y ? ? 0 ? 驻点 x ? 1,3 y ?? ? y? ? 2 ( x ? 3 3) ( x ? 3) (??,1) 1 (1,3) 3 (5, ??) (3,5) 5 x + + — ? y? + + — ? y ?? y 单增 极大值点 单减 单减 极小值点 单增
2、 设曲线上有点 P( x, 2(1 ? x )) , 而 OP 的方程为: Y?
2

y ? f ( x)

上凸

上凸

下凸

下凸

1) 故单调增加区间为: 、 单调减少区间为: 极小值为: ,极大值 f (1) ? 2 。 2)下凸区间为: (3, ??) 上凸区间为: (??, 3)

x3 ? ? ,故 x ? 3 为函数图形的铅直渐近线。 x ?3 ( x ? 1) 2 f ( x) l i m f[ x( ? ) x ? ] 3 又 lim ?1 x ?? x ?? x 故 y ? x ? 3 为函数图形的斜渐近线。
由 lim 五、 (9 分)解:1、设 F ( x) ?

?
0

x

?x

f (t )dt ?
?x

? f (t )dt , x ? [?l, l ]
0

应用拉格朗日中值定理有:

?
0

x

f (t )dt ?

? f (t )dt ? x[ f (? x) ? f (?? x)]
0

?
2、由 1、所以
x 0

x

?x

f (t )dt ? 2x
?x 0 2

0 2

?

f (t )dt ?

f (? x) ? f (?? x) ? 2 x?

lim 因此 x ?0?

f ( x) ? f (? x) f ?(0) ? x ?0 4x 2 2x f (? x) ? f (?? x) 1 lim ? ? f ?(0) lim? ? 故 lim ? x ? 0? x ?0 x ? 0? 2 x? 2
0

? f (t )dt ? ?

f (t )dt

?? lim ?


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