tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题


(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 圆锥曲线的综合问题教师用书

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程:ax +bx+c =0(或 ay +by+c=0). (1)若 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式 Δ ,有 ①Δ >0?直线与圆锥曲线相交; ②Δ =0?直线与圆锥曲线相切; ③Δ <0?直线与圆锥曲线相离. (2)若 a=0,b≠0,即得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 E 相交,且只有一个交 点, ①若 E 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; ②若 E 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= 1+k |x2-x1|= 【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴 平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点: 一条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线;
1
2 2 2

1 1+ 2|y2-y1|.

k

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点: 一条与对称轴平行或重合的直 线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和 两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点: 一条切线和两条与渐近线平行的 直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与抛物线 y =2px 只有一个公共点,则 l 与抛物线相切.( × ) (2)直线 y=kx(k≠0)与双曲线 x -y =1 一定相交.(
2 2 2

× ) )

(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √ (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.( √ (5)过点(2,4)的直线与椭圆 +y =1 只有一条切线.( 4
2 2

) × )

x

2 2

(6)满足“直线 y=ax+2 与双曲线 x -y =4 只有一个公共点”的 a 的值有 4 个.( √ )

1.(2017·杭州高级中学月考)在同一平面直角坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by = 0(a>b>0)表示的曲线大致是( )

2 2

2 2

2

答案 D 解析 将方程 a x +b y =1 变形为 + =1, 1 1
2 2 2 2

x2 y2 a2 b 2

1 1 ∵a>b>0,∴ 2< 2,

a b

2

∴椭圆焦点在 y 轴上. 将方程 ax+by =0 变形为 y =- x, ∵a>b>0,∴- <0, ∴抛物线焦点在 x 轴负半轴上,开口向左. 2.(2016·青岛模拟)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相交 C.相离 答案 A 解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1), 又点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭 圆相交. 3.若直线 y=kx 与双曲线 - =1 相交,则 k 的取值范围是( 9 4 B.相切 D.不确定
2 2

a b

a b

x2 y2

)

x2 y2

)

? 2? A.?0, ? ? 3? ? 2 ? B.?- ,0? ? 3 ? ? 2 2? C.?- , ? ? 3 3?
2? ?2 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ? 答案 C 2 解析 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 9 4 3

x2 y2

? 2 2? 若直线与双曲线相交,数形结合,得 k∈?- , ?. ? 3 3?
4.(教材改编)已知与向量 v=(1,0)平行的直线 l 与双曲线 -y =1 相交于 A,B 两点,则 4 |AB|的最小值为________. 答案 4 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y=m, 代入 -y =1 得 x =4(1+m ), 4 所以 x1= 4?1+m ?=2 1+m ,
2 2

x2

2

x2

2

2

2

x2=-2 1+m2,

3

所以|AB|=|x1-x2|=4 1+m , 所以|AB|=4 1+m ≥4, 即当 m=0 时,|AB|有最小值 4.
2

2

第 1 课时 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线

例 1 (2016·烟台模拟)已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: + =1.试问当 m 取何值时,直 4 2 线 l 与椭圆 C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,

x2 y2

y=2x+m,① ? ? 2 2 得方程组?x y + =1,② ? ?4 2
将①代入②,整理得 9x +8mx+2m -4=0.③ 方程③根的判别式 Δ =(8m) -4×9×(2m -4)=-8m +144. (1)当 Δ >0,即-3 2<m<3 2时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的 实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点. (2)当 Δ =0,即 m=±3 2时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实 数解. 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点, 即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点. (3)当 Δ <0,即 m<-3 2或 m>3 2时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时 直线 l 与椭圆 C 没有公共点. 思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标, 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定, 需注意利用判别式的前提是二次项系数 不为 0.
4
2 2 2 2 2

(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意 观察方程的二次项系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程;若不为 0,则将方程解的个 数转化为判别式与 0 的大小关系求解. (2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M, 交抛物线 C:y =2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H. |OH| (1)求 ; |ON| (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 解 (1)由已知得 M(0,t),P?
2

