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选修2-1 2.1.1曲线与方程


问题1:下面的方程能否表示直角坐标系的第一、三象限的 角平分线?
(1)

x? y ?0

y
M ( x0 , y0 )

(2)

x2 ? y 2 ? 0

1
?1 ?1

(3)

x? y ?0

o1

2

x

问题2 、求圆心在原点,半径等于5的圆的 方程?

[问题3]
圆C如图所示,圆C以原点为圆心, 2为半径,点M(
y 2 x 0

7 15 , )在圆上吗? 4 4

类比点在直线上,直要判断 点M是否满足圆的方程既先 求出曲线的方程。

曲线与方程

[问题1] 画出下列方程表示的曲线:
(1)x-y=0
y
0 x y 0 x y 0 x

曲线上的点与方程的解关系怎样?

[问题2]画出下列方程表示的曲线:

(1)x-y=0
y 0 x

1 (2) y ? x
y 0 x

(3)X2=y
y 0 x

曲线上的点与方程的解关系怎样?

[问题3] 方程F(x,y)=0的解与曲线上每一个 点的坐标具备怎样的关系时,就能 用方程F (x,y)=0表示曲线C?

同时曲线C也表示方程F(x,y)=0?

[思考] 下列方程能否表示一、三象限的角平 分线C?说明理由。 y ① x ? y ? 0 少了 0 ②x2-y2=0 x ③|x|-y=0
多了
都不行

曲线与方程应该有怎样的对应?
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上 的点 与二元方程f(x、y)=0的实数解建立了如 下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解
(2 )以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线

[思考]题中的方程缺了什么? 下列方程能否表示一、三象限的角平 分线C?说明理由。 y ① x ? y ? 0 缺条件一

0

②x2-y2=0 x ③|x|-y=0

缺条件二 缺一、二

例1 如图所示,在平面直角坐标系 中,试写出以原点为圆心,2为半径 的圆的方程,并证明你的结论。
y

P
2 x
0

由|PO|=2
所以 x 2 ? y 2 ? 2

y

P
2 x 0

既 x ? y ?4
2 2

这是圆的方程吗
2 2

设(x0,y0)是方程 x ? y ? 4 的解,则 x ? y ? 4
2 0 2 0

? x ? y ?2
2 0 2 0

既P到O的距离是2,则P在圆上

点M

7 15 ( , ) 4 4

在圆上吗 代入圆的方程

用“曲线的方程”和“方程的曲线” 的定义来证明已知曲线C的方程是 f(x,y)=0.证明中分两个步骤: 第一步,设M(x0,y0)是曲线C上任一 点,证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解, 证明点M(x0,y0)在曲线C上。

例2:判断下列曲线是不是左边方程的曲线?为什么?
y

y ? log 2 x (0 ? x ? 3)
o 1 3
y

x

1 y? x

o

x

y

y? x
2y ? 3 ?2 x?2

o

x

y
?2
o
x

例 2.下 列 方 程 表 示 的 曲线分别是什么? ( 1) x? 2 ? 0; ( 2) ( 2x ? 3y ? 5) ( x ? 3 ? 1) ? 0;

( 1) 表 示 的 曲 线 为 过 ( 2,0) 且 平 行 于 轴 y的 直线;
( 2) 表 示 的 曲 线 为 一 条 射 线 2x ? 3y ? 5 ? 0 ( x ? 3) 和 一 条 直 线 x ? 4;

[小结] 1 什么是曲线的方程,方程的曲线? 2 “函数图象”与“方程曲线”有什 么联 系?

例 3 证明与两条坐标轴的 距离的积是常数 k ? k ? 0 ?的 点的轨迹方程是 xy ? ? k .
y
R
M

O

Q

x

图 2.5 ? 3

例5 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0 ”是正确的, 则下列命题中正确的是( D ) (A)方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C (B)坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 (C)方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C

(D)曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部


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