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2015广东省高考压轴卷 理科数学 Word版含答案


2015 广东省高考压轴卷理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若集合 U ? {2,0,1,3,4,5} ,集合 A ? {0,3,4,2} , B ? ?0,1,2,3,4?,则 CU ( A ? B) = A. {0,3,4,2} B. {0,2}
2

C. {1,5}

D. {2,0,1,5}

2.设 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? i ? +2,则 z 的共轭复数为 A. ? 2 i B. 2i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2 i

3.已知向量 a=(1,-1)则下列向量中与向量 a 平行且同向的是 A. (2,-2) B. (-2,2) C.(-1, 2) D. (2, -1)

? x? y ?3 ? 4.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 若 z=x-y,则 z 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
A.3 5.抛物线 y ? B.4 C.5 D.6

1 2 x 上到焦点的距离等于 10 的点的坐标为 8
-8) B.(8, 8) D. (-8, 8) 或(8, 8)

A.(-8, 8) C.(-8, -8) 或(8,

6.图 1 为某村 1000 户村民月用电量(单位:度)的频率分布直方图,记月用电量在 [50,100) 的用户数为 A1,用电量在 [100,150) 的用户数为 A2,……,以此类推,用电量在 [300,350] 的用户数为 A6,图 2 是统计图 1 中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图.根据图 1 提供的信息,则图 2 中输出的 s 值为 A.820 B.720 C.620 D.520

1

7.已知正四棱锥底面边长为 1 高为 2,俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积 不可能 等于 ... A.2 B.2.5 C. 2 3 ? 1 D. 2 2 ? 1

e 1 2 1 8.若 ( x ln x)' ? ln x ?1, a ? ?1 ln xd x , a100 ? 2C100 a99 ? 22 C100 a98 ? ? ? ? ? 299 C100 a ? 2100

被 10 除得的余数为 A.3

B .1

C .9

D.7

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 3x ? 1 > x 的解集是 . . .

2 10. y ? x ? kx ,在 x ? 1 处的切线与 y ? x ? 1 垂直,则 k 的值是

11.已知四个学生和一个老师共 5 个人排队,那么老师排在中间的概率是 12.在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. 2a sin B cosC ? 2c sin B cos A ?

2b 且 a ? b ,则

?B ? ________.
13.在正项等比数列{ an }中, a3 ? a6 ? a2 ? a7 ? 2e
4

则 ln a1 ? ln a8 的最大值为

.

(二)选做题(14-15 小题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 y ? ? x 与 圆 ? 相交,交点在第四象限,则交点的极坐标为 .

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数) ? y ? sin ?

15. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 中 AB=4 为直径, ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于点 D,若 AD ? 1 , ?ACD ? ? ,则 cos ? =______.

B O A E C D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? sin( 2 x ? (1)求 f (?

?
3

)

?
2

) 的值.

(2)若 ? 为锐角, f (2? ) ? f (?2? ) ?

3 ,求 tan ? 的值. 3
2

17. (本小题满分 12 分) 测量马口鱼性成熟时重量,从大量马口鱼中随机抽取 100 尾作为样本,测出它们的重量(单位:克) , 重量分组区间为 ? 5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ? 35, 45? ,由此得到重量样本的频率分布直方图,如图 3. (1)求 a 的值; (2)若重量在 ? 25,35? , ? 35,45? 中采用分层抽样方法抽出 8 尾作为特别实验,那么在 ? 35,45? 中需取 出几尾? (3)从大量马口鱼中机抽取 3 尾,其中重量在 ? 5,15? 内的尾数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
频率 组距

0.032 a 0.02 0.018

O

5

15

25 图3

35

45

重量/克

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 若 PA=AB,求证:AN ? 平面 PBC (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.
P

N

A

B

D

M 图4

C

3

19. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n , a1 ? 1 , 4sn ? a2n?1 -4n-1, n ? N .
?

(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明: n ? N ,有
?

1 1 1 1 1 < . ? ? ????? a1a2 ? 1 a 2 a3 ? 1 a3a4 ? 1 an an?1 ? 1 2

20. (本小题满分 14 分)

若在平面直角坐标系中,已知动点 M 和两个定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

?

?