? t ,t?, ? ?2p ?
t2 ?p

2

? ? 2 2 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N? ,t?,ON 的方程为 y= x,代入 y =2px 整理得 px - ?
p t
2t ? 2t ? 2 2t x=0,解得 x1=0,x2= ,因此 H? ,2t?.
2 2

p

?p

?

|OH| 所以 N 为 OH 的中点,即 =2. |ON| (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点,理由如下:

p 2t 直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t). 2t p
代入 y =2px 得 y -4ty+4t =0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以 除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点. 题型二 弦长问题 例 2 (2016·全国甲卷)已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 4 3 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积. (2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 3<k<2. (1)解 设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0,由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜 π 角为 . 4 又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =1 得 7y -12y=0,解 4 3 12 12 得 y=0 或 y= ,所以 y1= . 7 7 1 12 12 144 因此△AMN 的面积 S△AMN=2× × × = . 2 7 7 49
2 2 2

x2 y2

x2 y2

2

5

(2)证明 将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k>0)代入 + =1 得(3+4k )x +16k x+16k -12 4 3 =0, 16k -12 2?3-4k ? 由 x1·(-2)= , 2 得 x1= 2 3+4k 3+4k 故|AM|=|x1+2| 1+k =
2 2 2

x2 y2

2

2

2

2

12 1+k 2 . 3+4k

2

1 由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2),

k

12k 1+k 故同理可得|AN|= . 2 3k +4 由 2|AM|=|AN|,得
3 2

2

2 k 3 2 ,即 4k -6k +3k-8=0, 2= 2 3+4k 3k +4
2 2

设 f(t)=4t -6t +3t-8,则 k 是 f(t)的零点,f′(t)=12t -12t+3=3(2t-1) ≥0,所 以 f(t)在(0,+∞)上单调递增,又 f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此 f(t)在(0,+ ∞)有唯一的零点,且零点 k 在( 3,2)内,所以 3<k<2. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中, 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系 时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆 锥曲线的定义求解. 设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直 线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= a, 3

x2 y2 a b

l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. y=x+c, ? ? 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点的坐标满足方程组?x y 2+ 2=1, ? ?a b
-2a c a ?c -b ? 2 2 2 2 2 2 2 (a +b )x +2a cx+a (c -b )=0,则 x1+x2= 2 ,x1x2= . a + b2 a2+b2 4 4ab 2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2? -4x1x2],即 a= 2 2, 3 a +b 故 a =2b ,
6
2 2 2 2 2 2 2

消去 y,化简得

c a2-b2 2 所以 E 的离心率 e= = = . a a 2
(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知

x1+x2 -a2c 2c c x0= = 2 ,y0=x0+c= . 2=- 2 a +b 3 3
由|PA|=|PB|,得 kPN=-1,即 得 c=3,从而 a=3 2,b=3. 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 题型三 中点弦问题 命题点 1 利用中点弦确定直线或曲线方程 例 3 (1)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两 点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A. + =1 45 36 C. + =1 27 18 (2) 已 知 (4,2) 是 直 线 l 被 椭 圆 ________________. 答案 (1)D (2)x+2y-8=0 1 解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),所以直线 AB 的方程为 y= (x-3),代入 2 )

y0+1 =-1, x0

x2

y2

x2 y2 a b

x

2

y

2

B. D.

+ =1 36 27 + =1 18 9

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

x2
36



y2
9

=1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是

a2 2? 2 3 2 9 2 2 2 x2 y2 ? 椭圆方程 2+ 2=1 消去 y,得? +b ?x - a x+ a -a b =0,所以 AB 的中点的横坐标为 a b 2 4 ?4 ?
3 2 a 2
2

2? ?a 2? +b ? 4 ? ?

=1,即 a =2b ,又 a =b +c ,所以 b=c=3,a=3 2,选 D.

2

2

2

2

2

(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9 两式相减得

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 4?y1+y2?

