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北师大版数学选修1-1《3.3计数导数》备课精选同步练习含答案

§ 3
课时目标

计算导数

1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表.

1.计算函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数的步骤: (1)计算函数的增量:Δy=f(Δx+x0)-f(x0) Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)确定平均变化率: = Δx Δx (3)当 Δx 趋于 0 时,得到导数: f?x0-Δx?-f?x0? f′(x0)= lim Δx ?x ? 0 2.导函数 一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值记 为 f′(x), 则 f′(x)=______________________,则 f′(x)为 f(x)的__________,简称导数. 3.导数公式表 函数 导函数 函数 导函数 y=c y′=0 y=sin x y′=cos x (c 是常数) y=xα - y′=αxα 1 y=cos x y′=-sin x (α 为实数) y=ax (a>0,a≠1) y′=axln a 特别地(ex)=ex y′= 1 xln a y=tan x y′= 1 cos2x

y=loga x (a>0,a≠1 )

1 特别地(ln x)′= x

y=cot x

y′=-

1 sin2x

一、选择题 1.已知函数 f(x)= A.- 3 3 1 ,则 f′(x)等于( 3 B.0 C. ) 3 3 D. 3

1 1 2,- ?处的切线方程 为( 2.曲线 y=- 在点? ) 2? ? x A.x-4y-4=0 B.x-y-4=0 C.x-4y=0 D.2x-4y-4=0 3.函数 y=3x2+2x+1 在点 x=1 处的导数为( ) A.3 B.7 C.8 D.1 π 4.曲线 y=x2 上切线倾斜角为 的点是( ) 4 A.(0,0) B.(2,4) 1 1 1 1? ? C.? D.? ?4,16? ?2,4? 5.函数 y=(x-1)2 的导数是( ) A.(x-1)2 B.2(x-1)

C.2(1-x)

D.-2 π 6.y=cos x 在点 x= 处的导数为( ) 6 3 3 1 1 A. B.- C.- D. 2 2 2 2 1 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题 7.函数 y=5x+4 的导数为________. 8. 函数 f(x)=x2+3x 导数为 5 的点是________. 9.曲线 y=ln x 在 x=1 处的切线斜率为________. 三、解答题 10.已知函数 y=x2+4x,求 x=1,2 处的导数值.

6

11.已知 f(x)=log 2x,利用导数公式求 f′(2).

能力提升 12.给出下列结论: π? π ①(cos x)′=sin x;②? ?sin 3?′=cos 3; 1 1 1 1 ③若 y= 2,则 y′=- ;④?- ?′= . x x x? ? 2x x 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 13.已知 f′(x)是一次函数,x f′(x)-(2x-1)f(x)=1,求 f(x)的解析式.

1.“函数 f(x )在点 x0 处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二 者有本质的区别 , 但又有密切关系, f′(x0)是其导数 y=f′(x)在 x=x0 处的一个函数值, 求函数在一点处的导数,一般先求出函数 的导数,再计算这一点处的导数值. 2.可以利用导数公式计算函数在某点处的导数.

§ 3
知识梳理 2.f′(x)= lim 作业设计 1.B
?x ? 0

计算导数

f?x+Δx?-f?x? 导函数 Δx

1 1 2.A [∵f′(2)= ,∴所求切线方程为 y+ 4 2 1 = (x-2),即 x-4y-4=0.] 4 3.C 2 4.D [设切点坐标为(x0,x0 ), π 则 tan =1=2x0. 4 1 1? 1 ∴x0= ,所求点为? ?2,4?.] 2 5.B [∵y=x2-2x+1,∴y′=2x-2=2(x-1).] 6.C [由导数公式,y′=-sin x, π? π 1 ∴f′? ?6?=-sin 6=-2.] 7.5 8.(1,4) 9.1 1 解析 y′= ,∴f′(1)=1. x f?1+Δx?-f?1? 10.解 f′(1)= lim Δx ?x ? 0 2 ?1+Δx? +4?1+Δx?-1-4 = lim Δx ?x ? 0 2 ?Δx? +?Δx?×6 = lim =6. Δx ?x ? 0 f?2+Δx?-f?2? f′( 2)= lim Δx ?x ? 0 2 ?2+Δx? +4?2+Δx?-22-4×2 = lim Δx ?x ? 0 =8. 1 2 11.解 ∵f′(x)=(log 2x)′= = , x ln 2 xln 2

1 . ln 2 12.B [因为(cos x)′=-sin x,所以①错误; π 3 3 sin = ,而? ?′=0,所以②错误; 3 2 ?2? ? 12?′=(x-2)′=-2x-3,所以③错误; ?x ? 1 3 ?- 1 ?′=(- ? 2 )′=1 ? 2 = 1 , 2 x? ? 2x x 所以④正确,故选 B.] 13.解 由 f′( x)为一次函数可 知 f(x)为二次函数. 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),则 f′(x)=2ax+b. 把 f(x),f′(x)代入方程 x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1 中得:x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+ c)=1, 即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0 要使方程对任意 x 恒成立, 则需有 a=b,b=2c,c-1=0, 解得 a=2,b=2,c=1, 所以 f(x)=2x2+2x+1. ∴f′(2)=

x

x


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