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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质


1.4.2正弦函数余弦函数的性质

正弦曲线、余弦曲线 图象的作法:
y 1
? ? 2

三角函数线法 五点法 平移法
y=cosx,x?[0, 2?]

o

? 2

?

3? 2

2?

x

-1

y=sinx,x?[0, 2?]

1.定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x

定义域:R 值域:[-1,1] y
1
? 2
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1

2.周期性
y
1-

? 6?

? 4?

? 2?

o
-1-

2?

4?

6?

每隔 2 ,图象重复出

即对任意 x , y ? sin ( x ? 2 ) ? sin x
1-1-

? 6?

如果令f(x)=sinx,则 f(x+2π)=f(x) 抽象

-

?

? 4?

-

-

-

-

x

-

? 2?

-

正弦函数y=sinx的图 象

?
o

y

2?

4?

6?

f (x +T) = f(x)

-

-

-

x

-

2、周期性
(1)周期函数
对于函数f(x),若存在一个非零常数T,使得当x取 定义域内D的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x), 则函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函 数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正 周期. 正弦函数是周期函数, 2k?(k ? Z且k ? 0) 都是它的周期,最小正周期是 2 ? . 余弦函数也是周期函数,2k?(k ? Z且k ? 0) 都是它的周期,最小正周期是 2 ? .

说明: 1)周期函数的周期不唯一;T=2kπ(k∈Z且k≠0) 2)周期函数的图像重复出现,图像不重复出现的函 数必不是周期函数. 3)如果不加特别说明,周期一般是最小正周期。

4)周期函数不一定存在最小正周期
例如 (1)常值函数f ( x ) ? C (C 为常数, x ? R )周期为任一实数, ?1. (当x为有理数时) (2) D( x ) ? ? ,周期为任一有理数. ? 0. (当x为无理数时) 它们都没有最小正周期.

【即时训练】
等式 sin ? 30 ? 120 ? ? sin 30 是否成立?如果这个等 式成立,能否说 120? 是正弦函数 y ? sin x, x ? R 的 一个周期?为什么? 解答:等式成立. 但是120 不是正弦函数的一个周期,因为对于 任意的x ? R, sin ? x ? 120 ? ? sin x 不是都成立.

例1.求下列函数的周期:
(1)y ? 3cos x, x ? R; (2)y ? sin 2x, x ? R; 1 ? 记住正弦、余 (3)y ? 2sin( x ? ), x ? R. 2 6 弦函数的周期

解:(1)因为 3cos(x ? 2?) ? 3cos x , 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为 2 ? . (2)因为 sin 2(x ? ?) ? sin(2x ? 2?) ? sin 2x , 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.

?? ? ?1 ? 1 ? (3)因为 2sin ? ? x ? 4? ? ? ? ? 2sin ?( x ? ) ? 2?? 6? 6 ?2 ? 2 ?

所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为 4?.

1 ? ? 2sin( x ? ), 2 6

思考:你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数
的周期与解析式中哪些量有关吗?

提示:

2π T? | 自变量的系数 |

一般地,函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? R (其中? ? 0 ),最
2? 小正周期 T ? . ?

? 1.定义法: 一般地,函数 y=Asin(ωx+φ) 及 ? 2.公式法: y=Acos(ωx+φ) (其中A ,ω,φ为常数, 且 A≠0, ω≠0 )的周期是:
T? 2?

周期求法:

? 3.图象法:

?

(? ? 0)





(1)周期函数、周期及最小正周期的概念. (2)正(余)弦函数的周期. (3)函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 及函数y ? A cos(?x ? ? ), x ? R 的周期
T? 2?


?

【变式练习】
1.已知函数y ? 4sin(3wx ? )(w ? 0)的最小 4 2 ? 正周期为1.则w ? __

?

3

4 、已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T 2 =2,且当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,求函数 f(x)的解析式.
解析: 当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时, x-2k∈[-1,1], 又∵函数 y=f(x)的周期 T=2, ∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2, 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=(x-2k)2(x∈[2k-1,2k+ 1](k∈Z)).

