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概率期末模拟试题四

模拟试卷四
一、填空题(共 35 分 每小题 5 分) 1.从数字 1,2,3,4,5 中任取三个组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是 偶数的概率是_____。 2.已知随机变量 ξ ~ N (0,1),η ~ N (1, 4) ,则 ξ ? 2η 服从的分布是_____。 3.若随机变量 ξ 服从二项分布 B (n, p ) 且 Eξ = 2.4, Dξ = 1.44 ,那么 p =_____。 4. 已知离散型随机变量 ξ 的分布律为 1 2 3 ξ 并且 η = 2ξ ? 1 ,则 Eη =_____。 P 0.3 0.5 0.2

?ax + b, 0 < x < 2 5.已知连续型随机变量 ξ 的密度函数为 ? ( x) = ? 且 Eξ = 2 ,则 其它 ?0, b 的值为_____。 6.设 X 1 , X 2 ,K , X n 是来自正态总体 N ( ? , σ 2 ) 的样本, X , S 2 分别是样本均值和
样本方差,则

X ?? 服从的分布是_____。 S/ n

7.盒子里放有 4 个红球和 3 个白球,现不放回地从中取球两次,每次取一个,
则第二次取到红球的概率是_____。 二、选择题(15 分 每小题 3 分)

1.设总体 ξ ~ N ( ? , σ 2 ) , X 1 , X 2 是来自该总体的两个样本,则下列 ? 的无偏估
计中最有效的是()

1 1 1 2 X1 + X 2 D X1 + X 2 2 2 3 3 2. 某批产品的废品率为 0.3,现进行重复抽样检验,共取出 9 个样本,则其中 废品的个数最可能是() A 2 B 3 C 2和3 D 4

A

X1

B

2 X1 ? X 2

C

3. 若 a, b 为任意常数,则下述关于方差的命题不正确的是() A C Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ )2 B Dξ = E (ξ ? Eξ )2 D D(aξ + b) = a 2 Dξ + b

Dξ = E (ξ ? a ) 2 ? ( Eξ ? a ) 2

4.已知 ξ ~ N (4, 0.25) , Φ 0 ( x) 表示标准正态分布的分布函数,则概率 P (ξ > 5)
等于()

A

Φ 0 (2)

B

Φ 0 (4)

C 1 ? Φ 0 (4)

D 1 ? Φ 0 (2)

5.若二元离散型随机变量 (ξ ,η ) 的联合分布律如下:

则 E (ξη ) 的值为()
25 A 0 B 9 8 17 C D 3 9 三、判断题(15 分 每小题 3 分)

η

ξ
1 2

1

2
1/3 1/3

0 1/3

1.若 ξ 服从参数为的指数分布 λ ,则 Eξ = Dξ = λ 。 () 2 .从总体 ξ 中取一组样本 X 1 , X 2 ,K , X n ,则样本方差 S 2 =

1 n ∑ (Xi ? X ) 是 n ? 1 i =1

Dξ 的无偏估计。 () 3. 对任意两个随机变量 ξ ,η ,有 D(ξ + η ) = Dξ + Dη 。 () 4.若 (ξ ,η ) 服从二元正态分布,且 ξ 与η 不相关,则 ξ 与η 独立。 ()

1] 1] 5. ξ 服从区间 [0,上的均匀分布, η = 1 ? ξ 也服从区间 [0,上的均匀分布 若 则 ()
四、 10 分) ( 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户中被盗索赔户占 20%。用 ξ 表示在 随意调查的 100 个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数。
(1)写出 ξ 的概率分布。 (2)用中心极限定理计算被盗索赔户不少于 12 户,且不多于 28 户的概率。 五、 10 分) (
x ? 1 ?θ e , ? 已知总体 ξ 的密度函数为 ?(x;θ )= ?θ ?0, ?

x>0

,x1 , x2 ,K , xn 为 ξ 的一组样本

其它

观察值,求 θ 的最大似然估计。 六、 10 分) ( 设总体 ξ 的方差为 0.81,均值为 ? 。根据容量为 9 的简单随机样本,测得样 本均值 x = 5 。
(1)若总体分布未知,求 ? 的一个置信水平为 99%置信区间。 (2)若已知 ξ 服从正态分布,求 ? 的置信度为 95%的置信区间。

七、 5 分)已知随机变量 ξ 服从区间 [ 0,5] 上均匀分布,试求关于 x 的方程 (
x 2 + ξ x + 1 = 0 没有实根的概率。

参考答案四 参考答案四
一、填空题 2 1. 5
5.-1

2. N (?2,17)
6. t (n ? 1)

3.0.4 7. 4 7

4.2.8

二、C C D D C 三、 × √ × √ √
k 四、解:(1) ξ ~ B (100, 0.2) ,所以 P (ξ = k ) = C100 0.2k 0.8100 ? k , k = 0,1,K ,100.

(2) 由于 Eξ = 20, Dξ = 16 ,由拉普拉斯中心极限定理得

P (12 ≤ ξ ≤ 28) = P (

ξ ? 20
4

≤ 2) ≈ 2Φ 0 (2) ? 1 =0.954

五、教材第 155 页例 2. 六、解:(1)由于总体分布未知,由 Chebyshev 不等式, ? 的置信水平为 1 ? α 的 置信区间为 ( X ?

Dξ Dξ ,X + ) ,代入得置信区间(2,8)。 αn αn

(2) 因 ξ 服从正态总体且方差已知,则 ? 的置信系数为 1 ? α 的置信区间

为 (X ?

σ
n

uα , X +

σ
n

uα ) ,由 α = 0.05 查表得 uα = 1.96 ,代入得置信区间

为(4.412,5.588)。
?1 ? , 0< x<5 七、解: ξ 服从区间 [ 0,5] 上均匀分布,所以其概率密度为 ? ( x) = ? 5 , ?0, 其它 ? 又方程 x 2 + ξ x + 1 = 0 无实数根当且仅当 ? = ξ 2 ? 4 < 0 。故方程无实根的 概率为: P (? < 0) = P (ξ 2 ? 4 < 0) = P (?2 < ξ < 2) = ∫ ? ( x)dx = ∫
?2 2 2 0

1 2 dx = 。 5 5


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