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辽宁省丹东二中2014-2015学年高二(上)理科数学期末复习检测题(1)


丹东二中高二数学上学期期末复习检测题(一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的, (1)若方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? a ? 0 表示圆,则实数 a 的取值范围是 (A) (??,5) (2)双曲线 (B) (5, ??) (C) (??,5] (D) [5, ??)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 16
5 3
(B)

(A)

5 4

(C)

7 3

(D)

7 4

(3)在直角坐标平面内,已知点 (1,1) 和点 (0, c ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 的同侧,则实数

c 的取值范围是
(A) (?3, ??) (B) (??, ?3) (C) (3, ??) (D) (??,3)

(4)已知向量 a ? (1, ?1, 2) , b ? (3,1, m) , c ? (1,1, ?2) ,若 a、b、c 三向量共面, 则实数 m ? (A) ?2 (B) 0 (C) 2 (D) 6

(5)已知 {an } 是等差数列,其前 10 项和 S10 ? a10 ? 10 ,则其公差 d ? (A) ? 2 中不 正确的是 . (A)若 ? 、 ? 相交,则 m、n 相交 (C)若 m、n 相交,则 ? 、 ? 相交 (7) 如右图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, (B)若 ? ⊥ ? ,则 m⊥n (D)若 m∥n,则 ? ∥ ? (B)2 (C) ?1 (D)1

(6)已知 m、n 为两条不同直线, ? 、 ? 为两不同的平面,若 m⊥ ? ,n⊥ ? ,则下列命题

AB ? 1 , AA 1 ? 2 ,则直线 AC1 与平
面 AA 1B 1B 所成的角是 (A)

A1

C1 B
1

? ? ? ? (B) (C) (D) 6 4 3 2

C A B

(8)双曲线的一个焦点到一条渐近线距离等于实轴长,则该双曲线的离心率等于 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5

1

( 9 )在数列 {an } 中, a1 = 2 , an ? an?1 ? 1(n ? N* ) ,设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S2008 ? S2007 ? S2006 的值为
(A)1002 (B)1003 (C)1004 (D)1005

(10)已知 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,则点 P 到点 M (2,0) 的最小值是

(A)

3 2

(B) 3

(C) 2

(D)

5 2

?x ? y ? 4 ? (11)若点 M ( 2 cos ? , 2 sin? ), ? ? R ,点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 4 ,则 | PM | 的最小值是 ? y?3 ?
(A) 3 (12)若椭圆 C : (B) 2 (C)1 (D)4

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,直线 y ? x 与椭圆 C 2 a b 3 3 相交于 A、B 两点, M 是椭圆 C 上一点,则 MA 与 MB 的斜率之积 kMA ? kMB ?
(A) ?

1 3

(B) ?

1 9

(C) ?

2 3

(D) ?

2 9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 F 1 、 F2 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1的左右焦点, P 是这条双曲线上的一点, 3 若 | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则△ F 1PF 2 的周长是_______;

(14)两个圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 6 ? 0 的公共弦的长为_______;

?x ? 2 y ? 8 ? (15)设变量 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 8 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为_______; ? x ? N* , y ? N* ?
(16)焦点是 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) 的椭圆与焦点是 F2 的抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 相交于
2

点 M ,且 MF1 ?

7 ,则椭圆方程是_______. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. ax ? 1 (17) (本小题满分 10 分)解关于 x 的不等式 > 1 (| a |? 1) x?a (18) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 ,

b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
2

(I)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

( 19 ) (本小题满分 12 分)已知双曲线 C1 的一个焦点是 F (4, 0) ,一条渐近线方程是

15x ? y ? 0 ,抛物线 C2 : y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线恰好经过双曲线 C1 的左顶点.
(I)求双曲线 C1 和抛物线 C2 的标准方程; (II)经过双曲线 C1 焦点 F 的直线 l 与抛物线 C2 交于 A 、 B 两点,若 O 是坐标原点, 求证: OA ? OB . (20) (本小题满分 12 分) 已知经过点 P (1, ) 的直线 l 与圆 C:x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 交于 A 、

3 2

B 两点.(I)若 | AB |? 4 ,求直线 l 的方程;(II)求弦 | AB | 的中点 M 的轨迹方程.
(21) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA ? AB ? (I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值. B D A Q P C

1 PD. 2

x2 y 2 (22) (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,左、右顶点分 a b 别为 A、C ,上顶点为 B ,过 F、B、C 作⊙ P .
(I)若圆心 P 在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的离心率 e ; (II)直线 AB 与⊙ P 能否相切?若能相切,求出椭圆的离心率,若不能相切,请说明 理由.

3

丹东二中高二数学上学期期末复习检测题(一)
答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)A (7)A (2)A (8)D (3)D (9)A (4)A (10)B (5)B (11)D (6)A (12)C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 10 (14) 2 3 (15) 5 (16)

x2 y 2 ? ?1 4 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 10 分) 解:解:不等式

ax ? 1 x ?1 > 1 变形为 >0 (a ? 1) x?a x?a

……………………………4 分

∵ | a |? 1 ,∴ 当 a ? 1 时,不等式的解集是 {x | x ? ?a, 或x ? 1} ; 当 ? 1 ? a ? 1 时,不等式的解集是 {x | ?a ? x ? 1} ; 当 a ? ?1 时,不等式的解集是 {x | 1 ? x ? ?a} ; (18) (本小题满分 12 分) 解:解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

……………………………2 分 ………………………2 分 ……………………………2 分

………………(2 分)
2

当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2, 故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2 ; 1 设{bn}的通项公式为 q, 则b1qd ? b1 , d ? 4,?q ? . 4
2

………………(4 分)

2 故 bn ? b1qn?1 ? 2 ? 1 ,即 {bn }的通项公式为bn ? n?1 . n ?1

(II) cn ?

an 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4n ?1 , 2 bn 4n ?1 ?Tn ? c1 ? c2 ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 42 ?

