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高中物理竞赛讲义-静电场


《静电场》1,59

第七部分 静电场
第一讲 基本知识介绍
在奥赛考纲中,静电学知识点数目不算多,总数和高考考纲基本相同,但在个别知识点 上, 奥赛的要求显然更加深化了: 如非匀强电场中电势的计算、 电容器的连接和静电能计算、 电介质的极化等。在处理物理问题的方法上,对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分,那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究,高 考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题, 而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中 的静态问题。也就是说,奥赛关注的是电场中更本质的内容,关注的是纵向的深化和而非横 向的综合。 一、电场强度 库仑定律 真空中,两个静止的点电荷 q1 和 q2 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积 成正比,和它们之间距离 r 的平方成正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥,异号 相吸

F ?k

q1 q 2 r2
1

式中 k 是比例常数,依赖于各量所用的单位,在国际单位制(SI)中的数值为:

k ? 9 ?10 N ? m / C ( 常 将 k 写 成
9 2 2

k?

4?? 0 的 形 式 , ? 0 是 真 空 介 电 常 数 ,

? 0 ? 8.85?10?12 C 2 / N ? m2
条件:⑴点电荷,⑵真空,⑶点电荷静止或相对静止。 条件(1)很容易理解,但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元(可 视作点电荷)的集合,再利用叠加原理,求得非点电荷情况下,库仑力的大小。事实上,条 件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制, 因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一 般带电体, 非真空介质可以通过介电常数将 k 进行修正 (如果介质分布是均匀和 “充分宽广” 的,一般认为 k′= k /ε r) 。其实库仑定律不仅适用于真空,也适用于导体和介质。当空间 有了导体或介质时, 无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷, 此时必须考虑它们对 源电场的影响, 但它们也遵循库仑定律。 只有条件⑶, 它才是静电学的基本前提和出发点 (但 这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的) 。由于库仑定律给出的是一种静电场 分布,因此在应用库仑定律时,可以把条件⑶放宽到静止源电荷对运动电荷的作用,但不能 推广到运动源电荷对静止电荷的作用,因为有推迟效应。 【介绍】:(1)关于“点电荷”,应让学生理解这是相对而言的,只要带电体本身 的大小跟它们之间的距离相比可以忽略,带电体就可以看作点电荷.严格地说点电荷 是一个理想模型, 实际上是不存在的. 这里可以引导学生回顾力学中的质点的概念. 容 易出现的错误是:只要体积小就能当点电荷,这一点在教学中应结合实例予以纠正. 当不满足 r>>线度时,r 理解为电荷中心的距离 当为金属导体球时:

(2)要强调说明课本中表述的库仑定律只适用于真空,也可近似地用于气体介 质,对其它介质对电荷间库仑力的影响不便向学生多作解释,只能简单地指出:为了 排除其他介质的影响,将实验和定律约束在真空的条件下.

q1q2 2 qrq F ? k 1 22 B、当两物体为异种电荷时, r
A、当两物体为同种电荷时, F ? k

《静电场》2,59

扩展:任何一个带电体都可以看成是由许多点电荷组成的.任意两点电荷之间 的作用力都遵守库仑定律.用矢量求和法求合力. 利用微积分计算得:均匀带电小球可等效看成电量都集中在球心上的点电荷. 静电力同样具有力的共性,遵循牛顿第三定律,遵循力的平行四边形定则. [例题 1]试比较氢原子中电子和质子间的静电引力和万有引力的大小。已知电子的质 量 m1=9.1×10-31kg,质子的质量 m2=1.67×10-27 kg,电子和质子的电荷量都是 1.60×10-19C, 电子与质子间的最短距离为 5.3×10-11m。 解:电子和质子的静电力 F1 和万有引力 F2 分别是 F1=k

Q1Q2 mm ,F2=G 1 2 2 2 r r



F1 kQ1Q2 9.0 ? 109 ? 1.60 ? 10?19 ? 1.60 ? 10?19 ? ? ? 2.3 ? 1023 ?11 ?31 ?27 F2 Gm1m2 6.67 ? 10 ? 9.1 ? 10 ? 1.67 ? 10
可以看出,万有引力公式和库仑定律公式在表面上很相似,表述的都是力,这

是相同之处; 它们的实质区别是: 首先万有引力公式计算出的力只能是相互吸引的力, 绝没有相排斥的力.其次,由计算结果看出,电子和质子间的万有引力比它们之间的 静电引力小的很多,因此在研究微观带电粒子间的相互作用时,主要考虑静电力,万 有引力虽然存在,但相比之下非常小,所以可忽略不计. 【例题 1】真空中有两个相同的带电金属小球 A 和 B,相距为 r,带电量分别为 q 和 2q,它们之间相互作用力的大小为 F.有一个不带电的金属球 C,大小跟 A、B 相同, 当 C 跟 A、B 小球各接触一次后拿开,再将 A、B 间距离变为 2r,那么 A、B 间的作用 力的大小可为:[ ] A.3F/64 B.0 C.3F/82 D.3F/16 【拓展】用 C 球先与 A 球接触,再与 B 球接触再与 A 球,再与 B 球,无数次后 A、 B 间作用力为? 【例题 2】真空中位于光滑水平桌面上的三个点电荷,从左到右依次为 A、B、C,在 电场力作用力都处于平衡,分析三个电荷的电性和电量关系. 【例题 3】同上,ABC 三球质量相等,如果开始把 ABC 都固定,单独释放 A 球,加速度 向左 1m/s2,如果单独释放 B 球,加速度向右 21m/s2,则如果单独释放 C 球,加速度方向大 小如何? 【例题 4】一半径为 R 的绝缘球壳上均匀地带有电量为+Q 的电荷,另一电量为+q 的点电荷 放在球心 O 上,由于对称性,点电荷所受的力为零,现在球壳上挖去半径为 r(r<<R)的一个 小圆孔, 则此时置于球心的点电荷所受力的大小为______ 已知静电力常量为 k), ( 方向______. ? 【解题思路】 有两种思考方式可提供求解的方法.其一, 填补法: 把挖去的一小块电荷补上, 则球心处场强必为零, 这可看成是剩下部分球壳产生的场强与挖去 部分电荷产生的场强叠加的结果,而挖去的一小块可看成是点电 荷,先求其电量,即可求出 E1,从而求出 E2.其二,分割法:即在 球壳上与 M(圆孔)对称位置 N 处再挖去同样大小的一圆形小孔, 则在挖去了这两小块电荷后的球壳,电荷上下对称,产生场强相互 抵消,所以 N 点圆形小孔电荷在 O 点处的场强即可求得.?

《静电场》3,59

【例题 5】如图所示,完全相同的金属小球 A 和 B 带等量异种电荷,中间连接着一个轻质绝 缘弹簧,放在光滑绝缘水平面上,平衡时弹簧的压缩量为 x0.现将不带电的与 A、B 完全相同 的金属球 C 与 A 球接触一下,然后拿走,重新平衡后弹簧的压缩量为 x,则

图 9—1—13 A.x=

1 x0 2

B.x>

1 x0 ? 2

C.x<

1 x0 2

D.x=x0 ?

【命题意图】 本题以导体接触后电荷量分配规律、库仑定律、物体的平衡为知识依托, 着重考查假设推理的思维能力.? 【解题思路】 点电荷之间库仑力的大小有两个决定因素, 一是两点电荷电荷量的乘积, 二是两点电荷间的距离.本题定量计算比较困难,可用假设法定性分析.不带电且与 A 球完全 相同的球 C 与 A 接触 A 球电荷量减半,设 A 球电荷量减半而弹簧长度不变,原来 F 库=F 弹 F库 F库 =kx0,此时 F 库′= <F 弹,因此弹簧要伸长,至新的平衡状态时 F 库′必小于 ,即有 2 2 kx<

kx 0 x ,x< 0 .? 2 2

【正确答案】 C ? 【例题 6】带电量为 q1、q2,质量分别为 m1 和 m2 的两带异种电荷的粒子,其中 q1=2q2, m1=4m2,均在真空中.两粒子除相互之间的库仑力外,不受其他力作用.已知两粒子围绕连线上某 点各自做匀速圆周运动,由此可知两粒子一定做_匀速圆周_运动,该固定点距两带电粒子的距 离之比 L1∶L2=4:1. b、电荷守恒定律 大量实验证明:电荷既不能创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个 物体,或者从物体的一部分转移到另一部分,正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持 不变。 我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移, 静电感应现象是电荷在同一物体 上、不同部位间的转移。此外,液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒 定律。 c、叠加原理 2、电场强度 电场的概念;试探电荷(检验电荷) ;定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检 测手段;电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性) 。 问题引入:电荷间的相互作用力是怎样产生的?曾经有一种说法叫超距离力 一、电场:电荷周围存在着一种叫电场的物质. 电荷 A 对电荷 B 的作用,实际上是电荷 A 的电场对电荷 B 的作用;电荷 B 对电荷 A 的作用,实际上是电荷 B 的电场对电荷 A 的作用. ①电场的一个重要性质:电场对放入其中的电荷有力的作用,这种力叫做电场力. ②当带电体在电场中移动时,电场力将对带电体做功,这表示电场具有能量. 电场有能量,是物质,是实际存在的。 提出问题:如何描述电场?例如一个带电金属球+Q(场源电荷)周围存在的电场。 引入一个试探电荷 q(电量很小的点电荷,将其放入电场后对原电场强度无影响) 可不可以用电场力?例如用+q 受到的电场力来表示?由图 1.2-1 可知电场。且从小球受力

《静电场》4,59

情况可知,电场的强弱与小球带电和位置有关。 虽然在不同地点, 受到的力 F ? q

kQq 大小和方向不同, 可以勉强说明, 但在同一地点, r2

+Q 产生的电场是不变的,而如果+q 变化的话,+q 受到的电场力也发生变化了。 要排除+q 的影响,用

F 就可以了,它与 q 无关,反映电场本身性质的物理量, q

所以我们用这个比值 F/q 来表示电场的强弱. 检验电荷是一种理想化模型 电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为

E?

