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2.1.1曲线与方程的概念


良乡中学数学组 任宝泉

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普通高中课程标准数学2-1(选修)

第二章 圆锥曲线与方程

2.1.1 曲线与方程的概念
良乡中学数学组 制作:任宝泉

2017年9月19日

一、复习引入
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue

在《数学必修2》,我们研究了直线和圆的方程,讨论 了这些曲线和相应的方程的关系。 请大家回忆一下:
1.经过点P和斜率为k的直线l的方程为 。

2.圆心为(a,b) ,半径为r的圆C的方程为



y ? y0 ? k( x ? x0 )

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

大家知道,平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质。

曲线和方程之间是什么样的关系呢?
Bqr6401@126.com

二、提出问题
普 1.说出下列方程所表示的曲线: (2)y=b 通 (1)x=a 高 中 (1) 过点 ( a , 0 ) 垂直于 x 轴的直线 课 程 (2) 过点 ( 0 , b ) 垂直于 y 轴的直线 标 2.判断两点 是否在方程 P ( ? 2 5, 2), P ( ? 2 5, 5) 准 1 2

x ? y ? 25 所表示的曲线上。
2 2

Liangxiangzhongxue

代入验证

P1 不在, P2 在

Bqr6401@126.com

三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
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概念1.曲线与方程之间的对应关系
例子:第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是x-y=0。 第一、三象限角平分线 l ? 点的横坐标与纵坐标相等。

?
y

l
0

x ? y(或x ? y ? 0)
x-y=0 x 含有关系: (1) l 上点的坐标都是方程x-y=0的解; (2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在 l 上。

∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直 线是 l 。 Bqr6401@126.com

三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
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概念1.曲线与方程之间的对应关系
圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 如果M(x0,y0)是圆上的点,那么它到圆心的距离一定等于半 径,即
( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r ,

也就是 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ,这说明它的坐标(x0,y0) 是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解;
反过来,如果(x0,y0)是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解,即 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ,也就是 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r ,即 以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r,它一定在以 C(a,b)为圆心,r为半径的圆上。 Bqr6401@126.com

三、概念形成
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概念1.曲线与方程之间的对应关系
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适 合某种条件的点的轨迹)与二元方程F(x,y)=0的实数解建立 了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(完备性) 那么,这个方程F(x,y)=0叫做这条曲线C的方程; 这条曲线C叫做这个方程F(x,y)=0的曲线。 y

F ( x, y) ? 0

M ( x, y)
Bqr6401@126.com O x

三、概念形成
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概念1.曲线与方程之间的对应关系
思考与讨论 下面两个命题正确吗? (1)到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x (2)如图,MA和MB分别是动点M(x,y)与两个定点 A(-1,0),B(1,0)的连线,使∠AMB为直角的轨迹方程 是:x2+y2=1 y M O x

A Bqr6401@126.com

B

三、概念形成
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概念2.两条曲线的交点
由两条曲线的方程,可求出这两条曲线的交点坐标。 比如:已知两条曲线C1和C2的方程分别为

C1 : F ( x, y) ? 0

C2 : G( x, y) ? 0
F ( x, y) ? 0
y

交点坐标必须同时满足上面的两个方程。所以求这两条曲 线的交点坐标,只要求方程组

? F ( x, y ) ? 0 ? ?G ( x, y ) ? 0
的实数解即可。

G( x, y) ? 0
O Bqr6401@126.com x

四、应用举例
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例1.写出圆心在坐标原点,半径是5的圆的标准方程,并判 断下列各点是否在这个圆上 (1)(2,4) (2)(-4,-3) (3) (4, ?3 2) (4) (5cos ? ,5sin ? ) 例2.求直线 l : x ? 4 y ? 7 ? 0 与曲线 C : 4 x ? y 2 ? 0 的交 点坐标。

Bqr6401@126.com

四、应用举例
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例3:已知 C1:x2+y2+6x-16=0; C2:x2+y2-4x-5=0 求证:对于?λ≠-1的实数,方程 x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0 是通过两个已知圆交点的圆的方程。

过两圆交点的圆系
一般地,对于两条曲线F(x,y)=0和 G(x,y)=0,则过两条曲线交点的曲 线系方程是

例3:已知 C1:x2+y2+6x-16=0; C2:x2+y2-4x-5=0 求证:对于?λ≠-1的实数,方程 x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0 是通过两个已知圆交点的圆的方程。 证明:方程x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0可以边形为 (1+λ) x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-5λ=0, 因为λ≠-1,所以
3 ? 2? 2 9? 2 ? 9? ? 25 (x ? ) ? y2 ? 1? ? (1 ? ? )2

y

因为数上述方程右侧大于0, 所以它是一个圆的方程。

x

F ( x, y) ? ?G( x, y) ? 0
练习:求过两圆 C1:x2+y2=1;C2:x2+y2-4x-4y-1=0的交点 和点(2,1)的圆的方程。 Bqr6401@126.com

五、课堂练习
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课本第35页,练习A,1,2,3,4
下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个? ① x? y ?0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1 Y

②|x|-|y|=0
Y 1 1 X

③x-|y|=0
Y 1 O -1 1 X

A ①表示B

B

C

D ③表示D

②表示C
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六、课堂总结
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1. 证明已知曲线的方程的方法和步骤

S1:设M (x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0)是F(x,y)=0 的解; S2:设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明点M (x0,y0)在曲线C上。 2.在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程,当说某 方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备 上述两个条件,只有具备上述两个方面的要求,才能将曲 线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题,以数 助形正是解析几何的思想,本节课正是这一思想的基础。 Bqr6401@126.com

七、布置作业
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课本第36页,练习B,1,2,3

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下课
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