2, 0 ,且 MF 1 ? MF 2 ?4

?

?1? 求动点 M 轨迹 C 的方程; ? 2 ? 设 ? 为坐标原点,若点 E 在轨迹 C 上,点 F 在直线 y ? ?2 上,且 OE ? OF ,试判断直线 EF 与圆
x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并说明理由.

21.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3

(1)若 a ? 0 ,判断 f ( x) 的单调性. (2)若 y ? f ( x) 在 ? 4, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?
3 1 1? x? b 时,方程 f (1 ? x) ? ? ? 有实根,求实数 b 的最大值. 3 x 2

4

2015 广东省高考压轴卷 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1. 【答案】C 解析 由 U ? {2,0,1,3,4,5} , A ? B ? {0,3,4,2} 则 CU ( A ? B) = {1,5} 2. 【答案】C 解析

z ? ?1 ? i ? +2= 2i +2=2+ 2i 所以 z 的共轭复数是 2 ? 2i
2

3. 【答案】A (解析 2,-2)=2(1,-1)所以选 A 4. 【答案】A

? x? y ?3 ? 解析作出不等式组 ? x ? y ? 2 所对应的可行域 ? x ? 0, y ? 0 ?
变形目标函数 y=x-z 平移直线 y=x-z 可知,当直线经过点(3,0)时,z 取最大值, 代值计算可得 z=x-y 的最大值为 3 5. 【答案】D 解析 可以化为 x2=8y,的 准线方程为 y=-2,所以根据抛物线的定义可知,所求的点的纵坐标为 y=8,代入 x2=8y,可以得 x=8 或 x=-8,所求的点为(-8,8)或(8,8) 6. 【答案】A. 解析 由图 2 知,输出的 s ? A2 +A3 ? A4 ? A5 ,由图 1 知 A 1?A 6 ? (0.0024 ? 0.0012) ? 50 ?1000 =180, 故 s=1000-180=820,选 A. 7.【答案】D 解析 因为正视图最小值为他的一个侧面 1? 2 ? 2 , 最大值为对角面 2 ? 2 ? 2 2 ,所以正视图取值范围 为 ? 2, 2 2 ? ,而 2 2 ?1 不在范围内.

?

?

8. 【答案】B 解析
e 由 ( x ln x)' ? ln x ?1, a ? ?1 ln xd x ,可知 ( x ln x ? x) ? ln x ,所以
'

e e 1 2 1 ?1 ln xd x ? ( x ln x ? x) 1 ? 1, a ? 1 , a100 ? 2C100 a99 ? 22 C100 a98 ? ? ? ? ? 299 C100 a ? 2100

= (a ? 2)

100

1 2 49 ? 3100 , 3100 ? 950 ? (10 ?1)50 ? 1050 ?1049 C50 ?1048 C50 ? ? ? ? ?10C50 (?1)49 ? (?1)50

所以余数为 1. 二.填空题 9. 【答案】 ( ?? , ) ? ( ,?? ) 5

1 4

1 2

解析

原不等式等价于 3x-1>x 或 3x-1<-x 可得答案 ( ?? , ) ? ( ,?? )

1 4

1 2

10. 【答案】3 解析 导函数为 y’=2x-k 又在 x=1 处的切线与 y=x+1 垂直所以根据导数的几何意义有,2-k=-1 所以 k=3 11. 【答案】 解析

1 5

因为 5 个人排法有 5 的全排列有 120 种,老师在中间其余 4 人在老师两边任意排,排法有 4 的全

排列 24 种,老师中间的概率为 12. 【答案】45° 解析

24 1 ? 120 5

2a sin B cosC ? 2c sin B cos A ? 2b 根据正弦定理变式得
2 2 sinB, sinAcosC+cosAsinC= 2 2 2 又 a ? b 所以 A﹥B 所以 B=45° 2

sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=

Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB= 13. 【答案】4 解析

由等比数列性质知 a3? a6 ? a2 ? a7 ? a1 ? a8 ? e 4 ,

ln a1 ? ln a8 ? (

ln a1 ? ln a8 2 ln a1a8 2 ln e 4 2 ) ?( ) ?( ) ? 4 当 a1 ? a8 ? e 2 时取等号. 2 2 2

14. 【答案】 ( 2 ,? 解析

?
4

) 或其他形式

2 2 y=-x 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1交点在第四象限的为(1,-1)转化为极坐标为 ( 2 ,?