探究:
提示:

3.奇偶性

1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现?
y
1 -3?
? 5? 2

正弦曲线关于原点O对称 x
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

O
-1

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

y
1 -3?
? 5? 2

余弦曲线关于y轴对称 x
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

O
-1

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

2.根据图象的特点,猜想正余弦函数分别有什么性
质?如何从理论上验证? 提示:
sin(-x)=-sinx(x?R) y=sinx(x?R) 是奇函数 y=cosx(x?R) 是偶函数

定义域关于原点对称
cos(-x)=cosx(x?R)

4.正弦余弦函数的单调性与最值
函数 y ? f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 , 且 x1 ? x2 ,都有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是减函数. 2、__________
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。

增函数:上升

减函数:下降

观察正余弦函数的图象,探究其单调性

正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R) ? ? [ ? ? 2 k ? , ? 2k? ]( k ? z ) 其值从-1增至1 增区间为 2 2 ? 3? ? 2k? ]( k ? z ) 其值从 1减至-1 减区间为 [ ? 2k? , 2 2

正弦函数的最值
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x?

?
2
?

? 2k? (k ? z )时
? 2k? (k ? z )时

ymax ? 1
ymin ? ?1

x??

2

余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-?
-1



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

0

0

y=cosx (x?R) 增区间为 [?? ? 2k? ,2k? ](k ? z ) 其值从-1增至1 减区间为 [2k? , ? ? 2k? ](k ? z ) 其值从 1减至-1

余弦函数的最值
y
1
-3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x ? 2k? (k ? z )时
x ? ?? ? 2k? (k ? z )时

ymax ? 1
ymin ? ?1

正弦函数的对称性

y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心( k? ,0)
余弦函数的对称性
1 -3?
? 5? 2

对称轴: x ? k? ?
y

?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心( k? ?

?
2

, 0)

对称轴: x ? k?

练习
1、为函数 y ? sin(2 x ? 3 ) 的一条对称轴的是(C)
4? A. x ? ? 3 B. x ?

?

?
2

C.x ?

?
12

D. x ? 0

2、求 y ? sin( 2 x ? ) 函数的对称轴和对称中心。
3
k? x? ? k?z 12 2

?

?

k? (? ? ,0) k ? z 6 2

?

例2.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写 出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最 大值、最小值分别是什么.
(1)y ? cos x ? 1, x ? R.

(2)y ? ?3sin 2x, x ? R.

解:这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的 x 的集合为

?x x ? 2k?, k ? Z? , 最大值为 1 ? 1 ? 2.
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的 x 的集合为

?x x ? ? ? 2k?, k ? Z? ,最小值为

?1 ? 1 ? 0.

使函数 y ? ?3sin z, z ? R取得最大值的 (2)令 z ? 2 x , z 的集合是 ?z z ? ? ? ? 2k?, k ? Z? , ? ? 2 ? ? ? ? 由 2x ? z ? ? ? 2k?,得 x ? ? ? k?. 4 2

因此使函数 y ? ?3sin 2x, x ? R取得最大值的 x 的集合为

? ? ? ?x x ? ? ? k?, k ? Z ?. 4 ? ?
最大值为3.

同理使函数 y ? ?3sin 2x, x ? R取得最小值的 x 的集合为

? ? ? ?x x ? ? k?, k ? Z ?. 4 ? ?

最小值为-3.

例3.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的 大小: 23? (1) sin( ? ? ) 与 sin( ? ). ? (2) cos( 5 ) 与cos( ? 17? ). ?
18
10
4

解: (1)因为

?

?
2

??

?
10

??

?
18

? 0,

又y=sinx 在 [? , 0]上是增函数想一想:用正弦函数 ,
? ? 所以sin( ? 18 ) > sin( ? 10 ).

?

2

的哪个单调区间进行 比较?

(2)

cos( cos(

23? ? 5

)=cos )=cos
?

23? 5

= cos =cos

3? 5

,

17? ? 4

17? 4

? . 4

因为

0?

?
4

3? ??, 5

又 y=cosx 在 [0, ? ] 上是减函数,
? 3? 所以cos 4 > cos 5 ,

即cos(

?

17? 4

)> cos(

?

23? 5

).

【变式练习】
比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)sin 250 ____ sin 260
15? 14? (2) cos ____ cos 8 9

?

