黄浦区高考模拟考 数学试卷(理科)
2013 年 4 月 11 日
考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷 上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟. 一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接 填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分． 1．若复数 z 满足 2．函数 f ( x) ?
z 9
?1 z
? 0 ，则 z 的值为___________.
x ? 1 ? lg(4 ? 2 x) 的定义域为___________.
开始
3．若直线 l 过点 A(?1,3) ，且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，则直线 l 的方 程为___________. 4．等差数列 ?an ? 的前 10 项和为 30，则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? ___________. 5．执行右边的程序框图，则输出的 a 值是___________. 6．设 a 为常数，函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ，若 f ( x ? a) 在 [0, ??) 上是增函
2
a ?1
a ? 3a ? 1
a ? 100
是 否
数，则 a 的取值范围是___________. 7．在极坐标系中，直线 l : ? cos ? ? 1 被圆 C : ? ? 4cos ? 所截得的线段长 为___________. 8．已知点 P(2, ?3) 是双曲线
输出 a
结束
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点，双曲线两个焦点间的距离等 a 2 b2
??? ? ????
于 4，则该双曲线方程是___________. 9． 在平行四边形 ABCD 中， 若 AB ? 2, AD ? 1, ?BAD ? 60 ， 则A BB ?D
?
??? ? ??? ?
? ___________.
10．已知 A, B, C 是球面上三点，且 AB ? AC ? 4cm, ?BAC ? 90 ，若球心 O 到平面 ABC
?
的距离为 2 2 ，则该球的表面积为__________ cm . 11．在 ?ABC 中， ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 ，则
?
3
sin B 的值为___________. sin C
12．已知 x ? x ? x ? ? ? x ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) ? a3 ( x ? 3) ? ? ? an ( x ? 3)
2 3 n 2 3
n
(n ? N ? ) 且 An ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ，则 lim
An ? ___________. n ?? 4n
13．一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件，其中有 1 件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检 3 次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要 检验到次品就停止继续抽检， 并拒收这箱产品； 若 3 次都没有检验到次品， 则接受这箱产品， 按上述规则，该用户抽检次数的 数学期望是___________. 14．已知 f ( x) ? 4 ?
1 1 ，若存在区间 [a, b] ? ( , ??) ，使得 3 x
? y y ? f ( x), x ? [a, b]? ? [ma, mb] ，则实数 m 的取值范围是___________.
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
4 ，且 sin ? ? 0 ，则 tan ? 的值为 2 5 24 24 24 A． ? B. ? C. ? 25 7 7 1 2 16．函数 f ( x) ? x ? 1( x ? ?2) 的反函数是 2
15．已知 cos
?
?
D.
24 7
A． y ?
2 x ? 2(1 ? x ? 3)
B. y ?
2 x ? 2( x ? 3)
C． y ? ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3) 17．下列命题：①“ 0 ? a ?
D. y ? ? 2 x ? 2( x ? 3)
1 1 n ? ”是“存在 n ? N ，使得 ( ) ? a 成立”的充分条件；②“ a ? 0 ” 2 2 1 1 1 n ? n 是“存在 n ? N ，使得 ( ) ? a 成立”的必要条件；③“ a ? ”是“不等式 ( ) ? a 对 2 2 2
一切 n ? N 恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是 A．③ B. ②③ C. ①② D. ①③
?
2 2 18 ． 如果函数 y ? x ? 2 的图像与曲线 C : x ? ? y ? 4 恰好有两个不同的公共点， 则实数 ?
的取值范围是 A． [?1,1) B.
??1, 0?
C. (??, ?1] ? [0,1)
D. [?1,0] ? (1, ??)
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规 定区域内写出必要的步骤
19． （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 2， A1 D ? 13 . （1）求该四棱柱的侧面积与体积； （2）若 E 为线段 A1 D 的 中点，求 BE 与平面 ABCD 所成角的大小.