?
4

).

15. 【答案】 解析

3 2
?CDA 相似,所以

根据弦切角定理得, ?BCA 与

AC AD AC 1 ? , ? , AB AC 4 AC

AC 2 ? 4, AC ? 2 在直角三角形 ACD 中可得 CD ? 3 , cos ? =
三.解答题 16. 解: (1) f (?

3 2

?
2

) = sin(?? ?

?
3

) ? ? sin

?
3

??

3 ---4 分 2

(2)

f (2? ) ? f (?2? ) ? sin( 2? ?

?
3

) ? sin( ?2? ?

?
3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

?
3

? sin( ?2? ) cos

?
3

+

cos(?2? ) sin

?
3

? 2 cos 2? sin

?
3

? 3 cos 2? ?

3 3
6

所以 cos 2? ?

1 1 2 , 2 cos ? -1= 3 3

又 ? 为锐角,所以 cos? ?

6 3 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? ,所以 3 3

tan? ?

sin ? 2 ……………12 分 ? cos? 2

17.解:(1)由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? x ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 x ? 0.03 . ( 2 ) ? 25,35? 个……………4 分 (3)利用样本估计总体,马口鱼重量在 ? 5,15? 内性成熟的概率为 0.2 ,则 ? , ……………2 分 频 数分别 30 个和 18 个, 按分层抽 样知

?35,45?

?35, 45?
? 1? B ? 3, ? . ? 5?

中取 8 ?

18 ?3 48

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? 125 ?5? ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

……………6 分

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ……………10 分 P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125
2 3

2

3

∴? 的分布列为:

?

0

1

2
12 125

3

P

64 125

48 125

1 125
--------------11 分 ……………12 分

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ∴E? ? 0 ? 125 125 125 125 5 1 3 (或者 E? ? 3 ? ? ) 5 5
18.解: (1)证明: PA ^ 面 ABCD , BC ? 面 ABCD ,∴ PA ^ BC 又 ABCD 为正方形, BC ? AB 又 PA

AB ? A, PA.AB ? 面 PAB ∴ BC ? 面 PAB

AN ? 面 PAB , ∴ BC ? AN , 又 PA=AB, 点 N 是 PB 的 中 点 , ∴ AN ? PB 且

PB

BC ? B, PB.BC ? 平面 PBC∴AN ? 平面 PBC----------4 分

(2)∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD ,

7

∴ NE ^ 面 ABCD . 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,

以点 A 为原点, AD 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A 0,0,0 ,M ? 3, …………… 6 分

?

?

? ?

? 3 ? ? 3 ? 3 ? ,0 ? , E ? 0, ,0 ? , N ? 0, ,4 ? . 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
3 AM ? (3, , 0) 2



? 3 ? AN ? ? 0, ,4 ? , ? 2 ?
设平面 AMN 的法向量为 n ?

? x, y, z ? ,
z P

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,

? 3 3x ? y ? 0, ? ? 2 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ? ?2
令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

N

3 . 4
D x

A

E

B y

∴ n ? ?1,?2, ? 是平面 AMN 的一个法向量.

? ?

3? 4?

M

C

…………… 11 分

又 m ? (0,0,1) 是平面 AMB 的一个法向量,

cos? n, m? ?

n?m n?m

?

3 89 89 3 89 . 89
2

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为 19.解: (1)由 4sn ? a
2 n ?1 -4n-1

…………… 14 分

得 4 s1 ? a2 ? 4 ?1 因为 an ﹥0,a1 ? 1 ,所以 a2 ?

