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八年级数学下学期期中试卷(含解析) 新人教版50

福建省福州市长乐市 2015-2016 学年八年级(下)期中数学试卷
一、选择题 1.在△ABC 中,∠C=90°,若 AC=3,BC=4,则 AB=( A. B.5 C. D.7 合并的是( D. ) ) )

2.下列根式中,能与 A. B. C.

3.如图,等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,则∠DEC 的度数为(

A.150°

B.120°

C.60° D.30° 没有意义的是( )

4.下列四个 x 的值中,使根式 A. 5.把 A. B.3 C. 2 D.1

化为最简二次根式,结果是( B. C. D. )



6.下列几组数中,是勾股数的是( A.1, , B.15,8,17

C.13,14,15

D. , ,1 ) D.3:1:3:1

7.在?ABCD 中,∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是( A.1:2:3:4 B.1:3:3:1 ) C.3:3:1:1

8.下列运算正确的是( A. B. C. D. =2016 + =

9.菱形不一定具有的性质是( A.对角线相等 C.轴对称图形 B.四条边相等



D.对角线互相平分
1

10.如图,矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠,使点 C 落在点 C 处,BC 交 AD 于点 E,AD=8,AB=4, 则 BE 的长为( )

A.3

B.4

C. 5

D.2

二、填空题 11.直角三角形中,两直角边分别是 12 和 5,则斜边上的中线长是______. 12.已知 是正整数,则 n 的最大值为______.

13.平面直角坐标系中,两点 A(1,1)和 B(4,﹣4)之间的距离为______. 14.命题“在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是:______. 15.如图,矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1,S2,当点 B 在 EF 边上时,则 S1 与 S2 之 间的数量关系为:______.

16.如图所示是一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一条边为斜边, 向外作等腰三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,依此类推, 若正方形⑦的边长为 1cm,则正方形①的边长______cm.

三、解答题(62 分) 17.(10 分)(2016 春?长乐市期中)计算 (1)( +2)2+( + )( ﹣ )
2

(2)

+



×



18.如图,在?ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,且 BE=FD,求证:四边形 AECF 是平行四 边形.

19.如图,正方形网格的每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫做格点,按下 列要求作答: (1)在网格图中画一个?ABCD,使顶点都在格点上,AB= (2)?ABCD 的面积是______; (3)求∠ABD 的度数. ,AD= ;

20.如图,梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上,这时 BO 为 0.7m.如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.4m,那么梯子底端 B 也外移 0.8m,求梯子 AB 的长.

21.如果是我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60°,30°,15°等大小的角,可以 采用下面的方法(如图): 第一步:对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展开. 第二步:再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时,得 到了线段 BN. (1)求∠NBC 的度数;

3

(2)通过以上折纸操作,还得到了一些不同角度的角,请写出除∠NBC 以外的两个角及它 们的度数; (3)请你继续折出 15°大小的角,说出折纸步骤.

22.(10 分)(2016 春?长乐市期中)如图 1,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的动点,点 E 在射线 AD 上,且 PA=PE. (1)求证:PC=PE; (2)求∠EPC 的度数; (3)如图 2,把正方形 ABCD 改为边长为 2 的菱形 ABCD,且∠ABC=120°,其他条件不变, 连接 CE,求 AP?CE 的最小值.

23.(11 分)(2016 春?长乐市期中)如图,在平面直角坐标系中 xOy 中,边长为 10 的正 方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 P,点 A 在 x 轴正半轴上运动,点 B 在 y 轴正半轴上运 动(正半轴不包含原点 O),点 C、D 都在第一象限. (1)当点 A 坐标为(6,0)时,求点 C 的坐标; (2)求证:OP 平分∠AOB; (3)直接写出 OP 长的取值范围.

4

2015-2016 学年福建省福州市长乐市八年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题 1.在△ABC 中,∠C=90°,若 AC=3,BC=4,则 AB=( A. B.5 C. D.7 )

【考点】勾股定理. 【分析】根据勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边 长的平方,即 BC2+AC2=AB2,结合 AC=3,BC=4,可求出斜边 AB 的长度. 【解答】解:在直角△ABC 中, ∵∠C=90°, ∴AB 为斜边, 则 BC2+AC2=AB2, 又∵AC=3,BC=4, 则 AB= 故选 B. 【点评】本题考查了勾股定理的知识,属于基础题目,像这类直接考查定义的题目,解答的 关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式. =5.

2.下列根式中,能与 A. B. C.