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以

y1-y2 1 =- , x1-x2 2

7

1 故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 即 x+2y-8=0. 命题点 2 由中点弦解决对称问题

x 1 2 例 4 (2015·浙江)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为

? ? 2 +y =1, 1 y=- x+b.由? m 1 ? ?y=-mx+b,
2

x2

?1 1 ? 2 2b 2 消去 y,得? + 2?x - x+b -1=0. m ?2 m ?
1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点,所以 Δ =-2b +2+ 2>0,① m 2 m 将 AB 中点 M?
2

mb mb 1 m +2 ?2 , 2 ? 2 ?代入直线方程 y=mx+2,解得 b=- 2m2 ② m + 2 m + 2 ? ?
6 6 或 m> . 3 3

2

2

由①②得 m<-

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则 m ? 2 2 ? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 . 1 2 t+ 2

|AB|= t +1·

2

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 1 所以 S(t)= |AB|·d= 2 2

1 2

t2+1

.

2 ? 2 1?2 -2?t - ? +2≤ . 2? 2 ?

1 2 当且仅当 t = 时,等号成立. 2

8

故△AOB 面积的最大值为

2 . 2

思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+

y1-y2 x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求 x1-x2
得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由 根与系数的关系求解. (3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外, 还要注意: 如果点 A, B 关于直线 l 对称, 则 l 垂直直线 AB 且 A,B 的中点在直线 l 上的应用. 已知双曲线 x - =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点 3 在抛物线 y =18x 上,则实数 m 的值为________. 答案 0 或-8 解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),
2 2

y2

?x - 3 =1,① ? y 则?x - 3 =1,② x +x =2x , ③ ? ?y +y =2y , ④
2 1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 0

2 y1

1 y2-y1 y2+y1 y0 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1), 显然 x1≠x2.∴ · =3, 即 kMN· 3 x2-x1 x2+x1 x0 =3, ∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1, ∴y0=-3x0.

? m 3m? 又∵y0=x0+m,∴P?- , ?, ? 4 4?
9 2 ? m? 代入抛物线方程得 m =18·?- ?, 16 ? 4? 解得 m=0 或-8,经检验都符合.

9

1.(2016·泰安模拟)斜率为 3的直线与双曲线 2- 2=1 恒有两个公共点,则双曲线离心 率的取值范围是( A.[2,+∞) C.(1, 3) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点, 则渐近线的斜率的绝对值应大于 3, 所以| |> 3,∴e= ) B.(2,+∞) D.( 3,+∞)

x 2 y2 a b

b a

1+ 2>2,

b2 a

即 e∈(2,+∞),故选 B. 2.(2016·青岛模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)与直线 ax+y-4=0 相交于 A,B 两点,其中
2

A 点的坐标是(1,2).如果抛物线的焦点为 F,那么|FA|+|FB|等于(
A.5 B.6 C.3 5 答案 D D.7

)

解析 把点 A 的坐标(1,2)分别代入抛物线 y =2px 与直线方程 ax+y-4=0,得 p=2,a= 2,
? ?y =4x, 由? ?2x+y-4=0 ?
2

2

消去 y,得 x -5x+4=0,

2

则 xA+xB=5.由抛物线定义得 |FA|+|FB|=xA+xB+p=7,故选 D. 3.(2016·丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大 4 值为( ) 4 10 C. 5 8 10 D. 5

x2

2

4 5 A.2 B. 5 答案 C

解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t, 由?
?x +4y =4, ? ? ?y=x+t
2 2

消去 y,得 5x +8tx+4(t -1)=0,
10

2

2

8 4?t -1? 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k |x1-x2| = 1+k · ?x1+x2? -4x1x2 = 2· 8 2 4?t -1? ?- t? -4× 5 5
2 2 2 2

2

4 2 2 = · 5-t , 5 4 10 当 t=0 时,|AB|max= . 5 4.(2016·天津模拟)直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 答案 A 解析 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行, 所以它与双曲线只有 1 个交点,故选 A. 5.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲 线的离心率为( 5 5 A. B.5 C. 4 2 答案 D 解析 双曲线 2- 2=1 的一条渐近线为 y= x, ) D. 5

b a

x2 y2 a b

)

b a

b a

x2 y2 a b

2

x2 y2 a b

b a

b ? ?y= x, 由方程组? a ? ?y=x2+1
2

消去 y,

得 x - x+1=0 有唯一解, 所以 Δ =( ) -4=0, =2,

b a

b a

2

b a

c a2+b2 e= = = a a
2

1+? ? =

b a

2

5.