F q

式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。 【拓展】如果一个电量分布均匀的带正电的圆盘,中心有一小孔,一电子以某一 初速度垂直圆盘射出,分析电子的运动情况。 【例题】如图 9—1—3 所示,一带电荷量为 q 的金属球,固定在绝缘的支架上,这时球 外 P 点的电场强度为 E0.当把一电荷量也是 q 的点电荷放在 P 点时,测得 点电荷受到的静电力为 f;当把一电荷量为 aq 的点电荷放在 P 点时,测得 作用于这点电荷的静电力为 F,则在国际单位制中? A.f 的数值等于 qE0 ? B.F 的数值等于 af ? C.a 比 1 小得越多,F 的数值越接近 aqE0 ? 图 9—1—3 D.a 比 1 小得越多,F 的数值越接近 af ? 【解题思路】 C。本题中的场源电荷为金属球体而非固定的点电荷,若 P 点未放点电 荷时,电荷量均匀分布于外表面,金属球体可等效为电量集中于球心的点电荷.当 P 点放入 点电荷 q 时,由于同种电荷相斥,使金属球的带电中心偏离球心,带电中心到 P 点距离将 kQ 大于球心到 P 点距离,据点电荷场强公式 E= 2 知,带电金属球在 P 点产生的场强将小于 r E0;当把电量为 aq 的点电荷放在 P 点时,电荷量越小即 a 比 1 小得越多,金属球带电中心 偏离球心越小,球在 P 点激发的场强越接近于 E0,即 aq 在 P 点受力数值越接近于 aqE0.当 a ? 1 时,点电荷可看作电量足够小的试探电荷,对场源电荷的影响很小,P 点的场强可认 为没有变化.? D 选项,越远离 af。

几种典型电场的场强
⑴点电荷:E = k
Q r2

结合点电荷的场强和叠加原理,我们可以求出任何电场 的场强,如 ⑵均匀带电环,垂直环面轴线上的某点 P: E=
kQr (r ? R 2 )
2 3 2

,其中 r 和 R 的意义见图 7-1。

《静电场》5,59

⑶均匀带电球壳 内部:E 内 = 0 外部:E 外 = k
Q ,其中 r 指考察点到球心的距离 r2

如果球壳是有厚度的的(内径 R1 、外径 R2) ,在壳体中(R1 <r<R2) : E=
3 4 r 3 ? R1 ,其中ρ 为电荷体密度。这个式子的物理意 ?? k 2 3 r

义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解 〔 ? ?(r 3 ? R 3 ) 即为图 7-2 中虚线以内部分的总电量?〕 。
4 3

⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ ) = :E

2 k? r

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为ζ ) = 2π kζ :E 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强, 等于每个场源电荷单独存在时在该 点所激发的场强的矢量和。

⑤电偶极子产生的电场

《静电场》6,59

真空中一对相距为 l 的带等量异号电荷的点电荷系统 ?? q,?q ? ,且 l 远小于讨论中所 涉及的距离,这样的电荷体系称为电偶极子,并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴 线,将电量 q 与两点电荷间距 l 的乘积定义为电偶极矩。 a.设两电荷连线中垂面上有一点 P,该点到两电荷连线的距离为 r,则 P 点的场强如 图 1-1-5 所示,其中

E? ? E? ? k

q r2 ? l2 4

E ? 2 E? cos? ? 2k

q
2

?k

b.若 P? 为两电荷延长线上的一点,P? 到两电荷连线中点的距离为 r, 如图 1-1-6 所示, 则
?q

ql l2 (r 2 ? ) 4

l2 r ? 4 ql ?k 3 3 r 2

?

l 2 r2 ? l2 4

?q

P?

E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

, E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

E?
E?

,

l/2

l/2

r

? ? ? ? 1 1 ? ? E ? E? ? E? ? kq ? 2 2 ?? l? ? l? ? ?? r ? ? ? r ? ? ? 2? ? 2? ? ??

图 1-1-6

?k

?2 ?2 ?? l ? l ? ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2r ? ? ?? 2r ? ? ? q? l l? ? k 2 ?1 ? ? 1 ? ? r ? r r? 2ql ?k 3 r

q r2

c.若 T 为空间任意一点,它到两电荷连线的中点的距离为 r,如图 1-1-7 所示,则 ql? 在 T 点产生的场强分量为

E? ? k

ql ? 2ql sin ? ?k 3 r r3 ,
E?

ET

?
T

E//

由 ql// 在 T 点产生的场强分量为

2ql 2ql cos ? E// ? k 3 // ? k r r3


ql ET ? E ? E ? k 3 3 cos 2 ? ? 1, r
2 ? 2 //

?q

?q

图 1-1-7

《静电场》7,59

tan? ?

E? sin ? 1 ? ? tan? E// 2 cos? 2

原则上讲,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 【物理情形 1】试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图 7-5 所示,在球壳内取一点 P ,以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体,锥体 与球面相交得到球面上的两个面元Δ S1 和Δ S2 ,设球面的电荷面密度为ζ ,则这两个面元 在 P 点激发的场强分别为 Δ E1 = k Δ E2 = k
??S1 r12 ??S2 r22

为了弄清Δ E1 和Δ E2 的大小关系,引进锥体顶部的立体角Δ Ω ,显然
?S1 cos? ?S2 cos? = ΔΩ = r12 r22

所以 Δ E1 = k

??? cos ?

,Δ E2 = k

??? cos ?

,即:Δ E1 = Δ E2 ,

而它们的方向是相反的,故在 P 点激发的合场强为零。 同理,其它各个相对的面元Δ S3 和Δ S4 、Δ S5 和Δ S6 ? 激发的合场强均为零。原命 题得证。 【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面,电荷的面密度为ζ ,试求球心处的电场强度。 【解析】如图 7-6 所示,在球面上的 P 处取一极小的面元 Δ S ,它在球心 O 点激发的场强大小为 Δ E=k
??S ,方向由 P 指向 O 点。 R2

无穷多个这样的面元激发的场强大小和Δ S 激发的完全相 同, 但方向各不相同, 它们矢量合成的效果怎样呢?这里我们 要大胆地预见——由于由于在 x 方向、y 方向上的对称性,Σ
? ? E ix = Σ E iy = 0 ,最后的Σ E = Σ Ez ,所以先求

Δ Ez = Δ Ecosθ = k

??S cos? , 而且Δ Scosθ 为面元在 xoy R2

平面的投影,设为Δ S′ 所以 Σ Ez =
k? Σ Δ S′ R2

而 Σ Δ S′= π R2 【答案】E = kπ ζ ,方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷,面密度仍为?,那 么,球心处的场强又是多少? 〖推荐解法〗将半球面看成 4 个 球面,每个 球面在 x、y、z 三个方向上分量均为
1 8 1 8 1 4

《静电场》8,59

kπ?,能够对称抵消的将是 y、z 两个方向上的分量,因此ΣE = ΣEx … 〖答案〗大小为 kπ?,方向沿 x 轴方向(由带正电的一方指向带负电的一方) 。 例 1、如图 1-1-1(a)所示,在半径为 R、体电荷密度为 ? 的均匀带电球体内部挖去 半径为 R? 的一个小球,小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a,试求 O? 的电场强度,并证明 空腔内电场均匀。 由公式求出它们各自在 O? 的电场强度,再叠加即得 E0? 。这是利用不 具有对称性的带电体的特点,把它凑成由若干具有对称性的带电体组 成,使问题得以简化。 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 E P ,比较 E P 和 E0? , 即可证明空腔内电场是均匀的。采用矢量表述,可使证明简单明确。 解: 由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O? 点的电场强度

分析: 把挖去空腔的带电球看作由带电大球 ?R, ? ? 与带异号电的小球 ?R?,? ? ? 构成。

O
R

O? R?

E大球 ,

图 1-1-1(a)
a
O?

E

大球 , o ?

kQa 4 ? ? ?k?a R 3 ,方向为 O 指向 O? 。
3

O

同理,均匀带异号电荷的小球 电场强度 E 所以
大 球, o ?

?R?,? ? ? 在球心 O? 点的

B
r
P

?0
大球, o ?

Eo? ? E

?E

小球

4 o? ? ?k?a 3 ,

图 1-1-1 ( b )
? (b)

如图 1-1-1 (b) 所示, 在小球内任取一点 P, 设从 O 点到 O? 点的矢量为 a ,O?P 为 b , OP 为 r 。则 P 点的电场强度 E P 为

?