合并的是( D.



【考点】同类二次根式. 【分析】把各根式化为最简二次根式,找出 【解答】解:A、∵ B、∵ C、∵ D、∵ = = =3 ,∴ ,∴ ,∴ =2 与 与 与 ,∴ 与 的同类二次根式即可. 是同类二次根式,可以合并,故本选项正确;

不是同类二次根式,可以合并,故本选项错误; 不是同类二次根式,可以合并,故本选项错误; 不是同类二次根式,可以合并,故本选项错误.

5

故选 A. 【点评】本题考查的是同类二次根式,熟知一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后, 如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键.

3.如图,等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,则∠DEC 的度数为(



A.150°

B.120°

C.60° D.30°

【考点】三角形中位线定理;等边三角形的性质. 【分析】根据等边三角形的性质,可得∠C 的度数,根据三角形中位线的性质,可得 DE 与 BC 的关系,根据平行线的性质,可得答案. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠C=60°, ∵点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点, ∴DE∥BC, ∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°, 故选:B. 【点评】 本题考查了三角形中位线定理以及等边三角形的性质, 解题的关键是掌握三角形的 中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

4.下列四个 x 的值中,使根式 A. B.3 C. 2 D.1

没有意义的是(



【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】根据二次根式没有意义的条件是:被开方数是负数,据此即可求解. 【解答】解:根据题意得:x﹣2<0, 解得:x<2. 则满足条件的只有 1. 故选 D.
6

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质.概念:式子

(a≥0)叫二次根式.性质:

二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.

5.把 A.

化为最简二次根式,结果是( B. C. D.



【考点】最简二次根式. 【分析】根据二次根式的除法法则把原式变形,根据二次根式的性质计算即可. 【解答】解: 故选:D. 【点评】 本题考查的是二次根式的化简, 掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解题 的关键. = = ,

6.下列几组数中,是勾股数的是( A.1, , B.15,8,17

) C.13,14,15 D. , ,1

【考点】勾股数. 【分析】满足 a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾股数,依此判断即可. 【解答】解:A、∵1,
2 2 2



不都是整数,∴此选项不符合题意;

B、∵15 +8 =17 ,且 15,8,17 都是整数,∴此选项符合题意; C、∵13 +14 ≠15 ,∴此选项符合题意; D、∵ , ,1 不都是整数,∴此选项不符合题意. 故选 B. 【点评】本题考查了勾股数,注意: ①三个数必须是正整数,例如:2.5、6、6.5 满足 a +b =c ,但是它们不是正整数,所以它 们不是够勾股数. ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如:3,4,5;6,8,10;5,12,13;…
2 2 2 2 2 2

7.在?ABCD 中,∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是(


7

A.1:2:3:4

B.1:3:3:1

C.3:3:1:1

D.3:1:3:1

【考点】平行四边形的性质. 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C,∠B=∠D,∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°, 根据以上结论即可选出答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,∠B=∠D,AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°, 即∠A 和∠C 的数相等,∠B 和∠D 的数相等,且∠B+∠C=∠A+∠D. 故选 D.

【点评】 本题主要考查了平行四边形的性质, 能根据平行四边形的对角相等及平行线的性质 进行判断是解此题的关键.

8.下列运算正确的是( A. B. C. D. =2016 + =



【考点】二次根式的混合运算. 【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则和二次根式 的除法法则对各个选项进行计算,判断即可. 【解答】解: + =4 +4 =8 ,A 错误;

≠2016﹣ × = 故选:C. = × ,D 错误, ×

,B 错误; =2016 ,C 正确;

8

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算,掌握二次根式的混合运算法则、正确理解二次 根式的性质是解题的关键.

9.菱形不一定具有的性质是( A.对角线相等 C.轴对称图形 B.四条边相等



D.对角线互相平分

【考点】菱形的性质;轴对称图形. 【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直,且平分一组对角,即可求得答案;注意排除法在 解选择题中的应用. 【解答】解:菱形的性质有:四条边都相等,对角线互相垂直平分,是轴对称图形. ∴菱形不一定具有的性质是:对角线相等. 故选:A. 【点评】 此题考查了菱形的性质. 此题比较简单, 注意熟记菱形的性质定理是解此题的关键.