?

? x ? 的单调增区间。 例4、求函数y ? sin(1 2 3 ), x ?[?2? ,2? ]

? x ? 函数y ? sin z的单调递增区间是 解:令 z ? 1 2 3.

[? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ]
? ?


? 2 ? 2k? ? x ? 3 ? 2 ? 2k?得:
?
1 2

?

?

?

5? 3

? 4k? ? x ? 3 ? 4k? , k ? Z
?

? 求函数的单调增区间
?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? [?2? ,2? ] 3? ?2
?2? 2?

? ? 5? ? ? ? 4k? , ? 4k? ? ? 3 ? 3 ?

k ? ?1,

k ? 0,
k ? 1,

? 17? 11? ? ? ,? ? 3 ? ? 3 ? ? 5? ? ? ? , ? ? ? 3 3? ? 7? 11? ? , ? ? 3 3 ? ?



变式练习

? 求函数的单调增区间
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2



y ? sin z 减

?

3? ? 2k? ? z ? ? 2k? 减 2 2

?

1 ? 3? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

5? 11? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3
11? ? 5? ? ? 4 k ? , ? 4 k ? ,k ? Z ? ? 3 3 ? ?



? 求函数的单调增区间
为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2 ?? ?1 y ? ? sin ? x ? ? 3? ?2
y ? ? sin z


sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?


增 减

y ? sin z

为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来 ? 求函数的单调增区间 ?? ? 1 y ? cos ? ? x ? ? 增 3? ? 2 sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? ?? ?1 y ? cos ? x ? ? 增 (k? , 0)(k ? z ) 2 3
? ?

y ? cos z y ? cos z

增 增

(2x? ) 函数的对称轴和对称 例5、求 y?sin 3 中心
解(1)令
z ? 2x ?

?

?

3



y ? s i n ( 2 x ? )? s i n z 3

?

y?s in z 的对称轴为 z? ?k ?,k? Z 2 ? ? 2 x? ? ?k ?
3 2
k ,k ? Z 解得:对称轴为 x? ? 1 2 2

?

?

?

( 2 ) y ? s i n z的对称中心为

( k ? , 0 ), k ? Z

z?k ?

2x ?

?
3

? k?

? ? k ,0 ) ,k ? Z 对称中心为 ( 6 2

?

?

x ?? ? k 6 2

?

?

1 ? ? 求 y ? cos( x ? ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 ? 1 ? 解(1)令 z ? x ? 则 y ? cos( x ? ) ? cos z 2 4 2 4 y ? cos z 的对称轴为 z ? k?

练习

1 ? ? ? x ? ? k? x ? 2k? ? , k ? Z 2 4 ? 2 解得:对称轴为 x ? 2k? ? , k ? Z 2 ? (2) y ? cos z 的对称中心为 ( ? k? ,0), k ? z 2 ? z ? ? k? , ? 1 x ? ? ? k? ? ? 2 2 2 ? 4 ? x ? 2k? ? , k ? Z 2 ? 对称中心为 (2k? ? ,0), k ? Z 2

y?sin x
y 1

y? cos x
y

图象
0

? 2

1

o

?

3? 2

2?

x

?1

?1 -

?

3? 2

2?

x

-

-

-

-

-

定义域 值域 奇偶性 对称性(对称轴、 对称中心) 周期性

R
[-1,1]

R
[-1,1] 偶


x?

x=kπ ? k? ? 2 (? k ? , 0 )( k ? z ) (kπ,0) ( k?z ) 2

?

T ?2 ?

T ?2 ?

小结
性质

函数

y= sinx

(k∈z)

y= cosx
R

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合

R [-1,1]

[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数

周期性 奇偶性
单调性

π 在x∈[2kπ-π, 2kπ ] 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ] 2 2 上都是增函数 上都是增函数 , 3π π 在x∈[2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ] 在x∈[2kπ , 2kπ+π ] 上都是减函数. ( k?z )上都是减函数 。 ( k?z )
(kπ,0) x = kπ+

对称中心

对称轴

π

( k?z )(kπ+ π 2 ,0)

( k?z )

2

( k?z ) x = kπ ( k?z )

作业
P46 习题1.4
A组 2


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