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河北省保定市第一中学2014-2015学年高二数学下学期第一次段考试题 文


保定一中 2014—2015 学年第二学期第一次阶段考试 高二文科数学试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 设复数 z ?

A. ?i 2.下列命题的否定为假命题的是( A.? x0∈R,x0+2x0+2≤0
2

2 , ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 1? i B. -1 C. i
)



) D. 1

B.任意一个四边形的四个顶点共圆 D.? x∈R,sin x+cos x=1 )
2 2

C.所有能被 3 整除的整数都是奇数

3. 集合 A ? {x | y ? 3 ? x 2 , x ? R}, B ? {y | y ? x 2 ? 1, x ? R} ,则 A ? B ? ( A..{(- 2 ,1),( 2 ,1)} B. ? C.{z|-1≤z≤ 3 } D.{z|0≤z≤ 3 } )

4. 若函数 f(x)的定义域是 [0,4],则函数 g(x)= A. ? 0, 2?

f(2x) 的定义域是( x D.(0,2]

B.(0,2)

C.[0,2) )

5.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= (x-1) C.y=4lg x 与 y=2lg x
2 2

B.y= x-1与 y=

x-1 x-1

x D.y=lg x-2 与 y=lg 100

6.设条件 p:|x-2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数.若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是( ) A. ? 0,5? B. ? 0,5 ? C. ?5, +? ? D. ? 5, +? ?

7. 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 并 且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 当 0 ? x ? 1 时 , 有

f ( x) ? 0.5 ,则 f (3.5) 等于(

) A. 0.5
f(

B. -0.5 1

C. 1

D. -1 )

8.已知函数 f(x)= a ln x+blgx+2 ,且 A.-4 B. 2
3

1 ) ? 4 ,则 f (2009) 的值为( 2009

C. 0
2

D. -2
3 2

9. 给出下列三个命题:① f ( x) ? x ? 3x 是增函数,无极值;② f ( x) ? x ? 3x 在

(-?, 2) 上没有最大值;③函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,
则实数 a 的取值范围是 (??,2) 其中正确命题的个数为( )

1

A.1

B.2
'

C.3

D.0 1 2

10. 函数 f ( x) ? sin x ? 2xf ( 则下列关系正确的是( A.f (a)>f (b) )

?
3

) , f ' ( x) 为 f (x) 的导函数,令 a =- , b = log32 ,

B.f (a)<f (b)

C.f (a)=f (b)

D.f (|a|)< f (b)
2S . a?b?c

11. 设△ ABC 的三边长分别为 a, b, c, △ ABC 的面积为 S , 内切圆半径为 r , 则r ?

类比这个结论可知:四面体 P ? ABC 的四个面的面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , 内切球的半 径为 r ,四面体 P ? ABC 的体积为 V ,则 r =( A. )

V 2V 3V 4V B. C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 12. 若函数 f ( x) 对任意的 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) 恒成立,则( )
A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元).

x y

2 30

4 40
^

5 60

6

8 70 .

t

根据上表求出 y 关于 x 的线性回归方程为y =6.5x+17.5,则表中 t 的值为_ 15. 已知 f ( x) ?

1 3 x ? x, x ? R ,若至少存在一个实数 x 使得 f (a ? x) ? f (ax2 ? 1) ? 0 成 3
. .

立,a 的范围为

16.下列命题中正确命题的序号为

①函数 y ? f ( x) 与直线 x=l 的交点个数为 0 或 l; ② a ? ( ,+∞)时,函数 y ? lg( x 2 ? x ? a) 的值域为 R;
x ③R 上奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , 0 < x ? 1 时, f ( x) ? 2 ,则 f (2015) ? ?2 ;

1 4

④与函数 y ? f ( x) ? 2 关于点(1,-1)对称的函数为 y ? ? f (2 ? x) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(本小题满分 10 分)
2 集合 A= x | x ? 3x ? 10 ? 0 ,B= ?x | m?1 ? x ? 2m ?1 ?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? R 时,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知命题 p: 函数 y ? lg( ax ? x ?
2

a ) 的定义域为 R , 命题 q:函数 y ? (5 ? 2a) x 为增函 16

数.若“ p或q ”为真命题, “ p且q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 随机调查某社区 80 个人, 以研究这一社区居民在 20:00——22:00 时间段的休闲方式与 性别的关系,得到下面的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 看电视 看书 合计

10 10 20

50 10 60

60 20 80

(1)从这 80 人中按照性别进行分层抽样,抽出 4 人,则男女应各抽取多少人; (2)从第(1)问抽取的 4 位居民中随机抽取 2 位,恰有 1 男 1 女的概率是多少; (3)由以上数据,能否有99%的把握认为在20:00—22:00时间段的休闲方式与性别有关系.