?

? ? ? EP ? E大球 , p ? E小球p

?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ? ? 4 4 ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 3 ? ? 可见: EP ? E0
因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的。 【物理情形 2】有一个均匀的带电球体,球心在 O 点,半径为 R ,电荷体密度为 ρ , 球体内有一个球形空腔,空腔球心在 O′点,半径为 R′, OO? = a ,如图 7-7 所示,试求 空腔中各点的场强。 【模型分析】这里涉及两个知识的应用:一是均匀带电球体的场强定式(它也是来自叠 加原理,这里具体用到的是球体内部的结论,即“剥皮法 则”,二是填补法。 ) 将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电(电荷 体密度相等) 的小球的集合, 对于空腔中任意一点 P , OP 设 ?P = r2 ,则大球激发的场强为 = r1 , O

《静电场》9,59

4 ? ?r13 E1 = k 3 2 r1

=

4 kρ π r1 ,方向由 O 指向 P 3

“小球”激发的场强为
4 ? ?r23 E2 = k 3 2 r2

=

4 kρ π r2 ,方向由 P 指向 O′ 3

E1 和 E2 的矢量合成遵从平行四边形法则,Σ E 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1Σ E 和 空间位置三角形 OP O′是相似的,Σ E 的大小和方向就不难确定了。 【答案】恒为 kρ π a ,方向均沿 O → O′,空腔里的电场是匀强电场。 〖学员思考〗如果在模型 2 中的 OO′连线上 O′一侧距离 O 为 b(b>R)的地方放一个 电量为 q 的点电荷,它受到的电场力将为多大? 〖解说〗上面解法的按部就班应用… 〖答〗 πkρq?
4 3

4 3

R3 R?3 ? ? 。 2 b (b ? a ) 2

电通量、高斯定理、 (1) 磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数, 其大小为 ? ? BS sin ? , 其中 ? 为截面与磁感线的夹角。与此相似,电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为

? ? ES sin ? , ? 为截面与电场线的夹角。
高斯定量:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为

? ? 4?k ? qi

k?


1 4?? 0 )

? 0 ? 8.85 ? 10?12 C 2 / Nm 为真空介电常数

qi 为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少 式中 k 是静电常量, 高等数学知识,因此选取的高斯面即闭合曲面,往往和电场线垂直或平行,这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求,但笔者认为简单了解高斯定律的内容,并 利用高斯定律推导几种特殊电场,这对掌握几种特 殊电场的分布是很有帮助的。 ? ? (2)利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ? ①无限长均匀带电直线的电场 ? ? r P ? r P 一无限长直线均匀带电,电荷线密度为 ? ,如 l 图 1-1-2(a)所示。考察点 P 到直线的距离为 r。由 ? ? 于带电直线无限长且均匀带电,因此直线周围的电 ? ? 场在竖直方向分量为零,即径向分布,且关于直线 ? 对称。取以长直线为主轴,半径为 r,长为 l 的圆柱 ? 面为高斯面, 如图 1-1-2(b) ,上下表面与电场平行, 侧面与电场垂直,因此电通量

?

? ? E ? 2?r ? l ? 4?k ?qi ? 4?kl ??
E? 2 k? r

图 1-1-2(a) 图 1-1-2(b)

②无限大均匀带电平面的电场 根据无限大均匀带电平面的对称性, 可以判定整个带电平面上的电荷产生的电场的场 强与带电平面垂直并指向两侧,在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱形高斯

《静电场》10,59

面,使其侧面与带电平面垂直,两底分别与带电平面平行,并位于离带电平面等距离的两 侧如图 1-1-3 由高斯定律:

? ? 2E ? S ? 4?k ? qi ? 4?k ? ?S
E ? 2?k?

? ?

式中 ? 为电荷的面密度,由公式可知,无限大均 匀带电平面两侧是匀强电场。 平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板 构成,其间场强为 E ? ,则由场强叠加原理可知

Q S

E

E ? ? 4?k?
③均匀带电球壳的场强 图 1-1-3 有一半径为 R,电量为 Q 的均匀带电球壳,如图 1-1-4。由于电荷分布的对称性,故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性,因此可 在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面 1 而言:

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 0, E ? 0 ;
? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?
? o ? E ? ? kQ ? r2 ?
r?R r?R

2 1

对高斯面 2:

kQ r 。

图 1-1-4

④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上,如图 1-1-4, 对高斯面 1,

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?k
对高斯面 2,

r3 kQr Q, E ? 3 3 R R ;
E

E?

?

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?

kQ r2 。

E?

? kQr ? E?? R kQ ? ? r
3 2

r
?
l/2 l/2 q

r?R r?R

?q

图 1-1-5

例 2、如图所示,在-d≤x≤d 的空间区域内(y,z 方向无限延伸)均 匀分布着密度为ρ 的正电荷,此外均为真空 (1)试求 x ≤d 处的场强分布; (2)若将一质量为 m,电量为 ? ? 的带点质点,从 x=d 处由静止释放,试问该带电 质点经过过多长时间第一次到达 x=0 处。 解: 根据给定区域电荷分布均匀且对称, y、 在 P z 方向无限伸展的特点, 我们想象存在这样一个圆柱 E O 体,底面积为 S,高为 2x,左、右底面在 x 轴上的 S d 坐标分别是-x 和 x,如图 1-1-8 所示。可以判断圆柱 ? d
2x

x

图 1-1-8

《静电场》11,59

体左、右底面处的场强必定相等,且方向分别是逆 x 轴方向和顺 x 轴方向。再根据高斯定 理,便可求出坐标为 x 处的电场强度。 (1)根据高斯定律 E ? 2S ? 4?k ? ? ? S ? 2 x 。坐标为 x 处的场强:

E ? 4?k?x ( x ≤d) ,x>0 时,场强与 x 轴同向,x<0 时,场强与 x 轴反向。 (2)若将一质量为 m、电量为 ? q 的带电质点置于此电场中,质点所受的电场力为:

F ? ?qE ? ?4?k?qx ( x ≤d)
显然质点所受的电场力总是与位移 x 成正比,且与位移方向相反,符合准弹性力的特 点。质点在电场力的运动是简谐振动,振动的周期为

T ? 2?

m ?m ? 4?k?q k?q t? T T ?m ? 4 4 k?q

当质点从 x=d 处静止释放,第一次达到 x=0 处所用的时间为

电场线
(1)电场线:为了形象描述电场,我们引入电场线,假设存在一条条有方向的曲 线, 曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度的方向, 疏密程度反映电场强度的大小。 (2)电场线的基本性质 ①电场线上每点的切线方向就是该点电场强度的方向. ②电场线的疏密反映电场强度的大小(疏弱密强). 常见电场的电场线 电场 正点电荷 电场线图样 简要描述 发散状

负点电荷

会聚状

等量同号电荷

相斥状

等量异号电荷

相吸状

匀强电场

平行的、等间距的、同向的直线

③静电场中电场线始于正电荷或无穷远,止于负电荷或无穷远.它不封闭,也不在无电 荷处中断. ④任意两条电场线不会在无电荷处相交(包括相切) 5、匀强电场 (1)定义:电场中各点场强的大小相等、方向相同的电场就叫匀强

《静电场》12,59

电场. (2)匀强电场的电场线:是一组疏密程度相同(等间距)的平行直线.例如,两等大、正对 且带等量异种电荷的平行金属板间的电场中,除边缘附近外,就是匀强电场.如图 14.3-1. 【练习】用电场线重做上面例题 2

例 2 如图,等量异种电荷 a、b 固定在真空中,把一个电子从接近于 b 的 c 点由静止
释放后,它沿直线运动到接近于 a 的 d 点, 不计电子的重力, 则电子从 c 到 d 的过程中( A.做匀加速直线运动 B.它的加速度先减小后增大 C.它的加速度先增大后减小 D.它的加速度始终增大 ).

电势能、电势(2 课时)
(一)复习前面相关知识 1.静电力、电场强度概念,指出前面我们从力的性质研究电场,从本节起将从能量的 角度研究电场。 2.复习功和能量的关系。 从静电力做功使试探电荷获得动能入手, 提出问题: 是什么能转化为试探电荷的动能? 引入新课。 (二)进行新课 地势,姿势,局势,时势-》位置(姿态)有关 权势,趋势,势如破竹 -》是一种潜在的力量、能力、本领 优势,劣势 -》相对的,比较而言的 一、重力场 向下运动的趋势, 不平等 A 相对 B 有一种优势

WAB ? mghA ? mghB ? m( ghA ? ghB )
其中 ( ghA ? ghB ) 称为地势差,不是 (hA ? hB ) 是高度差。 因为如果没有 g, (hA ? hB ) 只是一个几何量,没有地势的概念 重力功=质量×重力场中两点间的地势差 二、电场 不平等-》势。在电场中,称为电势。

正电荷+q 放在 A 点,在电场力作用下会运动到 B 点,电势在降低。沿着电场线电势降低 问题:q 从 A 到 B,电场力做功与什么有关?

