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3.1.1变化率问题 (1)


3.1.1变化率问题

高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在 数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分, 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变 化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对 于另一个变量变化的快慢程度.

身高 2.26 2.12

姚明身高变化曲线图(部分)

● ●

1.61
● ●



0.8

















4

7

10

13

16

19

22

年龄

问题1 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V ?单位 : L ?与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V ?r ? ? ? r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 3 V r ?V ? ? 3 . 4?

当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r ?1? ? r ?0 ? ? 0.62?cm ?, r ?1? ? r ? 0 ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.62 ? dm / L ? . 1? 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r ?2? ? r ?1? ? 0.16?dm ?, r ? 2 ? ? r ?1? 气球的平均膨胀率为 ? 0.16 ? dm / L ? . 2 ?1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了.

思考 当空气的容量从 V1增加到V2时, 气球的平 ?r r ?V2 ? ? r ?V1 ? 均膨胀率是多少 ? ? ?V V2 ? V1

问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h ?单位 : m ? 与起跳后的时间t ?单位 : s ? 2 ? ? 存在函数关系 h t ? ?4.9t ? 6.5t ? 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么

在0 ? t ? 0.5这段时间里, h?0.5 ? ? h?0 ? v? ? 4.05 ?m / s ? ; 0.5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里, h?2? ? h?1? v? ? ?8.2 ?m / s ?. 2?1
播放 暂停 停止

65 探究 计算运动员在0 ? t ? 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :

?1? 运动员在这段时间里是静止的吗 ? ? 2 ? 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?

h ? t2 ? ? h ? t1 ? ?h v? ? ?t t2 ? t1

探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像,结合图形可知, h( ) ? h(0) , 49 所以, h
65 h( ) ? h(0) 49 v? ? 0( s / m) 65 ?0 49
65 0?t? 49

O t ? 65 65
98 49

t

虽然运动员在 这段时间里的平均 速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然 运动,并非静止,可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态.

在例1中:对于函数 r ? 当空气容量 从V1增加到V2时,气球的

3

3v 4?

平均膨胀率
在例2中:对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的

r ( v2 ) ? r ( v1 ) ( dm / l ) v2 ? v1
h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0

平均速度

一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的

平均变化率

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

习惯上用?x表示x2 ? x1,即?x ? x2 ? x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

用?y表示f ( x2 ) ? f ( x1 ),即?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
所以,平均变化率可以表示为:

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f(x1+?x)-f(x1) ? = ?x x2 ? x1 ?x

平均变化率的定义:

平均变化率: 式子 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y ? x2 ? x1 ?x
x2 ? x1

?x是一个整体符号 ,而不是?与x相乘.
?x代替x2 ; 类似地, ?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? . ?y 于是, 平均变化率可表示为 . ?x 可把?x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量 ", 可用 x1 ?

理解

?y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 ?x 的△x值不能为0, △ y 的值可以为0

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

2、若函数f (x)为常函数时, △ y =0

3、变式:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

思考
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 ? x1

表示什么?

y
f (x2)

y=f (x)

B A
x2-x1

直线AB的斜率
f (x2)-f (x1)

f (x1)

o

x1

x2

x

思考
y

y ? f ?x ? f ?x 2 ? f ?x 1 ?

思考 观察函数 f ? x ? 的图象?图1.1.1?, 平均 ?y f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? ?x x2 ? x1 表示什么?
直线AB的斜率

B A
f ?x2 ? ? f ?x1 ?
x 2 ? x1

变化率

O

x1

x2

x

图1.1 ? 1

题型一:求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ; (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2

?y 4 ? ? ?2 ?x 2

?y 2?x ? x ? (?x) 2 ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x

练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近 一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 B . 3Δx-(Δx)2
2

)D D . 3-Δx

C . 3-(Δx)2

2.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) 9 A. 6+?t B. 6+?t+ C.3+?t D.9+?t ?t 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0

小结:
? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 ?x x2 ? x1
?

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量:Δy=f(x2)-f(x1);

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率: ? ?x x2 ? x1

练一练

一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t) 在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s) (1)[1, 3]; 4 思考: (2)[1, 2]; 3 2.1 (3)[1, 1.1]; 如何刻画t=1这一时刻 (4)[1, 1.001]; 2.001 质点运动的快慢程度呢? (5)[1, 1.0001]; 2.0001 2 (6)[0.999, 1]; 1.999 (7)[0.99, 1]; 1.99 (8)[0.9, 1]. 1.9


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