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2018-2019年人教A版高中数学选修1-1练习:3.3 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析

初中、高中、教案、习题、试卷 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.函数 f(x)=xe x,x∈[0,4]的最大值是( - ) 2 D. 2 e A.0 1 B. e x 4 C. 4 e x x? e -xe 1-x 解析:f ′(x)=? ?ex?′= ?ex?2 = ex , 当 x∈[0,1)时,f ′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈(1,2]时,f ′(x)<0,f(x)是减函数. 1 ∴f(x)的最大值为 f(1)= . e 答案:B 2.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的 最小值为( A.-37 ) B.-29 C.-5 D.-11 解析:∵f ′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由 f ′(x)=0 得 x=0 或 2.∵f(0)=m,f(2)=-8+ m,f(-2)=-40+m,显然 f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,最小值为 f(-2)=-37. 答案:A 3.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1)( A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 解析:f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当 x∈(-1,1)时,f ′(x)<0,所以 f(x)在(-1,1)上 是单调递减函数,无最大值和最小值. 答案:D 4.已知函数 f(x)=ax3+c,且 f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为 20,则 c 的值为( A.1 2 ) ) B.4 C.-1 D.0 解析:∵f ′(x)=3ax ,∴f ′(1)=3a=6, ∴a=2. 当 x∈[1,2]时,f ′(x)=6x2>0,即 f(x)在[1,2]上是增函数, ∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20, ∴c=4. 答案:B 初中、高中、教案、习题、试卷 5.函数 f(x)=-x3+3x 在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数 a 的取值范围是( A.(-1, 11) C.(-1,2] 解析:f′(x)=-3x +3,令 f′(x)=0,得 x=± 1. x f′(x) f(x) (-∞,-1) - ? -1 0 极小 (-1,1) + ? 1 0 极大 (1,+∞) - ? 2 ) B.(-1,2) D.(1,4) f(x)在 R 上的极小值 f(-1)=-2,极大值=f(1)=2. 令-x3+3x=-2,即 x3-3x-2=0,(x+1)2(x-2)=0, ∴x=-1 或 x=2. ∵f(x)在区间(a2-12,a)上有最小值,∴a2-12<-1<a≤2, 解得-1<a≤2. 答案:C ln x 6.函数 y= 的最大值为________. x 解析:函数的定义域为 x>0. 1-ln x y′= ,令 y′=0 得 x=e,当 0<x<e 时,f′(x)>0,当 x>e 时,f′(x)<0,∴y 最大 x2 ln e 1 = = . e e 1 答案: e x2 7.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)= x的值域是________. e 2xex-x2?ex?′ 2x-x2 x?2-x? 解析:f′(x)= = x = . e ex ?ex?2 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2(舍),又 f(0)=0, 1 f(-1)=e,f(1)= ,故 f(x)在(-1≤x≤1)的值域为[0,e]. e 答案:[0,e] 8.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的 x∈(0,1]都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的取 值范围为________. 3 1 解析:因为 x∈(0,1],f(x)≥0 可化为 a≥ 2- 3. x x 3 1 设 g(x)= 2- 3. x x 3?1-2x? 则 g′(x)= . x4 初中、高中、教案、习题、试卷 1 令 g′(x)=0,得 x= . 2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0; 2 1 当 <x≤1 时,g′(x)<0. 2 1 所以 g(x)在(0,1]上有极大值 g( )=4, 2 它也是最大值,所以 a≥4. 答案:[4,+∞) 1 1 9.设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1?2 1 解析:(1)f ′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a. 2 ? 当 x∈? ?3,+∞?时,f ′(x)的最大值为 2? 2 2 1 f′? ?3?=9+2a.令9+2a>0,得 a>-9. 2 1 ? 所以当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间, 9 2 1 ,+∞?上存在单调递增区间时,a 的取值范围为?- ,+∞?. 即 f(x)在? 3 ? ? ? 9 ? (2)令 f ′(x)=0,得两根 x1= 1+ 1+8a x2= , 2 所以 f ′(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减, 在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 得 a=1,x2=2, 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 1- 1+8a , 2 初中、高中、教案、习题、试卷 10.已知 f(x)=ln x-x+a,x∈(0,2]. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)<a2-3 对任意的 x∈(0,2]恒成立,求实数

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