《静电场》13,59

猜想: (1)电荷量 q. W 正比 q (2)与 AB 间位置有关 类似得:电场力做功

WAB =电荷量×电场中两点的电势差( U AB )
得: WAB ? qU AB 1.电势差 U AB ?

WAB q

国际单位:伏特,简称伏,符号 v 例题:电荷 q=2×10 (1) U AB =? (2)用 q’= 4×10
-11 -11

C,从 A 到 B, WAB =6×10

-11

J

C 去测量, U AB =?

结论:U 与测量电荷 q 无关系,只与电场本身有关系。 注意:关于电功 W 的计算常有两种: ①带符号:其中电势差,电量都带符号,计算结果当然也就有符号了(正负功) ②不带符号:先只计算绝对值,然后再判断是正功还是负功 第二种方法常用。 1、 电势 规定参考点 O 的电势为零,任意 A 点电势φ A=UAO - 例如上题中,电荷 q=2×10 11C 从 A 到 B

WAB =6×10-11J, WBC ? 4×10-11J, WCD ? 3×10-11J
UAB=3 伏,UBC=2 伏,UCD=1.5 伏, 如果规定φ D=0 φ A=6.5v,φ B=3.5v,φ C=1.5v, φ D=0 如果规定φ B=0 φ A=3v,φ B=0,φ C=-2v, φ D=-3.5v 一般的,选地面或无穷远处电势为零。 结论: 两点电势差与电势参考点的选择无关。 某点的电势差就是该点到电势参考点的电势差。 引入电势的原因: 电势差只知道两点电势情况, 而引入电势后, 所有点的电势情况就知道了。 3.电势能 由功能关系重力做功等于重力势能的变化,WG ? mghA ? mghB , 规定 E p =mgh 为重力势能 类似电场力做功等于电势能的变化, W ? U AB q ? ?Aq ? ?B q ,规定 ? = ? q 为电势能 电 与其它能量一样,电势能也是标量,但有正负之分,处理同上。 4.等势面

《静电场》14,59

⑴.定义:电场中电势相等的点构成的面 ⑵.等势面的性质: ①.在同一等势面上各点电势相等,所以在同一等势面上移动电荷,电场力不做功 ②.电场线跟等势面一定垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。 ③.等势面越密,电场强度越大 ④.等势面不相交,不相切 ⑶.等势面的用途:由等势面描绘电场线。 ⑷.几种电场的电场线及等势面 注意:①等量同种电荷连线和中线上 连线上:中点电势最小 中线上:由中点到无穷远电势逐渐减小,无穷远电势为零。 ②等量异种电荷连线上和中线上 连线上:由正电荷到负电荷电势逐渐减小。 中线上:各点电势相等且都等于零。 例 2 某静电场沿 x 方向的电势分布如图所示,则 ( ) A.在 0-x1 之间不存在沿 x 方向的电场 U U0 B.在 0-x1 之间存在着沿 x 方向的匀强电场 C.在 0-x2 之间存在着沿 x 方向的匀强电场 D.在 x1-x2 之间存在着沿 x 方向的非匀强电场
0 x1 x2 x

【例题 1】 (杭州高中)如图所示,虚线 a、b、c 是电场中的三 个等势面,相邻等势面间的电势差相同,实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下,通过 该区域的运动轨迹。P、Q 是轨迹上的两点,下列说法中正确的 是( ) A.三年等势面中,等势面 a 的电势最高 B.带电质点一定是从 P 点向 Q 点运动 C.带电质点通过 P 点时的加速度比通过 Q 点时小 D.带电质点通过 P 点时的动能比通过 Q 点时小

【例题 2】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种 装置, 其中某部分静电场的分布如下图所示。 虚线表示这个静 电场在 xoy 平面内的一簇等势线,等势线形状相对于 ox 轴、 oy 轴对称。等势线的电势沿 x 轴正向增加,且相邻两等势线 的电势差相等。一个电子经过 P 点(其横坐标为-x0)时,速 度与 ox 轴平行。适当控制实验条件,使该电子通过电场区域 时仅在 ox 轴上方运动。在通过电场区域过程中,该电子沿 y 方向的分速度 vy 随位置坐标 x 变化的示意图是

《静电场》15,59

【例题 1】如图所示,水平固定的小圆盘 A 带电量为 Q,电势为零,从盘心处 O 释放一质 量为 m 的带电量为+q 的小球, 由于电场力的作用,小球竖直上升的高 度可达盘中心竖直线上的 C 点,OC=h1.又知道过竖直线上 B 点时小球 速度最大,由此可确定 Q 所形成的电场中下述的物理量 ①B 点的场强 ②C 点的场强? ③B 点的电势 ④C 点的电势? A.①③ B.②④? C.①④ D.②③? 例 3(东北师大附中 2005)如图所示:在长为 L、倾角为θ 的光滑绝 图 9—2—14 缘斜面上有个带电量为+q、质量为 m 的小球,以初速度 v0 从斜面底端 A 点开始沿斜面上滑,达到斜面顶端 B 点时速度仍为 v0,已知空间有电场,则( ) A.A、B 两点的电势差一定等于 m gLsin ? q B.小球在 B 点电势能一定大于在 A 点的电势能 C.如果电场是匀强电场,则其场强最大值一定是

mg q

D.如果该电场由斜面中点正止方某处的点电荷产生,则该点电荷必为负电荷 【例题 2】如图所示,a、b、c 为某电场中的 3 个等势面,相邻两个 等势面的电势差相等,其中等势面 b 的电势为 0.一电子在该电场中 运动经等势面 c 时动能为 20 J,到达等势面 a 时动能为 0.当电子运 动到动能为 15 J 时,若不计重力,它的电势能为___-5___J.?

【例题 3】如图所示,在水平方向的匀强电场中,有一带电体 P 自 O 点竖直向上射出,它 的初动能为 4 J,当它上升到最高点 M 时,它的动能为 5 J,则物体折回通过与 O 在同一水 平线上的 O′点时,其动能为多大?? 24 J

《静电场》16,59

图 9—3—7 例 2 一条长为 L 的细线上端固定在 O 点,下端系一个质量为 m 的小球,将它置于一 个很大的匀强电场中,电场强度为 E,方向水平向右,已知小球在 B 点时平衡,细线与竖直 线的夹角为α ,如图 10.7-2 所示,求: (1)当悬线与竖直方向的夹角为多大时,才能使小球由静止释放后,细线到竖直位置 时,小球速度恰好为零。 (2)当细线与竖直方向成α 角时,至少要给小球一个多大速度,才能使小球做圆周运 动?
O

α
B

O E φ C F

α
A

F F

图 10.7-2

图 10.7-3 解析: (1)小球静止在平衡位置时,受重力 mg、电场力 F1=qE 和线拉力作用而平衡, 由合力为零得到电场力 qE=mgtanα ① 设小球从悬线与竖直方向成?角时静止释放,运动到最低点 A 时速度恰好为零。此过程 中小球的重力势能减小了 mgl(1-cos?),电势能增加了 qElsin?,由能量守恒定律有 mgl(1-cos?)=qElsin? ?② 1 ? cos? ? tg? 由①②式得到 sin? 即
tg

?
2

? tg?

?=2α
还可以从另一捷径解决这个问题,小球在运动过程中,受到的重力是恒力,受到的电场 力也是恒力,这两个力的合力也是恒力。合力的大小 F 合=mg/cosα ,方向始终与竖直方向成 α 角,如图 10.7-3。可以把这个合力看作是“等效重力”G'=mg',等效重力加速度 g'=g/cos α 。小球在等效重力场中摆动,B 点是平衡位置,两最大位置 A、C 是对称的,所以有?=2 α 。 (2)要使小球做完整的圆周运动,在任何位置线的拉力都必须大于等于零。先设小球 在 B 点时速度为 v0,求出小球在悬线与竖直方向成θ 角时悬线的拉力 F2(如图 10.7-4) 。由 能量守恒定律得(以悬挂点 O 为重力势能和电势能的零点) 。

《静电场》17,59

1 1 2 mv0 ? mgl c o ? ? qEl s i n ? mv 2 ? m g c o ? ? q E s i n s ? l s l ? 2 2
由牛顿第二定律得 由①、③、④解得
F2 ? mg cos? ? F sin? ? mv 2 l

③ ④

F2 ?

mv0 2mg 3mg c o s ( ? ? ) ? ? ? l co? s co? s
2



由⑤式知道,当θ -α =π ,θ =π +α 时,F2 最小,最小值

F2 n

mv0 5mg ? ? l co? s
F2n≥0

2

⑥ ⑦

要使小球作圆周运动,必须 由⑥、⑦得

v0 ? 5gl / c o ? s
D vD O α B v0 B θ O v0 等效重力场

图 10.7-4

图 10.7-5

也可以从 “等效重力” 角度去求解, 如图 10.7-5 所示, 在等效重力场中, 是 B “最低点” , D 是“最高点” 。由能量守恒
1 1 mv0 2 ? mg'?2l ? mv0 2 2 2


mg' ? mv0 2 l

在 D 点,由牛顿第二定律 由⑧、⑨式解得



v0 ? 5g ' l ? 5gl / cos ?