4a1 ? 5 ,所以 a2 ? 3,

据而可得 a3 ? 5 --------2 分. (2) 4sn ? a
2 n ?1 -4n-1-----(1)

当 n ? 2 , 4sn?1 ? an ? 4(n ?1) ?1 -----(2)
2

8

由(1)-(2)得 4an ? a2n?1 ? a2 n ?4, 即 a2n?1 ? (an ? 2)2 (n ? 2) 因为 an ﹥0,所以 an?1 ? an ? 2, an?1 ? an ? 2(? 2) 又 a2 ? a1 ? 2 ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 an = 2n ? 1 .-----------8 分(或用数学归纳法) (3)

1 an an?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 所以 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? ? ????? a1a2 ? 1 a 2 a3 ? 1 a3a4 ? 1 an an?1 ? 1
?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? ? < 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2

-------------14 分. 20解: (1)由题意知: MF1 ? MF2 ? 4 ? F1F2 ? 2 2 所以,由椭圆的 定义可知:动点 M 运动的轨迹是: 以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 4,焦距为 2 2 的椭圆, 且短半轴长为 2 ?
2

? 2?

2

? 2

所以轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 -----4分 4 2

(2)直线 EF 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切. 证明如下:设点 E (m, n) , F (t , 2) ,显然其中 m ? 0 , 因为 OE ? OF , ,所以 OE OF ? 0 ,即 tm ? 2n ? 0 ,所以 t ? ① 直线 EF 的斜率不存在时,即 m ? t 时, n ?

2n m

t2 ,代入椭圆方程可得: 2

? t2 ? t ? 2 ? ? ? ? 4 ,解得: t ? ? 2 , ?2?
2

2

此时直线 EF 的方程为 x ?

2 或 x ? ? 2 ,显然与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切.

②当直线 EF 的斜率存在,即 m ? t 时,直线 EF 的方程为:

y?2?

n?2 ( x ? t ) ,即 (n ? 2) x ? (m ? t ) y ? 2m ? tn ? 0 ……(9分) m?t
9

此时,圆心 O(0,0) 到直线 EF 的距离 d ?
2 2 又因为 m ? 2n ? 4 , t ?

?2m ? tn (n ? 2) 2 ? (m ? t ) 2

2n m

所以 d ?

2m ? tn (n ? 2) 2 ? (m ? t ) 2

?

? 2n ? 2m ? ? ? ? n ?m? ? 2n ? ? 2n ? m 2 ? n 2 ? 4n ? 2m ? ? ? ? 4 ? ? ? ?m? ?m?
2m 2 ? 4 ? m 2 m
2

=

2m 2 ? 2n 2 m 4n 2 m2 ? n2 ? 2 ? 4 m m2 ? 4 m m ? 8m ? 16 2m 2
4 2

=

m2 ?

4 ? m 2 8 ? 2m 2 ? ?4 2 m2

=

? 2 ,所以,直线 EF 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切.

综上,直线 EF 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切.……(14分) 21.解:(1)若 a ? 0 则 f ( x ) ?

x3 ? x2 3

所以当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) , 当 f '( x) ? x( x ? 2) ﹥0 得 x ? 2 或 x ? 0 当 f '( x) ? x( x ? 2) 0 时得 0 ? x ? 2 ,所以 f ( x) 的单调增区间为 (??,0),(2, ??) ,减区间为

(0, 2) .------3 分.
(2)因为 f ( x ) 在区间为 ? 4, ??) 上增函数, 所以 f '( x) ?
2 2 x? ?2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? ?

2ax ? 1

? 0 在区 ? 4, ??) 上恒成立

当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 ? 4, ??) 上恒成立,所以 f ( x ) 在 ? 4, ??) 上为增函数,故 a ? 0 符合题意 当 a ? 0 时,由函数 f ( x ) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 4 恒成立,故只能 a ? 0 , 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0 在恒成立
2 2

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 , 4a

因为 a ? 0 所以 1 ?

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 ? 4, ??) 上恒成立,只要 g (4) ? 0 即可, 4a
10

因为 g (4) ? ?4a2 ? 16a ? 2 ? 0

解得

4?3 2 4?3 2 ?a 2 2 a? 4?3 2 2
? 4?3 2? ? ----------8 分 2 ? ?
3

因为 a ? 0 ,所以. 0

综上所述, a 的取值范围为 ?0,

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? b . 1 (3)若 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? x 3 x 2
问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x 2 ? x3 在 ? 0, ?? ? 上有解, 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? x3 的值域 因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x 2 ) ,令 h( x) ? ln x ? x ? x 2 , 则 h '( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?1? 2x ? x x

,

所以当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数, 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0 -----14 分.

11


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