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2019高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案

最新中小学教案、试题、试卷 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 三角形是最重要的基本平面图形,它包含了丰富的知识,也蕴含了深刻的思想,很多较复杂的图形问 题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系, 因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平 分线上的点到这个角两边的距离相等;三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等,诸如 此类。 在高中学习中,还会涉及到三角形三条中线交点(重心) 、三条高线交点(垂心) 、三条边的垂直平分 线交点(外心)及三条内角平分线交点(内心)的问题,因而有必要进一步了解它们的性质。 【知识梳理】 三角形的四心 (1)角平分线:三角形的三条角平分线交于一点,这点叫做三角形的内心,它到三角形各边的距离相等. (2)高线:三角形的三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心. (3)中线:三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形的重心. (4)垂直平分线:三角形的三条垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心,外心到三角形三个顶点的距 离相等. 【高效演练】 1.如图所示,在△ABC 中,点 P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度. 2.设 M 为 △ ABC 的重心,且 AM ? 3 , BM ? 4 , CM ? 5 ,则 △ ABC 的面积为 . 最新中小学教案、试题、试卷 【解析】由 AM ? 3 , BM ? 4 , CM ? 5 ,有 AM 2 ? BM 2 ? CM 2 , 知两中线 AD , BE 垂直. 于是 S△ ABC ? 【答案】18 3.已知 H 、 O 分别为锐角 △ ABC 的垂心和外心, OD ? BC ,垂足为 D ,则 AH∶OD ? ________. 【解析】可延长 BO 交 △ ABC 的外接圆于 E ,证明四边形 AHCE 为平行四边形即可. 【答案】2∶1 4. 如图,正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,在 OB 上任取一点 P,连结 AP,过 D 作 AP 垂线 交 OA 于 Q 点. 求证:OP=OQ. 3 ? AM ? BM ? 18 . 2 【解析】 在△APD 中,由 AO⊥PD,DQ⊥AP 可知,点 Q 是△APD 的垂心,连结 PQ,必有 PQ⊥AD. ∵AB⊥AD,∴PQ∥BA, ∴ OP OQ ? OB OA 又∵OA=OB,∴OP=OQ. 5. 如图 3,在△ABC 中,AB=AC,过 BC 的中点 D 作 DE⊥AC 于点 E,G 是 DE 的中点, 求证:AG⊥BE. 最新中小学教案、试题、试卷 6.求证:三角形的三条高交于一点. 已知 求证 证明 V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点. CH ^ AB . 以 CH 为直径作圆, Q AD ^ BC, BE ^ AC, \ ? HDC \ D、E 在以 CH 为直径的圆上, \ ? FCB ? DEH . ? HEC 90o , 同理,E、D 在以 AB 为直径的圆上,可得 ? BED ? BAD . \ ? BCH ? BAD , 又 V ABD 与 VCBF 有公共角 ? B , \ ? CFB ? ADB 90o ,即 CH ^ AB . 7.(1)设 G 是△ABC 的重心,证明:△GBC,△GAC,△GAB 的面积相等. (2)利用(1)的结论,证明:三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的 2 倍. 最新中小学教案、试题、试卷 【分析】 (1) 设三条中线为 AD, BE, CF, 三中线交于 G 点, G 是重心, 由同底等高得到 S△GBC=2S△GCD, S△GAC=2S△GCD, 由此能证明△GBC,△GAC,△GAB 的面积相等. (2)设三条中线为 AD,BE,CF,三中线交于 G 点,G 是重心,由 S△GBC=S△GAC,S△GBC=2S△GCD,得到 S△GAC=2S△GCD, 由此能证明三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的 2 倍. (2)证明:设三条中线为 AD,BE,CF,三中线交于 G 点,G 是重心, ∵△GBC,△GAC,△GAB 的面积相等, ∴S△GBC=S△GAC, ∵BD=CD,∴S△GBC=2S△GCD, ∴S△GAC=2S△GCD, ∵△AGC 和△DGC 在分别以 AG 和 DG 为底时,高都是点 C 到边 AD 的距离, ∴AG=2GD,同理可证 CG=2GF,BG=2GE, ∴三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的 2 倍. 【点评】本题考查三角形面积相等的证明,考查三角形重心定理的证明,解题时要注意三角形面积公式的 合理运用 最新中小学教案、试题、试卷 8.已知三角形的三边 a,b,c,三角形的重心到外接圆的距离为 d,外接圆半径为 R,求证:a +b +c +9d =9R . 【分析】以△ABC 的外心为原点建立坐标系,可令 A、B、C 的坐标依次是: (Rcosα ,Rsinα ) 、 (Rcosβ , Rsinβ ) 、 (Rcosγ , Rsinγ ) . 令 AB 中点为 D、 △ABC 的重心为 G (m, n) , 求出 m, n, 进而可证明 a +b +c +9d =9R . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 于是: a =(Rcosβ ﹣Rcosγ ) +(Rsinβ ﹣Rsinγ ) =R (2﹣2cosβ cosγ ﹣2sinβ sinγ ) b =(Rcosα ﹣Rcosγ ) +(Rsinα ﹣Rsinγ ) =R (2﹣2cosα cosγ ﹣2sinα sinγ ) , c =(Rcosα ﹣Rcosβ

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