4

4

………………(6 分) ………………(8 分)

? (2n ? 1)4n?1 ],

4Tn ? [1? 4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ? 两式相减得

3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 42 ? 43 ?

? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ? 1)4n ] ………………(10 分) 1 ? 4n?1 ) ? (2n ? 1)4n ? [(6n ? 5)4n ? 5] 3
………………(12 分)

1 ?Tn ? [(6n ? 5)4n ? 5]. 9
(19) (本小题满分 12 分) 解:(I)设 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2
…………(2 分)

?b ? ?a ? 1 ? ? 15 则 ?a ,解得 ? , ? ?b ? 15 ?42 ? a 2 ? b 2 ?
4

y2 ? 1, ∴双曲线 C1 的标准方程是 x ? 15
2

…………(4 分)

∵双曲线 C1 的左顶点是 (?1, 0) ,∴ ∴抛物线 C2 的标准方程 y 2 ? 4 x ;

p ? 1, p ? 2 , 2
…………(6 分) …………(8 分)

(II)方法 1:设直线 l : x ? ky ? 4 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 把 x ? ky ? 4 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4ky ?16 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ?

y12 y2 2 ? 16 , 4 4
………… (12 分)

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB . 方法 2:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? 4 代入 y ? 4 x , 得 A(4, 4) , B(4, ?4) ,∴ OA ? OB .
2

…………(8 分)

y 代入得 4 k 2 y2 y 2 y ? y ? 4k ? 0 ,∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ? 1 2 ? 16 , 4 4 4 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB .
当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 4) , x ? (20) (本小题满分 12 分) 解:(I)圆 C:x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,圆心 C (0,1) ,半径 r ? 5 , 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程 y ?

2

………… (12 分)

3 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? ? k ? 0 , 2 2

1 |k? | 2 , r 2 ? d 2 ? ( | AB | ) 2 , ∵圆心 C 到直线 l 距离是 d ? 2 k 2 ?1

…………(2 分)

1 (k ? ) 2 2 ? 22 , k ? ? 3 ,直线 l 的方程 y ? ? 3 x ? 9 , ∴5 ? 2 4 4 4 k ?1
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程 x ? 1 ; (II)设中点 M ( x, y ) ,则 CM ? ( x, y ?1) , PM ? ( x ? 1, y ? ) , 由垂径定理 CM ? PM ? 0 ,

…………(4 分) …………(6 分)

3 2

即 x( x ? 1) ? ( y ? 1)( y ? ) ? 0 ,
2 2

3 2

整理得弦 | AB | 的中点 M 的轨迹方程是 x ? y ? x ?

5 3 y ? ? 0 . …………(12 分) 2 2

5

(21) (本小题满分 12 分) 解:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间 直角坐标系 D—xyz, …………(2 分) (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0) , 则 DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0) ∴ PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0 , 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC, ∴PQ⊥平面 DCQ, 又∵PQ ? 平面 PQC,∴平面 PQC⊥平面 DCQ; (II)依题意有 B(1,0,1) ,C B ?, 0 ) , 1 ( …………(6 分)

(B 2 , 1 P .) 1 ??
? ?n ? CB ? 0

?

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? ∴取 n ? (0, ?1, ?2) , 设 m 是平面 PBQ 的法向量, 则?

?x ? 0 , 即? ? ?n ? BP ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0
…………(8 分) , 可取 m ? (1,1,1) , ∴|cos ? m, n ?|?

?m ? BP ? 0 ? ? ?m ? PQ ? 0

15 , 5

∵二面角 Q—BP—C 是钝二面角,∴二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ?

15 . (12 分) 5

) 、 F (?c, 0) 、 C (a, 0) , (22) (本小题满分 12 分)解: (I)设 c ? a2 ? b2 ? a ,则 B(0, b
∴FC、BC 的中垂线分别为 x ?

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2

…………(2 分)

联立两方程,解得 P (

a ? c b 2 ? ac , ), 2 2b

…………(4 分)



a ? c b 2 ? ac 2 ? ? 0 ,即 (a ? b)(b ? c) ? 0 , b ? c ,∴ e ? ; ……(6 分) 2 2b 2

注:用直线 x ? y ? 0 线经过线段 BF 中点做得 0 分. (II)∵ k PB

b b 2 ? ac , k AB ? , ? a b (c ? a )

…………(8 分) ………… (10 分)

如果直线 AB 与圆 P 相切,则 kPB k AB ? ?1, 即

b2 ? ac b ? ? ?1 ,整理得 a 2 ? b2 ? 2ac ,即 c 2 ? 2ac , b(c ? a ) a
…………(12

∴ c ? 2a ,与 c ? a 矛盾,因此直线 AB 与圆 P 不能相切.

6


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