电势
1、电势:把一电荷从 P 点移到参考点 P0 时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值, 即U=
W q

参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。 和场强一样,电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。 电场力与重力一样, 都是保守力, 即电场力做功与具体路径无关, 只取决于始末位置。 我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值, 定义为这两点间的 电势差,即

《静电场》18,59

U AB ?

WAB q

这就是说,在静电场内任意两点 A 和 B 间的电势差,在数值等于一个单位正电荷从 A 沿任一路径移到 B 的过程中,电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由 电场本身性质决定,与被移动电荷的电量无关;即使不移动电荷,这两点间的电势差依然 存在。 如果我们在电场中选定一个参考位置,规定它为零电势点,则电场中的某点跟参考位 置间的电势差就叫做该点的电势。 通常我们取大地或无穷远处为零电势点。 电势是标准量, 其正负代表电势的高低,单位是伏特(V) 。 电势是反映电场能的性质的物理量,电场中任意一点 A 的电势,在数值上等于一个单 位正电荷 A 点处所具有的电势能,因此电量为 q 的电荷放在电场中电势为 U 的某点所具 有的电势能表示为 ? ? qU 。 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,U = k
Q r

如图 1-2-1 所示,场源电荷电量为 Q,在离 Q 为 r 的 P 点处有一带电量为 q 的检验电 P P1 P 荷,现将该检验电荷由 P 点移至无穷远处(取无穷远处为零 Q 2 r 电势) ,由于此过程中,所受电场力为变力,故将 q 移动的整 r r2
1

个过程理解为由 P 移至很近的 P1 (离 Q 距离为 r1 )点,再由

P1 移至很近的 P2 (离 Q 距离为 r2 )点??直至无穷远处。
W ?k
?

图 1-2-1

在每一段很小的过程中,电场力可视作恒力,因此这一过程中,电场力做功可表示为:

Qq ?r1 ? r ? ? k Qq ?r2 ? r1 ? ? k Qq ?r3 ? r2 ? ? 2 r r12 r22 ??

kQq ?r1 ? r ? ? kQq ?r2 ? r1 ? ? kQq ?r3 ? r2 ? ? rr1 r1r2 r2 r3 ??

?

kQq kQq kQq kQq kQq kQq ? ? ? ? ? ? r r1 r1 r2 r2 r3 ??
Qq r
U ?k Q r

?k

所以点电荷周围任一点的电势可表示为: 式中 Q 为场源电荷的电量,r 为该点到场源电荷的距离。 b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,U 外 = k
Q ,U r


=k

Q R

由于实心导体球处于静电平衡时,其净电荷只分布在导体球的外表面,因此其内部及 周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点 电荷周围电场的分布完全相同,因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势 为。

U ?k

r>R 式中 Q 为均匀带电球壳的电量,R 为球壳的半径,r 为该点到球壳球心的距离。

Q r

《静电场》19,59

在球壳上任取一个微元,设其电量为 ?q ,该微元在球心 O 处产生的电势

Ui ?

k?q R 。

由电势叠加原理,可知 O 点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和,

U ? ?U i ? ?

k?q k ? ? ?q R R 。

U?

kQ R

kQ 因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体,因而它们内部及表面的电势均为 R 。

? kQ ? U ?? r kQ ? ?R

(r ? R) (r ? R)

3、电势的叠加 由于电势的是标量,所以电势的叠加服从代数加法。很显然,有了点电荷电势的表达式 和叠加原理,我们可以求出任何电场的电势分布。 电势和场强一样,也可以叠加。因为电势是标量,因此在点电荷组形成的电场中,任 一点的电势等于每个电荷单独存在时, 在该点产生的电势的代数和, 这就是电势叠加原理。 【物理情形 1】如图 7-8 所示,半径为 R 的圆环均匀带电,电荷线密度为λ ,圆心在 O 点,过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远为参考点, 试求 P 点的电势 UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一 个元段Δ L ,它在 P 点形成的电势 ΔU = k 环共有
??L R2 ? r2

2?R 段,各段在 P 点形成的电势相同,而且它们是标量叠加。 ?L

【答案】UP =

2?k?R R2 ? r2

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量 Q ,则 UP 的结论为多少?如果这个总电量的 分布不是均匀的,结论会改变吗? 〖答〗UP =
kQ R2 ? r2

;结论不会改变。

〖再思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳,总电量仍为 Q ,试问: (1)当电量均匀分布时, 球心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电 势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少? 〖解说〗 (1)球心电势的求解从略; 球内任一点的求解参看图 7-5 Δ U1 = k
r ?? ? r12 ??S1 ? = k · = kζ Δ Ω 1 cos ? cos? r1 r1
r2 cos ?

Δ U2 = kζ Δ Ω

《静电场》20,59

它们代数叠加成 Δ U = Δ U1 + Δ U2 = kζ Δ Ω

r1 ? r2 cos ?

而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 Δ U = 2Rkζ Δ Ω 所有面元形成电势的叠加 Σ U = 2Rkζ Σ Δ Ω 注意:一个完整球面的Σ Δ Ω = 4π (单位:球面度 sr) ,但作为对顶的 锥角,Σ Δ Ω 只能是 2π ,所以—— Σ U = 4π Rkζ = k
Q R

(2)球心电势的求解和〖思考〗相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗 (1)球心、球内任一点的电势均为 k
Q R

; (2)球心电势仍为 k

Q R

,但其它各点

的电势将随电量的分布情况的不同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面) 。

例 4、半径为 R 的半球形薄壳,其表面均匀分布面电荷密度为 ? 的电荷,求该球开口 处圆面上任一点的电势。 解: 设想填补面电荷密度亦为 ? ? 的另半个球面如图 1-2-3 所示, E下 则球内任一点的场强均为 0, 对原半球面开口处圆面上的任一点 P 而言, 也有 EP ? 0 ,而 E P 是上、下两个半球在 P 点产生场强 E上 、 E下 的合 成。另据对称性易知, E上 、 E下 的大小必定相等, 而 E上 、E下 的合场强为零, 说明 E上 、E下 均垂直于半球开口平面, 故在半球面带均匀电荷的情况下,它的开口圆面应为等势点,即圆面上 任一点的电势都等于开口圆面圆心点处的电势。故
O
P

E上

图 1-2-3

U P ? U0 ? k ?

Q ? ? 2?R 2 ?k? ? 2?k?R R R

说明 虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量, 它们之间没有必然的 对应关系,但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直,利用这个关系可为 求取场强或电势提供一条有用的解题路径。 【相关应用】如图 7-9 所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别 为 R1 和 R2 ,带有净电量+q ,现在其内部距球心为 r 的地方放一个 电量为+Q 的点电荷,试求球心处的电势。 【解析】由于静电感应,球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试,内壁的电荷量为-Q ,外壁的电荷量为 +Q+q ,虽然内壁的带电是不均匀的,根据上面的结论,其在球心形 成的电势仍可以应用定式,所以? 【答案】Uo = k
Q Q Q?q - k +k 。 r R1 R2

例 3、如图 1-2-2 所示,两个同心导体球,内球半径为 R1 ,外球是个球壳,内半径为

R2 ,外半径 R3 。在下列各种情况下求内外球壳的电势,以及壳
内空腔和壳外空间的电势分布规律。 (1)内球带 ? q ,外球壳带 ? Q 。
R3
R1
R2

图 1-2-2

《静电场》21,59

(2)内球带 ? q ,外球壳不带电。 (3)内球带 ? q ,外球壳不带电且接地。 (4)内球通过外壳小孔接地,外球壳带 ? Q 。 解: 如图 1-2-2 所示,根据叠原理:

(1) R1 处有均匀的 ? q , R2 必有均匀的 ? q , R3 处当然有 ? ?Q ? q ?电荷,因此:

U1 ? k
内球 外球 电势差 腔内 壳外

q q + ?Q ? q ? ?k k R1 R2 R3

U2 ? k

?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k

U内 ? k

?Q ? q ? q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 ) ?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q U外 ? k ? k ? k r r R3 R3 (r> R3 )
q q q ?k ?k R1 R2 R3 q q q q ?k ?k ?k R2 R2 R3 R3

(2) R1 处有 ? q , R2 处有 ? q , R3 处有 ? q ,因此: 内球 外球 电势差 腔内 壳外

U1 ? k U2 ? k

U12 ? U1 ? U 2 ? k
U内 ? k
U外

q q ?k R1 R2

q q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 ) q q q q ? k ?k ?k ? k r r r r (r> R3 )

(3) R1 处有 ? q , R2 处有 ? q ,外球壳接地,外球壳 U 2 ? 0 , R3 处无电荷。 内球 电势差 腔内 壳外

U1 ? k

q q ?k R1 R2
q q ?k R1 R2

U12 ? U1 ? U 2 ? k U内 ? k
U外

q q ?k r R2 ( R1 <r< R2 ) q q ? k ?k ?0 r r (r> R3 )

《静电场》22,59

? ?Q ? q ?
(4)内球接地电势为零,内球带 ? q? , R2 处有 ? q? , R3 处有 ,先求 q? ,

?k
因为 解得 内球 外球

q? q? Q ? q?? ?k ?k ? ?0 R1 R2 R3

q? ? QR1R2 /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ?