10.如图,矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠,使点 C 落在点 C 处,BC 交 AD 于点 E,AD=8,AB=4, 则 BE 的长为( )

A.3

B.4

C. 5

D.2

【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠C′BD=∠DBC=∠BDA,可得 DE=BE,设 BE=DE=x, 则 AE=8﹣x.根据勾股定理得出方程,解方程即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠DBC=∠BDA, 由折叠的性质得:∠C′BD=∠DBC, ∴∠C′BD=∠BDA, ∴DE=BE,
9

设 BE=DE=x,则 AE=8﹣x. 在△ABE 中,由勾股定理得: x2=42+(8﹣x)2. 解得:x=5, ∴BE=5. 故选:C. 【点评】此题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理;熟练掌 握矩形和翻折变换的性质,由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

二、填空题 11.直角三角形中,两直角边分别是 12 和 5,则斜边上的中线长是 6.5 . 【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理. 【分析】 先根据勾股定理列式求出斜边的长, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半解答. 【解答】解:∵直角三角形中,两直角边分别是 12 和 5, ∴斜边为 =13,

∴斜边上中线长为 ×13=6.5. 故答案为:6.5. 【点评】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质, 勾股定理的应用, 熟记性质是解题的关键.

12.已知

是正整数,则 n 的最大值为 17 .

【考点】二次根式的定义. 【分析】根据二次根式的定义,即可解答. 【解答】解:∵18﹣n≥0, ∴n≤18, ∵ 是正整数,

∴n 的最大值是 17, 故答案为:17.
10

【点评】本题考查了二次根式的定义,解决本题的关键是熟记二次根式的定义.

13.平面直角坐标系中,两点 A(1,1)和 B(4,﹣4)之间的距离为 【考点】勾股定理;坐标与图形性质. 【分析】直接根据两点间的距离公式计算. 【解答】解:AB= 故答案为: . = ,



【点评】本题考查了两点间的距离公式:设有两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点间 的距离为 AB= .

14.命题“在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是: 角平分 线上的点到角的两边距离相等 . 【考点】命题与定理. 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题,“在角的内部,到角的两边距离 相等的点在角的平分线上”的条件是“角平分线上的点”,结论是“到角两边距离相等的 点”. 【解答】解:命题“在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是: 角平分线上的点到角的两边距离相等, 故答案为:角平分线上的点到角的两边距离相等. 【点评】考查了命题与定理的知识,根据逆命题的定义来回答,对于两个命题,如果一个命 题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件, 那么这两个命题叫做互逆命题, 其中一 个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.

15.如图,矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1,S2,当点 B 在 EF 边上时,则 S1 与 S2 之 间的数量关系为: S1=S2 .

【考点】矩形的性质.
11

【分析】由于矩形 ABCD 的面积等于 2 个△ABC 的面积,而△ABC 的面积又等于矩形 AEFC 的 一半,所以可得两个矩形的面积关系. 【解答】解:∵矩形 ABCD 的面积 S1=2S△ABC,S△ABC= S 矩形 AEFC, ∴S1=S2. 故答案为:S1=S2. 【点评】 本题主要考查了矩形的性质及面积的计算, 能够熟练运用矩形的性质进行一些面积 的计算问题.

16.如图所示是一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一条边为斜边, 向外作等腰三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,依此类推, 若正方形⑦的边长为 1cm,则正方形①的边长 8 cm.

【考点】正方形的性质;勾股定理. 【分析】求出正方形的性质,再根据勾股定理依次求出各正方形的面积,然后求出正方形① 的面积,再根据正方形的性质求出边长即可. 【解答】解:∵正方形⑦的边长为 1cm, ∴正方形⑦的面积为 1cm2, ∵各三角形都是等腰直角三角形, ∴正方形⑥的面积为 1+1=2cm2, 同理,正方形⑤的面积是 4cm , 正方形④的面积是 8cm2, 正方形③的面积是 16cm2, 正方形②的面积是 32cm , 正方形①的面积是 64cm , ∴正方形①的边长 8cm. 故答案为:8.
12
2 2 2

【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,读懂题目信息,依 次求出各正方形的面积是解题的关键.

三、解答题(62 分) 17.(10 分)(2016 春?长乐市期中)计算 (1)( (2) +2) +( +
2

+ ﹣

)( ×

﹣ .



【考点】二次根式的混合运算. 【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式全部展开,再合并可得; (2)分别计算二次根式的除法、化简二次根式、二次根式的乘法,再合并同类二次根式即 可. 【解答】解:(1)原式=3+4 (2)原式= +2 ﹣ =2 +4+5﹣3=9+4 . ;

【点评】 本题主要考查二次根式的混合运算, 熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关 键,混合运算注意运算顺序.