A1 E D C D1 C1
B1
A
B
20． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知复数 z1 ? sin x ? ?i, z2 ? (sin x ? 3 cos x) ? i ( ? , x ? R, i 为虚数单位) （1）若 2 z1 ? z2i ，且 x ? (0, ? ) ，求 x 与 ? 的值； （2）设复数 z1 , z2 在复平面上对应的向量分别为 OZ1 , OZ 2 ，若 OZ1 ? OZ 2 ，且 ? ? f ( x) ， 求 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间.
???? ? ???? ?
???? ?
???? ?
21． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
? ax (0 ? x ? 1) ? ? x2 ? a 后每毫升血液中的含药量 y （微克）与时间 x （小时）之间满足 y ? ? ， x ?1 a ? 2 ? ( x ? 1) ? ? 4 x ?1 ? 1
其对应曲线（如图所示）过点 (2,
16 ). 5
[来源:学科网]
y
达峰时间 药量峰值
（1）试求药量峰 值（ y 的最大值）与达峰时间（ y 取最大值 时对应的 x 值） ； （2） 如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到 0.01 小时）
[来源:学#科#网]
x
22．(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分. 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ，经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点
2
A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
（1）求抛物线 C 的方程； （2）若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点)，且点 E 在抛物线 C 上，求直线 l 倾斜角； （3） 若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点， 直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求证： 当 k 0 为定值时， k1 ? k2 也为定值.
??? ?
??? ? ??? ?
23．(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 具有性质：① a1 为整数；②对于任意的正整数 n ，当 an 为偶数时，
an ?1 ?
an a ?1 ；当 an 为奇数时， an ?1 ? n . 2 2
（1）若 a1 为偶数，且 a1 , a2 , a3 成等差数列，求 a1 的值； （2）设 a1 ? 2 ? 3 ( m ? 3 且 m ?N)，数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，求证： Sn ? 2
m m ?1
?3 ；
（3）若 a1 为正整数，求证：当 n ? 1 ? log 2 a1 ( n ? N)时，都有 an ? 0 .
一、填空题 1. ?3i 4. 12
2.
? ?1, 2 ?
3. y ? ?2 x ? 1 6.
5. 121 8. x ?
2
? 2, ?? ?
7. 2 3
y2 ?1 3
9. ?3
10. 64?
11.
3 5
12.
4 3
13.
27 10
14.
? 3, 4 ?
二、选择题 15. C 16. D 17. B 18. A
三、解答题 【题目 19】 【解析】⑴根据题意可得：在 Rt ?AA1D 中，高 AA1 ? ∴ S侧 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24
A1 D 2 ? AD 2 ? 3
V ? 2 ? 2 ? 3 ? 12 ⑵过 E 作 EF ? AD ，垂足为 F ，连结 BF ，则 EF ? 平面 ABCD ， ∵ BE ? ? 平面 ABCD ，∴ EF ? BF ∴在 Rt ?BEF 中， ?EBF 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角 ∵ EF ? AD, AA1 ? AD ，∴ EF∥AA1 ， 又 E 是 A1 D 的中点，∴ EF 是 ?AA1 D 的中位线， 1 3 ∴ EF ? AA1 ? 2 2
[来源:学。科。网]
[来源:学 #科 #网 ]
在 Rt ?AFB 中 BF ? ∴ tan ?EBF ?
AF 2 ? AB 2 ? 12 ? 22 ? 5
3 3 5 ? 5? 2 10 3 5 ∴ ?EBF ? arctan 10
【题目 20】 【解析】⑴∵ 2 z1 ? z2i ，∴ 2sin x ? 2?i ? 1 ? (sin x ? 3 cos x)i ∴?
? ?2sin x ? 1 ， ? ?2? ? sin x ? 3 cos x
∵ x ? (0, ? ) ，∴ x ? ∴ ? ? 1或 ? ? ?
?
6
或 ?