U1 ? 0
U 2 ? ?k

?Q ? q?? q? q? ?k ?k R2 R2 R3
q? q ? ?Q ? q ?? ?k +k r R2 R3

? kQ?R2 ? R1 ? /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? U 21
U ? ?k


腔内

?

kQR2 ? R1 ? ?1 ? ? ?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? r ? ( R1 <r< R2 )
U 外 ? ?k

壳外

?Q ? q?? ? kQR3 ?R2 ? R1 ? q? q? ?k ?k ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?r r r R3

〖反馈练习〗如图 7-10 所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别为 RA 和 RB , 现让 A 壳接地,而在 B 壳的外部距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求: (1)A 球壳的感应电荷量; (2)外球壳的电势。 〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形,B 壳将形成图 示的感应电荷分布(但没有净电量) 壳的情形未画出(有净 ,A 电量) ,它们的感应电荷分布都是不均匀的。 此外,我们还要用到一个重要的常识:接地导体(A 壳)的 电势为零。但值得注意的是,这里的“为零”是一个合效果, ... 它是点电荷 q 、A 壳、B 壳(带同样电荷时)单独存在时在 A 中 ..... 形成的的电势的代数和,所以,当我们以球心 O 点为对象,有 UO = k
q d

+ k

QA RA

+ k

QB RB

= 0

QB 应指 B 球壳上的净电荷量,故 QB = 0 所以 QA = -
RA q d

☆学员讨论:A 壳的各处电势均为零,我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列? (答:不能,非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式! ) 基于刚才的讨论,求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势(独立的 B 壳是等势体,球心 电势即为所求)—— UB = k
q d

+ k

QA RB
RA q R q ; (2)UB = k (1- A ) 。 d d RB

〖答〗 (1)QA = -

《静电场》23,59

【物理情形 2】图 7-11 中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒,每根棒上的电 荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 Δabc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且已测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。试问:若将 ab 棒取走,A、B 两点的电势 将变为多少? 【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根 细棒也没有构成环形,故前面的定式不能直接应用。若用 元段分割→叠加,也具有相当的困难。所以这里介绍另一 种求电势的方法。 每根细棒的电荷分布虽然复杂,但相对各自的中点必 然是对称的,而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相 同。这就意味着:①三棒对 A 点的电势贡献都相同(可设 为 U1) ;②ab 棒、ac 棒对 B 点的电势贡献相同(可设为 U2) ;③bc 棒对 A、B 两点的贡献相同(为 U1) 。 所以,取走 ab 前 3U1 = UA 2U2 + U1 = UB 取走 ab 后,因三棒是绝缘体,电荷分布不变,故电势贡献不变,所以 UA′= 2U1 UB′= U1 + U2 【答案】UA′=
2 1 1 UA ;UB′= UA + UB 。 3 6 2

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成,各导体板带电且电势分别为 U1 、U2 、U3 和 U4 ,则盒子中心点 O 的电势 U 等于多少? 〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性,但电量各不相同,因此对 O 点 的电势贡献也不相同,所以应该想一点办法—— 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观:先将每一块导体板复制三块,作成一 个正四面体盒子, 然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。 在这 个新盒子中,每个壁的电量将是完全相同的(为原来四块板的电量之和) 、电势也完全相同 (为 U1 + U2 + U3 + U4) ,新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体,故 新盒子的中心电势为 U′= U1 + U2 + U3 + U4 最后回到原来的单层盒子,中心电势必为 U = 〖答〗U =
1 (U1 + U2 + U3 + U4) 。 4 1 U′ 4

☆学员讨论:刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”?(答:不行,因为三角 形各边上电势虽然相等,但中点的电势和边上的并不相等。 ) 〖反馈练习〗电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线,如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电 势为 UP ,试求 Q 点的电势 UQ 。 〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成 完整球面,并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电 荷,如图 7-12 所示。 从电量的角度看,右半球面可以看作不存在,故这 时 P、Q 的电势不会有任何改变。

《静电场》24,59

而换一个角度看,P、Q 的电势可以看成是两者的叠加:①带电量为 2q 的完整球面;② 带电量为-q 的半球面。 考查 P 点,UP = k
2q + U 半球面 R

其中 U 半球面显然和为填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反,即 U 半球面= -UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k
2q - UP 。 R
?

【物理情形 3】如图 7-13 所示,A、B 两点相距 2L ,圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半 径的半圆。A 处放有电量为 q 的电荷,B 处放有电量为-q 的点电荷。试问: (1)将单位正 ? 电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点,电场力对它做了多少功?(2)将单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处去,电场力对它做多少功? 【模型分析】电势叠加和关系 WAB = q(UA - UB)= qUAB 的基本应用。 UO = k UD = k
q L

+k

?q =0 L

q ?q 2 kq +k = - 3L L 3L

U∞ = 0 再用功与电势的关系即可。 【答案】 (1)
2 kq 2 kq ; (2) 。 3L 3L

4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA - UB)= qUAB 【相关应用】在不计重力空间,有 A、B 两个带电小球,电量分别为 q1 和 q2 ,质量分 别为 m1 和 m2 ,被固定在相距 L 的两点。试问: (1)若解除 A 球的固定,它能获得的最大 动能是多少?(2)若同时解除两球的固定,它们各自的获得的最大动能是多少?(3)未解 除固定时,这个系统的静电势能是多少? 【解说】第(1)问甚间;第(2)问在能量方面类比反冲装置的能量计算,另启用动量 守恒关系;第(3)问是在前两问基础上得出的必然结论?(这里就回到了一个基本的观念 斧正: 势能是属于场和场中物体的系统, 而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视 的。在两个点电荷的环境中,我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。 ) 【答】 (1)k
q1q 2 qq m2 ; (2)Ek1 = k 1 2 r r m1 ? m 2

,Ek2 =

qq qq m1 k 1 2 ; (3)k 1 2 r r m1 ? m 2



〖思考〗设三个点电荷的电量分别为 q1 、q2 和 q3 ,两两相距为 r12 、r23 和 r31 ,则这 个点电荷系统的静电势能是多少? 〖解〗略。 〖答〗k( + + ) 。 〖反馈应用〗如图 7-14 所示,三个带同种电荷的相同金属小球,每个球的质量均为 m 、 电量均为 q ,用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着,系统放在光滑、 绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断,三个球将开始运动起 来,试求中间这个小球的最大速度。
q1q 2 r12 q 2q 3 r23 q 3q1 r31

《静电场》25,59

〖解〗设剪断的是 1、3 之间的绳子,动力学分析易知,2 球获得最大动能时,1、2 之 间的绳子与 2、3 之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知,三球不可能有沿 绳子方向的速度。设 2 球的速度为 v ,1 球和 3 球的速度为 v′,则 动量关系 mv + 2m v′= 0
q2 能量关系 3k L q2 = 2 kL
1 1 q2 2L + 2 mv2 + 2 2m v?2 + k

解以上两式即可的 v 值。 〖答〗v = q
2k 。带电球体、球壳的电场与电势分布专题训练 3mL

二、专题训练 1.半径为 R 的金属球与地相联接,在与球心相距 d=2R 处有一点电荷 q (q>0) ,求球上的感应电荷 Q。 2.如图,球形金属腔带电量为 Q>0,内半径为 a,外半径为 b,腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q。求球心 o 的电位。 3.有两个极薄的同心导体球壳,内壳半径为 a,外壳半径为 b,在 球壳外距球心为 d(d>b)处放一点电荷+q,现使内壳接地,求两球壳 的电势差。 4.如图,半径为 R1 的导体球带电量为 q,在外面同心罩一金属球 壳,其内外壁的半径分别为 R2 和 R3。今距球心为 d(d>R3)处放一电 量为 Q 的点电荷,并将导体球壳接地,试问: (1)球壳带的总电量。 (2)如果用导线将壳内导体球与壳相连,球壳带电量时多少? 5.有一个均匀带电球体,球心为 O,半径为 R,电荷体密度为ρ 。球体内 有一个球形空腔,球心为 C,半径为 r 如图,OC 距离为 a, (1)球 C 处的场强。 (2)求证空腔内处处场强相同。 6.有些仪器,如静电加速器,其高压电极外边都有一接地的金属罩,罩内充 有一定压强的气体。假定电极是一金属球,接地金属罩是一同心金属薄壳。仪器 工作时要求电极与金属罩之间的电势差为 U。 ,选择适当的电极半径 R1 和球壳半 径 R2,有可能使靠近电极表面处的场强低于气体的击穿场强,从而使气体不被击 穿。 (1)若 R1 已给定,则在理想情况下,R2 取何值电极处的场强有最小值?(2)在实际 情况中, 往往是适当选择 R1/R2 之值使电极处的场强为上述最小值的若干倍, 求当电极处的 场强为上述最小值的 4 倍时,R1/R2 应选的值。 7、一个半径 R 为 20 厘米的薄金属空心球内放置一个半径 r 为 10 厘米的 金属球,两球同心放置,内球用一根长导线通过外球的细孔接地。若外球带电 -9 Q 为 10 库仑,求外球的电势(整个装置如图所示) 8.半径分别为 R1 和 R2 的两个导体球 A、B 相距很远(可视为孤立的) ,A 原来带电 Q,B 不带电。现用一根细长导线将两球连接,静电平衡后忽略导线中所带电荷,