18.如图,在?ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,且 BE=FD,求证:四边形 AECF 是平行四 边形.

【考点】平行四边形的判定与性质. 【分析】 根据“?ABCD 的对边平行且相等”的性质推知 AD=BC 且 AD∥BC; 然后由图形中相关 线段间的和差关系求得 AF=CE,则四边形 AECF 的对边 AF 形. 【解答】证明:在□ABCD 中,AD=BC 且 AD∥BC ∵BE=FD,∴AF=CE ∴四边形 AECF 是平行四边形 CE,故四边形 AECF 是平行四边

13

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要 认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

19.如图,正方形网格的每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫做格点,按下 列要求作答: (1)在网格图中画一个?ABCD,使顶点都在格点上,AB= (2)?ABCD 的面积是 (3)求∠ABD 的度数. 4 ; ,AD= ;

【考点】作图—复杂作图;平行四边形的性质. 【分析】(1)利用网格特点和勾股定理可画出 AB 和 AD,然后过点 D 作 DC=AB 且 DC∥AB, 则四边形 ABCD 满足条件; (2) 先利用三角形面积公式计算出△ABC 的面积, 然后利用平行四边形的性质求?ABCD 的面 积; (3)利用勾股定理的逆定理证明△ABD 为直角三角形,从而得到∠ABD 的度数. 【解答】解:(1)如图,平行四边形 ABCD 为所作;

(2)S 平行四边形 ABCD=2S△ABC=2× ×1×4=4; 故答案为 4; (3)解:连接 BD,如图, ∵AB= 而( ,AD= )2+(2 ,BD= )2=( =2 )2, ,

∴(AB)2+(BD)2=(AD)2,
14

∴△ABD 为直角三角形,∠ABD=90°. 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般 是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性 质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.解决(3)小题的关 键是勾股定理的逆定理的应用.

20.如图,梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上,这时 BO 为 0.7m.如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.4m,那么梯子底端 B 也外移 0.8m,求梯子 AB 的长.

【考点】勾股定理的应用. 【分析】设 AO=xm,利用勾股定理用 x 表示出 AB 和 CD 的长,进而求出 x 的值,即可求出 AB 的长度. 【解答】解:设 AO=xm,依题意,得 AC=0.4,BD=0.8, 在 Rt△AOB 中,根据勾股定理 AB =AO +OB =x +0.7 , 在 Rt△COD 中,根据勾股定理 CD2=CO2+OD2=(x﹣0.4)2+(0.7+0.8)2, ∴x2+0.7 =(x﹣0.4) +(0.7+0.8) , 解得 x=2.4, ∴AB= =2.5,
2 2 2 2 2 2 2 2

答:梯子 AB 的长为 2.5m.

15

【点评】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用, 本题中找到 AB=CD 为梯子长等量关系是 解题的关键.

21.如果是我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60°,30°,15°等大小的角,可以 采用下面的方法(如图): 第一步:对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展开. 第二步:再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时,得 到了线段 BN. (1)求∠NBC 的度数; (2)通过以上折纸操作,还得到了一些不同角度的角,请写出除∠NBC 以外的两个角及它 们的度数; (3)请你继续折出 15°大小的角,说出折纸步骤.

【考点】四边形综合题. 【分析】(1)连接 AN,易证△ABN 为等边三角形,由等边三角形的性质以及矩形的性质即 可求出∠NBC 的度数; (2)利用互余得到∠BMN=60°,根据折叠性质易得∠AMN=120°; (3)把 30 度的角对折即可折出 15°大小的角. 【解答】(1)解:由折叠性质可得,AB=NB,EF 垂直平分 AB,如图 1,

连接 AN,则 NA=NB, ∴AB=NB=NA, ∴△ABN 为等边三角形, ∴∠ABN=60°,

16

∵四边形 ABCD 为矩形, ∴∠ABC=90°, ∴∠NBC=∠ABC﹣∠ABN=30°; (2)通过以上折纸操作,还得到了∠BMN=60°,∠AMN=120°等; (3)如图所示:

再一次折叠纸片,使点 A 落在 BM 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BH,则∠ABH=15°. 【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形 状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和等边三角形的判定 及其性质.

22.(10 分)(2016 春?长乐市期中)如图 1,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的动点,点 E 在射线 AD 上,且 PA=PE. (1)求证:PC=PE; (2)求∠EPC 的度数; (3)如图 2,把正方形 ABCD 改为边长为 2 的菱形 ABCD,且∠ABC=120°,其他条件不变, 连接 CE,求 AP?CE 的最小值.