6.过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们到直线 x=-2 的距 离之和等于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 ) B.有且仅有两条 D.不存在
11

答案 D 解析 抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A,B 的坐标分别为(x1,
2

y1),(x2,y2),则 A,B 到直线 x=-1 的距离之和为 x1+x2+2.
设直线方程为 x=my+1,代入抛物线 y =4x, 则 y =4(my+1),即 y -4my-4=0, ∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m +2. ∴x1+x2+2=4m +4≥4. ∴A,B 到直线 x=-2 的距离之和为 x1+x2+2+2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在. 7.已知抛物线 y =4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为________. 答案 6 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4, 那么|AF|+|BF|=x1+x2+2, 又|AF|+|BF|≥|AB|? |AB|≤6,当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6. 8.过椭圆 + =1 内一点 P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是____________. 16 4 答案 3x+4y-13=0 解析 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由于 A,B 两点均在椭圆上, 故 + =1, + =1, 16 4 16 4 两式相减得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0. 16 4 又∵P 是 A,B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB=
2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 3 =- . x1-x2 4

3 ∴直线 AB 的方程为 y-1=- (x-3). 4 即 3x+4y-13=0. 9.已知 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,A 是其上顶点,且△AF1F2 是 等腰直角三角形,延长 AF2 与椭圆 C 交于另一点 B,若△AF1B 的面积为 6,则椭圆 C 的方程 为________.
12

x2 y2 a b

答案

x2 2y2
9 + 9

=1

解析 因为△AF1F2 为等腰直角三角形, 所以 b=c,a= 2c, 设|BF2|=x,则由椭圆的定义可知|BF1|=2 2c-x, 3π 2 2 2 在△BF1F2 中,由余弦定理可知(2 2c-x) =x +4c -2x·2c·cos , 4 解得 x= 2c , 3

1 1 2 3π 所以 S? AF1B = S? AF1F2 + S? BF1F2 = ×2c×c+ ×2c× c×sin =6, 2 2 3 4 9 9 2 2 2 解得 c = ,所以 b = ,a =9, 2 2

x 2y 则椭圆的方程为 + =1. 9 9
10.已知双曲线 C:x - =1,直线 y=-2x+m 与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点(A 在 B 3 |MB| 的上方),且与 y 轴交于点 M,则 的取值范围为________. |MA| 答案 (1,7+4 3)
?y=-2x+m, ? 解析 由? 2 2 ? ?3x -y -3=0
2

2

2

y2

可得 x -4mx+m +3=0,

2

2

由题意得方程在[1,+∞)上有两个不相等的实根, 2m>1, ? ? 设 f(x)=x -4mx+m +3,则?f?1?≥0, ? ?Δ >0,
2 2

得 m>1,

设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2), 得 x1=2m- 3?m -1?,x2=2m+ 3?m -1?, |MB| x2 2m+ 3?m -1? 所以 = = |MA| x1 2m- 3?m2-1? =-1+ 2- 4 3?1- 2? 1 ,
2 2 2

m

|MB| 由 m>1 得, 的取值范围为(1,7+4 3). |MA| 11.(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,且椭圆经过 2

13

圆 C:x +y -4x+2 2y=0 的圆心. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 解 (1)圆 C 方程化为(x-2) +(y+ 2) =6, 圆心 C(2,- 2),半径 r= 6.
2 2

2

2

x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
4 2 ? ?a +b =1, 则? ?b? ? 2? 1-? ? =? ? ? ? ?a? ? 2 ?
2 2 2 2 2

??
2

?a =8, ? ? ?b =4.