5 6
1 2
⑵根据题意可知： OZ1 ? (sin x, ? ), OZ 2 ? (sin x ? 3 cos x, ?1), ∵ OZ1 ? OZ 2 ，∴ OZ1 ? OZ 2 ? 0 ∴ sin x ? 3 sin x cos x ? ? ? 0
2
???? ?
???? ?
???? ?
???? ?
???? ? ???? ?
∴ ? ? sin x ? 3 sin x cos x ，
2
1 ? 1 (1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x) ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2 2? ∴最小正周期： T ? ?? 2 ? 3? ∵ sin x 在 [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 上单调减 2 2
∴? ? ∴根据复合函数的单调性：
? 3? ? [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 6 2 2 ? 5? ∴ x ? [ ? k? , ? k? ], k ? Z 3 6 ? 5? ∴ f ( x) 在 [ ? k? , ? k? ], k ? Z 上单调减 3 6
2x ?
【题目 21】
?
? 8x ,0 ? x ? 1 ? 16 ? x2 ? 1 【解析】将 (2, ) 代入函数可得： a ? 8 ，∴ f ( x ) ? ? x? 2 5 ? 2 ,x ?1 ? ? 4 x?1 ? 1
⑴当 x ? (0,1) 时， f ( x) ?
8x 8 ? 2 x ?1 x ? 1 x
∵x?
1 ? 2 ，∴ 0 ? f ( x) ? 4 x
当 x ? [1, ??) 时， f ( x) ?
2 x?2 4 ? 2x 4 ? 2x 4 ? ? ? x 2x x ?1 1 1 2 4 ?1 4 ? 2x ? x ?1 ?1 4 2 4 4
∵2 ? 2
x
∴
1 x 1 ? 2 ? x ? 1 ，∴ 0 ? f ( x) ? 4 4 2
∴当 x ? 1 时，有最大值为 ymax ? f (1) ? 4 ⑵∵ f ( x) 在 (0,1) 上单调增，在 [1, ??) 上单调减，最大值为 4 ∴ f ( x) ? 1 在 (0,1) 和 [1, ??) 各有一解 当 x ? (0,1) 时， f ( x) ?
8x ? 1 ，解得： x ? 4 ? 15 x2 ? 1
当 x ? [1, ??) 时， f ( x) ?
2 x?2 ? 1 ，解得： x ? log 2 (8 ? 2 15) 4 x?1 ? 1
∴当 x ? [4 ? 15,log 2 (8 ? 2 15)] 时，为有效时间区间 ∴有效的持续时间为： log 2 (8 ? 2 15) ? (4 ? 15) ? 3.85 小时
【题目 22】设抛物线 C ： y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ，经过点 F 的动直线交抛物线与
2
A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) 两点，且 y1 y2 ? ?4 ；
⑴求抛物线的方程； ⑵若 OE ? 2(OA ? OB) （ O 为坐标原点） ，且点 E 在抛物线 C 上，求直线 l 的倾斜 角； ⑶ 若 点 M 是 抛 物 线 C 的 准 线 上 的 一 点 ， 直 线 MF , MA, MB 的 斜 率 分 别 为
??? ?
??? ? ??? ?
k0 , k1 , k2 ，
求证：当 k 0 为定值时， k1 ? k2 也为定值。 【解析】⑴根据题意可知： F (
p p , 0) ，设直线 l 的方程为： x ? ky ? ，则： 2 2
p ? ? x ? ky ? 联立方程： ? ， 2 ，消去 x 可得： y 2 ? 2 pky ? p 2 ? 0 （*） ? y 2 ? 2 px ?