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

参考数据:

P(K 2 ? k0 )
k0

0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

2.072

20.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? (0,1) 时,

f ( x) ?

2x ? 1 . 2x ? 1

(1)求 f ( x ) 在区间[-1,1]上的解析式. (2)当 m 取何值时,方程 f ( x) ? m 在区间(0,1)上有解? 21.(本小题满分 12 分)
3

定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意的 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)判断 f(x)的单调性并证明; 1 (3)解不等式:f[log2(x+ +6)]+f(-3)≤0.

x

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2ax ? (I)若 f ( x) 在 x ? 1, x ?

b ? ln x . x
①求 a 、 b 的值;

1 处取得 极值, 2

②存在 x 0 ? [ ,2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? c ? 0 成立,求 c 的最小值; (II)当 b ? a 时,若 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围. (参考数据 e 2 ? 7.389 , e3 ? 20.08)

1 4

4

保定一中 2014—2015 学年第二学期第一次阶段考试 高二文科数学答案 BDCDD 13. ? ABCDA CC

x( x ? 1) 2

14.50

15.

? 1? 2 ? ? ? ??, 2 ? ? ? ?

16.①③④

17. (本小题满分10分)
2 集合 A= x | x ? 3x ? 10 ? 0 ,B= ?x | m?1 ? x ? 2m ?1 ?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? R 时,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解:(1) A= ?x | ?2 ? x ? 5? ①当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?满足 B? A. ②当 m+1≤2m-1,即 m≥2 时,要使 B? A 成立,
?m+1≥-2, ? 需? ? ?2m-1≤5,

可得 2≤m≤3.综上,m 的取值范围是 m≤3.

(2)因为 x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又 A∩B=?, 则①若 B=?,即 m+1>2m-1,得 m<2,满足条件. ②若 B≠?,则要满足的条件是
? ?m+1≤2m-1, ? ?m+1>5 ? ? ?m+1≤2m-1, 或? ?2m-1<-2, ?

解得 m>4.综上,m 的取值范围是 m<2 或 m>4.

18.已知命题 p: 函数 y ? lg( ax ? x ?
2

a x ) 的定义域为 R , 命题 q:函数 y ? (5 ? 2a) 为增函 16

数.若“ p或q ”为真命题, “ p且q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解:若 P 命题为真命题:由函数 y ? lg(ax ? x ?
2

a ) 的定义域为 R , 16

则 ax ? x ?
2

a ? 0 在 R 上恒成立 16

当 a ? 0 时,由 ? x ? 0 显然不合题意
2 当 a ? 0 时,为使 ax ? x ?

a ? 0 在 R 上恒成立 16

5

?a ? 0 ? 需有 ? a2 ?0 ?? ? 1 ? 4 ?

,得 a ? 2

若 q 命题为真命题: 由函数 y ? (5 ? 2a) x 为增函数,则需有 5 ? 2a ? 1 ,得 a ? 2 “p 且 q”为假命题可知 由题意“p 或 q”为真命题, 当 p假q真 时,由 ?

?a ? 2 ?a ? 2

,得 , a ? 2 当 p真q假 时,由 ?

?a ? 2 ,得 a ? 2 ?a ? 2

( - ?, 2) ? (2, ? ?) 综上所述,实数 a 的取值范围是
19. 随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在20:00——22:00时间段的休闲方式与 性别的关系,得到下面的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 看电视 看书 合计

10

50

60

10
20

10
60

20
80

(1)从这 80 人中按照性别进行分层抽样,抽出 4 人,则男女应各抽取多少人; (2)从第(1)问抽取的 4 位居民中随机抽取 2 位,恰有 1 男 1 女的概率是多少; (3) 根据以上数据, 能否有99%的把握认为在20:00——22:00时间段的休闲方式与性别有关 系.

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

参考数据:

P(K 2 ? k0 )
k0
(1)3;1 (2)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

1 2

(3)k= 80 ? 6.635,能有99%的把握认为在20:00——22:00时间段的休闲方式与性别有关系.

9

20.已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? (0,1) 时,

6

f ( x) ?