∴所求的椭圆方程是 + =1. 8 4 (2)由(1)得到椭圆的左,右焦点分别是 F1(-2,0),

x2 y2

F2(2,0),|F2C|= ?2-2?2+?0+ 2?2= 2< 6.
∴F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线,设 l 的方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0. |2k+ 2+2k| 点 C(2,- 2)到直线 l 的距离 d= , 2 1+k |2k+ 2+2k| 由 d= 6,得 = 6. 2 1+k 解得 k= 2 或 k=- 2, 5

故 l 的方程为 2x-5y+2 2=0 或 2x+y+2 2=0.

x2 y2 2 12.(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, 2)在 C a b 2
上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M,证 明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. (1)解 由题意得 解得 a =8,b =4. 所以 C 的方程为 + =1. 8 4
14
2 2

a2-b2 2 4 2 = , 2+ 2=1, a 2 a b

x2 y2

(2)证明 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx +b 代入 + =1,得 8 4 (2k +1)x +4kbx+2b -8=0. 故 xM=
2 2 2

x2 y2

x1+x2
2

-2kb b = 2 ,yM=k·xM+b= 2 . 2k +1 2k +1

yM 1 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- , xM 2k
1 即 kOM·k=- . 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. *13.(2016·广州联考)已知点 P 是圆 O:x +y =1 上任意一点,过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q, → → 延长 QP 到点 M,使QP=PM. (1)求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过点 C(m,0)作圆 O 的切线 l,交(1)中曲线 E 于 A,B 两点,求△AOB 面积的最大值. → → 解 (1)设点 M(x,y),∵QP=PM, ∴P 为 QM 的中点,又 PQ⊥y 轴,∴P( ,y). 2 ∵点 P 是圆 O:x +y =1 上的点, ∴( ) +y =1, 2 即点 M 的轨迹 E 的方程为 +y =1. 4 (2)由题意可知直线 l 不与 y 轴垂直, 故可设 l:x=ty+m,t∈R,
2 2 2 2

x

x

2

2

x2

2

A(x1,y1),B(x2,y2).
∵l 与圆 O:x +y =1 相切, ∴ |m|
2 2 2

=1,即 m =t +1. t +1
2

2

2



x ? ? +y2=1, 联立? 4 ? ?x=ty+m,
2 2

消去 x,

得(t +4)y +2mty+m -4=0. 其中 Δ =(2mt) -4(t +4)(m -4) =16(t -m )+64=48>0.
15
2 2 2 2 2

2

∴y1+y2=-

2mt m -4 ,y1y2= 2 . t2+4 t +4
2 2

2



∴|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? = [t?y1-y2?] +?y1-y2? = t +1 ?y1+y2? -4y1y2. 将①②代入上式得 |AB|= t +1
2 2 2 2 2

4m t 4?m -4? 2 2- ?t +4? t2+4

2 2

2

4 3|m| = 2 ,|m|≥1, m +3 1 ∴S△AOB= |AB|·1 2 1 4 3|m| = × 2 2 m +3 2 3 2 3 = ≤ =1, 3 2 3 |m|+ |m| 3 当且仅当|m|= ,即 m=± 3时,等号成立. |m| ∴(S△AOB)max=1.

16


推荐相关:

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....doc

(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 圆锥曲线的综合问题教师用书 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 ...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....ppt

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题课件_数学_高中教育_教育专区。§9.9 圆锥曲线的综合问题 ...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题教师用书 - (浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析...

浙江专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何99圆....doc

浙江专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何99圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题教师用书 - (浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲....ppt

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....doc

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 范围、最值...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....ppt

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线课件理_数学_高中教育_教育专区。§9.9 圆锥曲线的综合问题 内容...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....doc

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时题型一 定点问题 定点、...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲....ppt

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9圆锥曲线的综合问题第1课时直

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲....ppt

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第1课时直

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9圆锥曲线的综合问题第1课时直

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文苏教版 - 9.8 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 直线与圆锥...

...大一轮复习平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课....doc

江苏专用2018版高考数学大一轮复习平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线...第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 直线与 圆锥曲线...

...一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课....doc

2018版高考数学轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥...黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+...

...平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题试题理....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题试题理_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 范围、最值...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥....doc

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9圆锥曲线的综合问题第2课时定点定值范围最值问题试题理_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 第...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9....ppt

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题课件理_数学_高中教育_教育专区。§9.9 圆锥曲线的综合问题 第2...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲....ppt

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com