根据韦达定理可得： y1 y2 ? ? p 2 ? ?4 ，∴ p ? 2 ，∴ C ： y ? 4 x
2
⑵设 E ( x0 , y0 ) ，则： ? ∴ y0 ? 8 k ，
? x0 ? 2( x1 ? x2 ) ，由（*）式可得： y1 ? y2 ? 2 pk ? 4k ? y0 ? 2( y1 ? y2 )
p ? x1 ? ky1 ? ? ? 2 又? ，∴ x1 ? x2 ? k ( y1 ? y2 ) ? p ? 2 pk 2 ? p ? 4k 2 ? 2 ? x ? ky ? p 2 2 ? ? 2
∴ x0 ? 8k 2 ? 4
2 ∵ y0 ? 4 x0 ，∴ 64k 2 ? 4(8k 2 ? 4) ，∴ 2k 2 ? 1 ，∴ k ? ?
2 2
∴直线 l 的斜率 kl ?
1 ? tan ? ? ? 2 ，∴倾斜角为 arctan 2 或 ? ? arctan 2 k
⑶可以验证该定值为 2k0 ，证明如下： 设 M (?1, yM ) ，则： k0 ?
? yM y ? yM y ? yM ， k1 ? 1 ， k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2
∵?
? x1 ? ky1 ? 1 ? x1 ? 1 ? ky1 ? 2 ，∴ ? ? x2 ? ky2 ? 1 ? x2 ? 1 ? ky2 ? 2
y1 ? yM y2 ? yM y1 ? yM y2 ? yM ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ky1 ? 2 ky2 ? 2
∴ k1 ? k2 ?
?
( y1 ? yM )(ky2 ? 2) ? ( y2 ? yM )(ky1 ? 2) (ky1 ? 2)(ky2 ? 2)
?
2ky1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? yM (k ( y1 ? y2 ) ? 4) k 2 y1 y2 ? 2k ( y1 ? y2 ) ? 4
?
?8k ? 8k ? yM (4k 2 ? 4) ? ? yM ?4k 2 ? 8k 2 ? 4
∴ k1 ? k2 ? 2k0 为定值
【题目 23】 已知数列 {an } 具有性质： ① a1 为整数； ②对于任意的正整数 n ， 当 an 为偶数时，
an ?1 ?
an a ?1 ；当 an 为奇数时， an ?1 ? n ； 2 2
⑴若 a1 为偶数，且 a1 , a2 , a3 成等差数列，求 a1 的值； ⑵设 a1 ? 2m ? 3 （ m ? 3 且 m ? N ） ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， 求证： Sn ? 2m?1 ? 3 ； ⑶若 a1 为正整数，求证：当 n ? 1 ? log 2 a1 (n ? N ) 时，都有 an ? 0 ； 【解析】⑴设 a1 ? 2k ， a2 ? k ，则： 2k ? a3 ? 2k ， a3 ? 0 分两种情况： k 是奇数，则 a3 ? 若 k 是偶数，则 a3 ?
a2 ? 1 k ? 1 ? ? 0 ， k ? 1 ， a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 0 2 2
a2 k ? ? 0 ， k ? 0 ， a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 0 2 2
⑵当 m ? 3 时， a1 ? 2m ? 3, a2 ? 2m?1 ? 1, a3 ? 2m?2 , a4 ? 2m?3 ,
a5 ? 2m?4 ,?, am ? 2, am?1 ? 1, am? 2 ? ? ? an ? 0
∴ Sn ? Sm?1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m ? 4 ? 2m ? 3 ⑶∵ n ? 1 ? log 2 a1 ，∴ n ? 1 ? log 2 a1 ，∴ 2n ?1 ? a1
? an , a 是偶数 ? a ?2 n ? n 由定义可知： an ?1 ? ? ? an ? 1 , a 是奇数 2 n ? ? 2
∴
an ?1 1 ? an 2 an an ?1 a 1 ? ?? ? 2 ? a1 ? n ?1 a1 an ?1 an ? 2 a1 2
∴ an ? ∴ an ?
1 ? 2n ?1 ? 1 n ?1 2
∵ an ? N ，∴ an ? 0 ， 综上可知：当 n ? 1 ? log 2 a1 (n ? N ) 时，都有 an ? 0