2x ? 1 .(1)求 f ( x ) 在区间[-1,1]上的解析式. 2x ? 1

(2)当 m 取何值时,方程 f ( x) ? m 在区间(0,1)上有解? 解:(1)当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),由 f(x)为 R 上的奇函数,得 f(x)=-f(-x)= -x x 2 -1 2 -1 - -x = x ,又 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),所以 f(1)=f(-1)=-f(1),所以 f(1) 2 +1 2 +1 =f(-1)=0. x 2 -1 ? ? x ,x∈(-1,1), 故 f(x)=?2 +1

? ?0,x∈{-1,1}.
x

2 -1 2 2 x x (2)当 x∈(0,1)时,m= x =1- x .设 f(x)=1- x ,则 2 ∈(1,2),2 +1∈(2, 2 +1 2 +1 2 +1 3), 2 2 2 1 1 所以 x ∈( ,1),1- x ∈(0, ),故 m∈(0, ). 2 +1 3 2 +1 3 3 21.定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意的 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时,

f(x)>0.
(1)求证:f(x)为奇函数;(2)判断 f(x)的单调性并证明; 1 (3)解不等式:f[log2(x+ +6)]+f(-3)≤0.

x

解:(1)令 x=y=0,则 f(0)=0,令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)为 R 上的单调增函数,设 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2-x1)>0, ∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),∴f(x)为 R 上的单调增函数. 1 (3)∵f(0)=0 且 f(x)在 R 上单调递增,∴原不等式等价于 f[log2(x+ +6)+(-

x

x>0 ? ? 2 3)]≤f(0) ? log2(x + + 6)≤3 ? 0<x + + 6≤8 ? ?x +6x+1>0 x x ? ?x2-2x+1≤0
1 1



x<0 ? ? 2 ?x +6x+1<0, ? ?x2-2x+1≥0
∴原不等式的解集为{x|x=1 或-3-2 2<x<-3+2 2}. 22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2ax ? (I)若 f ( x) 在 x ? 1, x ?

b ? ln x . x
①求 a 、 b 的值;

1 处取得 极值, 2

7

②存在 x 0 ? [ ,2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? c ? 0 成立,求 c 的最小值; (II)当 b ? a 时,若 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围. (参考数据 e 2 ? 7.389 , e3 ? 20.08)

1 4

b b 1 ? ln x ,定义域为 (0, ??) ∴ f '( x) ? 2a ? 2 ? ?1 分 x x x 1 1 ∵ f ( x ) 在 x ? 1 , x ? 处取得极值, ∴ f '(1) ? 0 , f '( ) ? 0 2 2 1 ? a?? ? 2 a ? b ? 1 ? 0 ? 1 ? 3 ?? 即? ,所求 a , b 值均为 ? ???3 分 3 ?2a ? 4b ? 2 ? 0 ?b ? ? 1 ? 3 ? 1 ②在 [ , 2] 存在 x0 ,使得不等式 f ( x0 ) ? c ? 0 成立,则只需 c ? [ f ( x)]min ?? 4 分 4 2 1 1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?? 由 f '( x) ? ? ? 2 ? ? ? 2 3 3x x 3x 3x 2 1 1 ∴ 当 x ? [ , ] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 4 2 1 当 x ? [ ,1] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 2 当 x ? [1, 2] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 1 ∴ f ( x ) 在 x ? 处有极小值????6 分 2 1 1 1 1 7 而 f ( ) ? ? ln ? ? ln 2 , f (2) ? ? ? ln 2 2 3 2 3 6 3 1 3 又 f ( ) ? f (2) ? ? ln 4 ? ln e 2 ? ln 4 , 2 2
(Ⅰ)①? f ( x) ? 2ax ? 因 e ? 16 ? 0 , ? ln e ? ln 4 ? 0 ,
3

? c ? [ f ( x)]min

? [ f ( x)]min ? f (2) , 7 7 7 ? ? ? ln 2 , ∴ c ? [? ? ln 2, ??) ,故 cmin ? ? ? ln 2 。?7 分 6 6 6
2ax 2 ? x ? a x2

3 2

(Ⅱ)当 a = b 时, f '( x) ?

当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 则 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;????????..8 分
2 当 a ? 0 时,∵ x ? 0, ? 2ax ? x ? a ? 0 , ? f '( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;

当 a ? 0 时,设 g ( x) ? 2ax ? x ? a ,只需 ? ? 0 ,从而得 a ? ?
2

2 , 4

8

此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减;. 11 分综上可得, a ? (??, ?

2 ] ? [0, ??) ?12 分 4

9


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