【考点】四边形综合题. 【分析】(1)先证出△ABP≌△CBP,得 PA=PC,由于 PA=PE,得 PC=PE; (2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由 PA=PC,得到∠DAP=∠E, ∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;

17

(3) 借助 (1) 和 (2) 的证明方法易证△EPC 是等边三角形, 由等边三角形的性质可得 AP=CE, 当 AP?CE 的值最小时,则 AP 最小,由垂线段最短可知当 AP⊥BD 时,AP 最小,利用勾股定 理求出 AP 的值即可得到两条线段乘积的最小值. 【解答】(1)证明:在正方形 ABCD 中,AB=BC, ∠ABP=∠CBP=45°, 在△ABP 和△CBP 中, , ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC, ∵PA=PE, ∴PC=PE;

(2)由(1)知,△ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PE, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E, ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°;

(3)在菱形 ABCD 中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°, 在△ABP 和△CBP 中, , ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC,∠BAP=∠BCP, ∵PA=PE,
18

∴PC=PE, ∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠AEP, ∴∠DCP=∠AEP ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP, 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°, ∴△EPC 是等边三角形, ∴PC=CE, ∴AP=CE, 当 AP?CE 的值最小时,则 AP 最小,由垂线段最短可知当 AP⊥BD 时,AP 最小,此时 AP= = , × =3.

∴AP?CE 的最小值=

【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边三角形的 判定和性质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP 是解题的关键.

23.(11 分)(2016 春?长乐市期中)如图,在平面直角坐标系中 xOy 中,边长为 10 的正 方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 P,点 A 在 x 轴正半轴上运动,点 B 在 y 轴正半轴上运 动(正半轴不包含原点 O),点 C、D 都在第一象限. (1)当点 A 坐标为(6,0)时,求点 C 的坐标; (2)求证:OP 平分∠AOB; (3)直接写出 OP 长的取值范围.

【考点】四边形综合题.
19

【分析】(1)过点 C 作 CM⊥y 轴于 M,△MBC≌△OAB,得到 MC=OB,MB=OA,再利用勾股定 理求出 OB=8,再求出 MC,MO 的值,即可确定点 C 的坐标为(8,14); (2)过点 P 作 PE⊥y 轴于 E,过点 P 作 PF⊥x 轴于 F,则∠BEP=∠AFP=90°,可通过三角形 全等,证明 OP 是角平分线. (3)因为 OP 是∠AOB 的平分线上,就有∠POA=45°,就有 OP= PF,在 Rt△APE 中运用三

角函数就可以表示出 PE 的范围,从而可以求出 OP 的取值范围.. 【解答】解:(1)如图 1,过点 C 作 CM⊥y 轴于 M,则∠CMB=∠BOA=90°,

∴∠MBC+∠MCB=90°, ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠MBC+∠OBA=90°, ∴∠MCB=∠OBA, 在△MBC 和△OAB 中,

∴△MBC≌△OAB, ∴MC=OB,MB=OA, ∵点 A 坐标为(6,0),AB=10 ∴ ∴MC=8,MO=MB+OB=6+8=14, ∴点 C 的坐标为(8,14) (2)如图 2,过点 P 作 PE⊥y 轴于 E,过点 P 作 PF⊥x 轴于 F,则∠BEP=∠AFP=90°, =8,

20

∵∠EOF=90°, ∴∠EPF=90°,即∠EPA+∠APF=90°, ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴∠BPA=90°,BP=AP, ∴∠BPA=90°,即∠BPE+∠EPA=90°, ∴∠BPE=∠APF, 在△BPE 和△APF 中,

∴△BPE≌△APF, ∴PE=PF, ∴OP 平分∠AOB. (3)设∠APF=α . 在直角△APF 中,∠AEP=90°,PA=5 ∴PF=PA?cosα =5 cosa. .

∵顶点 A 在 x 轴正半轴上运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴 都不包含原点 O), ∴0°≤α <45°, ∴ <cosa≤1. ,.

∴5<PF≤5 ∵OP= ∴5 PF,

<OP≤10 <OP≤10.

OP 长的取值范围为 5

21

【点评】本题考查了正方形的性质(四边相等,四角相等,对角线互相垂直平分,且平分每 一组对角)以及坐标与图形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,勾股定理的 运用,锐角三角函数的运用.

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