《静电场》26,59

试问 A、B 各带多少电荷? 9. 一电荷 Q1 均匀分布在一半球面上,无数个点电荷、电量均为 Q2 位于通过球心的轴线 K-1 上,且在半球面的下部。第 k 个电荷与球心的距离为 2 R,而 k=1,2,3,4??,设球心 处的电势为零,周围空间均为自由空间。若 Q1 已知求 Q2。 1.半径为 R 的圆环上均匀带电,总带电量 Q>0,试求与环平面垂直 且通过圆心的中央轴线上的场强分布。

2.等边三角形 ABC 的边长为 a,在它的顶点 B 和 C 上个有电量为 Q>0 的点电荷。试求 三角形中心 O 处场强 E 的大小和方向。

4. 如图,在半径为 R 的大球中,挖去半径为 R/2 的小球,小球与 大球内且,大球余下的部分均匀带电,总电量为 Q。试求距大球心 O 点 r(r>R)P 点的场强。

5.一无限长均匀带电直导线弯成如图形状的平面图形,其中弧 AB 是半圆,Aa 和 Bb 是两平行直线,a 和 b 向右端无限延伸。试求圆心 O 处的电场强度。

6.有一半径为 R 的不导电的半球薄壳 , 均匀带电 , 倒扣在χ Ο y 平面上 , 如图 3 所示图中Ο 为球心 ,ABCD 为球壳边缘 ,AOC 为直径 . 有一电量为 q 的 点电荷位于 OC 上的 E 点 ,OE=r. 已知将此点电荷由 E 点缓慢移至球 壳顶点 T 时 , 外力需要作功 W,W>0, 不计重力影响 .(1) 试求将次点 电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力需做功的正负大小 , 并说明理由 .(2) P 为球心正下方的一点 ,OP=R. 试求将次点电荷由 E 点缓慢移至 P 点 外力需做功的正负及大小,并说明理由

7.如图,两个同心半球面相对放置,半径分别为 R1 与 R2(R1>R2) ,都均 匀带电,电荷密度分别为ζ 1 与ζ 2。试求大的半球底面圆直径 AOB 上的电势分 布。

8.电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过 半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图;P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧、离 O 点相距相等的两点。已知 P 点的电势为 UP,求 Q 点的电势。

A

C

P

Q
D B

9.半径为 R 的细圆环上分布有不能移动的正点电荷,总电量为 Q。要使在
A

O

B

《静电场》27,59

该圆环的直径 AOB 上场强处处为 0,圆环上的电荷线密度应如何分部?

10.三根等长的绝缘细棒首尾向结构成如图的三角形,其中电荷的分布 如同绝缘棒都换成等长的金属棒且已达到静电平衡时的电荷分布, A 是Δ 点 abc 的中心, 点和 A 点相对 bc 边对称, B 已测得 A、 两点的电势分别为 UA、 B UB。现将绝缘棒 ab 取走,设这不影响 ac、bc 棒的电荷分布,试求此时 A、 B 两点的电势各是多少?

c B

A a

b

11.圆形导体薄板的半径为 R,其中轴线上与圆板中心 O 相距为 a 处有一个 静止的点电荷 Q,设 a<<R,忽略边缘效应。 (1)导体板接地,确定金属板表面 的电场分布。 (2)导体板不接地,带电量为 Q,确定金属板表面的电场分布。

12 半径为 R 的导体球带有电量 Q>0。 今在距球心 a>R 处放置一个同号 的点电荷 q,求点电荷受到的电场力。 【 例题分析 】 例 1 半径分别为 Rl 和 R2的两个同心球面均匀带电.电荷面密度分别为δ 1 和δ 2 .试求: ( l )大球面任一直径 AB 上的电势分布? ( 2 )如果过 AB 将两球各切掉 一半,如图 9 一 3 一 2 所示,剩下两半球仍均匀带电,电荷面密度不变.直径 AB 上的电势 分布又如何? 分析与解( 1 )由均匀带电球壳的电势分布可知:大球面均匀带电,因此它在球内产 生的电势处处相等,有 小球面均匀带电,它在其球内和球外的电势

由电势叠加原理可得:直径 AB 上电势分布为

( 2 )当通过直径 AB 将两个球面都切去一半时,因为剩下的半球面和切去的半球面相 对 AB 是对称的,所以剩下的大(小)半球面对直径 A 刀上的电势的贡献仅为完整球面的一 半.即

《静电场》28,59

直径 AB 上的电势分布为

1 .有两个质量分别为 ml 和 m2的带电相同小球,每个球的电量为 Q ,开始时两个小 球相距甚远,一个以初速 v 向另一个运动,而另一个初速为 O ,假定作用在小球上的惟一 的力是小球间的静电斥力,求两个小球能接近的最小距离. 2 . N 个相同的球形水银液滴,都带有相同的电量,具有相同的电势 U ,如果这些水银 聚集在一起成一个大的水银滴,这个大水银滴的电势多大? 3 .如图 9 一 3 一 4 所示,半径为 R2的导电球壳包围半径为 Rl 的金属球,金属球原 来具有电势 Ul .如果让球壳接地,那么金属球的电势变为多少?

4 . 正 点 电 荷 Ql 和 Q 2 分 别 置 于 A , B 两 点 , 相 距 为 L , 现 以 L 为 直 径 作 半 圆 , 如 图 9 一 3 一 5 所示,试求在此半圆上电势最低点P的位置,

5 一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环,其中心处电势为 U0.将此环靠近半径为 b 的接地 的球,只有环中心点位于球面上,如图 9 一 3 一 6 .试求球上感应电荷的电量.

《静电场》29,59

6 .如图 9 一 3 一 7 所示,点电荷十 Q 位于金属球壳的中心,金属球壳的内、外半径分别为 R1 , R2,球壳所带的净电荷为零.若在无限处电势为零,求 A , B 两点的电场强度和电势 的大小.

7 .如图 9 一 3 一 8 所示,半径分别为 Rl 与 R2的两个同心半球面相对放置,两个半球均 匀带电,电荷面密度分别为δ 1 和δ 2,试求大的半球面所对应底面直径 AOB 上电势分布.

8. 电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R , CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的 轴线, 如图 9 一 3 一 9 所示. Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧. P、 已知P点的电势为 UP, O 点 离 距离相等的两点.试求 Q 点的电势 UQ .

9 .如图 9 一 3 一 10 所示,在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球,球心分别位 于边长为 r ( r 》a)的正方形的四个顶点上.首先,让球 1 带电荷 Q ( Q > 0 ) ,然后取一细 金属丝,其一端固定于球 1 上,另一端分别依次与球 2 、 3 、 4 、大地接触,每次接触时间

《静电场》30,59

都足以使它们达到静电平衡. 设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计. 试求流人大地的电量 的表达式.

10 .两个互相绝缘的同心导体薄球壳,内球壳半径为 r1,外球壳半径为 r2 .开始时内球 壳带电量为 Q ,外球壳不带电. ( l )试求外球壳内、外两个侧面的电荷及外球壳的电势; ( 2 )将外球壳接地后再与地绝缘,计算此时外球壳内、外两侧面的电荷; ( 3 )再将内球壳接地,求此时内球壳的总电量. 11 .点电荷+ Q 附近有一半径为 R 的导体球,球心到点电荷 Q 的距离为 d ,如图 9 ?C 3 -11 所示. 求:( 1 ) 当导体球接地时, 感应电荷 Q ' ; ( 2 ) 当导体球不接地时它的电势 U .

12 . 真 空 中 , 有 五 个 电 量 均 为 q 的 均 匀 带 电 薄 球 壳 , 他 们 的 半 径 分 别 为 R , R / 2 , R / 4 , R / 8 , R / l6 ,彼此内切于P点,如图 9 一 3 一 12 所示.球心分别为 O 1 , O2 , O3 , O4 ,O5 ,求O1 与 O5 间的电势差.

《静电场》31,59

静电场中的导体
静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义—— a、导体内部的合场强为零;表面的合场强不为零且一般各处不等,表面的合场强方向 ... ... ... 总是垂直导体表面。 b、导体是等势体,表面是等势面。 c、 导体内部没有净电荷; 孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽 导体壳(网罩)不接地时,可以实现外部对内部的屏蔽,但不能实现内部对外部的屏蔽; 导体壳(网罩)接地后,既可实现外部对内部的屏蔽,也可实现内部对外部的屏蔽。 §1. 3、电场中的导体与电介质 一般的物体分为导体与电介质两类。导体中含有大量自由电子;而电介质中各个分子 的正负电荷结合得比较紧密。处于束缚状态,几乎没有自由电荷,而只有束缚电子当它们 处于电场中时,导体与电介质中的电子均会逆着原静电场方向偏移,由此产生的附加电场 起着反抗原电场的作用,但由于它们内部电子的束缚程度不同。使它们处于电场中表现现 不同的现象。 1.3.1、 静电感应、静电平衡和静电屏蔽 ①静电感应与静电平衡 把金属放入电场中时,自由电子除了无规则的热运动外,还要沿场强反方向做定向移 动,结果会使导体两个端面上分别出现正、负净电荷。这种现象叫做“静电感应” 。所产 生的电荷叫“感应电荷” 。由于感应电荷的聚集,在导体内部将建立起一个与外电场方向 相反的内电场(称附加电场) ,随着自由电荷的定向移动,感应电荷的不断增加,附加电 场也不断增强, 最终使导体内部的合场强为零, 自由电荷的移动停止, 导体这时所处的状态称为静电平衡状态。 处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点: (a)导体内部场强为零; (b) 净电荷仅分布在导体表面上 (孤立导体的净电荷仅分布在导 体的外表面上) ; (c)导体为等势体,导体表面为等势面; (d)电场线与导体表面处处垂直,表面处合场强不为 0。 由静电感应过程十分复杂, 达到静电平衡之后导体表面的电荷分布 在中学阶段也无法搞清。对静电平衡问题,一般地我们都是根据自由电 图 1-3-1 荷受力移动的情况和静电平衡状态的特点,用假设法或反证法去推理判 断。前面证明导体空腔内表面没有净电荷就是一个典型的例子。 例 1 一金属球,原来不带电,现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆 MN,如图 10.8-4 所示。金属球上感应电荷产生的电场在直径上 a 、b、 c 三点的场强大小分别为 Ea、Eb、Ec,三者相比,则( ) M N A.Ea 最大 B.Eb 最大 a b c C.Ec 最大 D.E a =Eb=Ec 解析 处于静电平衡状态的导体, 内部的合场强处处为零。 图 10.8-4 感应电荷在导体内某点的场强的大小应等于带电体 MN 在这 一点产生的场强的大小,方向应相反。显然带电 q2 q1 体 MN 在 a 、b、c 三点产生的场强,是 c 点最大, -Q -Q 所以感应电荷的电场也是在 c 点场强最 a 点最小,




图 10.8-5

《静电场》32,59

大, a 点最小。答案为 C。 例 2 在负电荷-Q 附近放置一个原来不带电的绝缘导体,在距-Q 的近端感应出正电荷 q1(如图 10.8-5 甲) 。把绝缘导体接地,距-Q 的近端感应正电荷为 q2(如图 10.8-5 乙) 。试 比较 q1、q2 的大小。 解析 在图甲中,导体内部的各点的合场强为零,它是三个电场叠加的结果:向左的外 电场 E0,感应正电荷产生的向右电场 E+,感应负电荷产生的向右电场 E-,E0=E++E-。在图 乙中,导体内部各点的合场强为零,是两个电场叠加的结果:向左的外电场 E0,感应正电 荷产生的向右电场 E+',E0=E+'。所以有 E+'>E+,推出 q2>q1。 例 3 如图 8-5 所示,把一个不带电的枕型导体靠近带正电的小球,由于静电感应,在 a,b 端分别出现负、正电荷,则以下说法正确的是: A.闭合 K1,有电子从枕型导体流向地 B.闭合 K2,有电子从枕型导体流向地 C.闭合 K1,有电子从地流向枕型导体 D.闭合 K2,没有电子通过 K2 例题:一负点电荷靠近一原来不带电的金属板,如图所示, 分析闭合开关后的情况并画出此时的大致的电场线分布。

②静电屏蔽 静电平衡时内部场强为零这一现象,在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金属网 罩可以使其内部不受外电场的影响。如图 1-3-1 所示,由于感应电荷的存在,金属壳外的 电场线依然存在,此时,金属壳的电势高于零,但如图把外壳接地,金属壳外的感应电荷 流入大地(实际上自由电子沿相反方向移动) ,壳外电场线消失。可见,接地的金属壳既 能屏蔽外场,也能屏蔽内场。 在无线电技术中, 为了防止不同电子器件互相干扰, 它们都装有金属外壳, 在使用时, 这些外壳都必须接地,如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳,示波管的外部也套有一个 金属罩就是为了实现静电屏蔽, 高压带电作用时工作人员穿的等电势服也是根据静电屏蔽 的原理制成。 1.3.2、 电介质及其极化

①电介质 电介质分为两类:一类是外电场不存在时,分子的正负电荷中心是重合的,这种电介 质称为非极性分子电介质,如 CO2 、 CH 4 等及所有的单质气体; 另一类是外电场不存在时,分子的正负电荷中心也不相重合,这种
3 等。对于有极分子, 电介质称为极性分子电介质,如 H 2O 、 由于分子的无规则热运动, 不加外电场时, 分子的取向是混乱的 (如 图 1-3-2 图 1-3-2) ,因此,不加外电场时,无论是极性分子电介质,还是非 极性分子电介质,宏观上都不显电性。 ②电介质的极化 当把介质放入电场后,非极性分子正负电荷的中心被拉开,分子成为一个偶极子;极

NH

《静电场》33,59

性分子在外电场作用下发生转动,趋向于有序排列。因此,无论是极性分子还是非极性分 子,在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列(如图 ? ? 1-3-3) 在介质表面上出现等量异种的极化电荷 , (不能自由移动, ? ? 也不能离开介质而移到其他物体上) ,这个过程称为极化。 ? ? 极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电场, 因此与真空相比,电介质内部的电场要减弱,但又不能像导体一 E 样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同, 图 1-3-3 故物理上引入相对介电常数 ? 来表示电介质的这一特性,对电介 质 ? 均大于 1,对真空 ? 等于 1,对空气 ? 可近似认为等于 1。a、 束缚电荷与自由电荷:在图 7-4 中,电介质左右两端分别显现负电和正电,但这些电荷并不 能自由移动,因此称为束缚电荷,除了电介质,导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷; 反之,能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上,导体中存在束缚电荷与自由电荷,绝缘 体中也存在束缚电荷和自由电荷,只是它们的比例差异较大而已。 b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷,就是指图 7-4 中电介质两端显现的电荷。而 宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的, 它是指可以自由移动的净电荷。 宏观过剩电荷与极化 电荷的重要区别是:前者能够用来冲放电,也能用仪表测量,但后者却不能。

电介质的介常数,用 ? 表示,则

E0 真空中场强为 E0 的区域内充满电介质后,设场强减小到 E,那么比值 E 就叫做这种

??

引入介电常数 ? 后,极化电荷的附加电场和总电场原则上解决了。但实际上附加电场 和总电场的分布是很复杂的,只有在电介质表现为各向同性,且对称性极强的情况下,才 有较为简单的解。如: 点电荷在电介质中产生的电场的表达式为: 电势的表达式为: 库仑定律的表达式为:

E0 E

E?

kQ ?r 2

U?

kQ ?r kQq F? 2 ?r

例 5、有一空气平行板电容器,极板面积为 S,与电池连接,极板上充有电荷 ? Q0 和 间的一半体积的空间填满(相对)介电常数为 ? 的电介质,如图 1-3-4 所示。求: (1)图中极板间 a 点的电场强度 Ea ? ? (2)图中极板间 b 点的电场强度 Eb ? ? (3)图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷 Q1 ? ? (4)图中与空气接触的那部分正极板上的电荷 Q2 ? ? (5)图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷
b

? Q0 ,断开电源后,保持两板间距离不变,在极板中部占极板

? Q0

a
? Q0

Q1? ? ?
解: 设未插入电介质时平行板电容器的电容为 C0 ,则

图 1-3-4

《静电场》34,59

? ? ? Q ? U 1 Q 1 0 ? Ea ? ? ? ? ? d d C d ? C0 C0? ? ? ? ? 2 ? ? 2 (1) 2 Q0 2 Q0 4?kd 2 4?kQ0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 dC0 ? ? 1 d S ? ?1 S
(2) Ea (3)

? Eb

Q0 2 ? ?1 1 1 Q2 ? CbU ? C0 ?E0 d ? ? Q0 2 ? ?1 (4)
(5)因 Ea

Q1 ? CaU ?

?

C0 ?E0 d ? ?

?

? Eb 故

4?k

? Q1 ? Q1 Q ? 4?k 2 S S 2 2
Q1? ? ??Q1 ? Q2 ? ? ?

解得 负号表示上极板处的极化电荷为负。 【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B,面积都是 S ,间距为 d(d 远小 于金属板的线度) ,已知 A 板带净电量+Q1 ,B 板带尽电量+Q2 ,且 Q2<Q1 ,试求: (1) 两板内外表面的电量分别是多少; (2)空间各处的场强; (3)两板间的电势差。 【模型分析】由于静电感应,A、B 两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布(金 属板虽然很薄,但内部合场强为零的结论还是存在的) ;这里应注意金属板“很大”的前提 条件,它事实上是指物理无穷大,因此,可以应用无限大平板的场强定 式。 为方便解题,做图 7-15,忽略边缘效应,四个面的电荷分布应是均 匀的,设四个面的电荷面密度分别为ζ 1 、ζ 2 、ζ 3 和ζ 4 ,显然 (ζ 1 + ζ 2)S = Q1 (ζ 3 + ζ 4)S = Q2 A 板内部空间场强为零,有 2π k(ζ 1 ? ζ 2 ? ζ 3 ? ζ 4)= 0 A 板内部空间场强为零,有 2π k(ζ 1 + ζ 2 + ζ 3 ? ζ 4)= 0 解以上四式易得 ζ ζ
1

? ?1 Q ? ?1 0

= ζ = ?ζ

4

=
3

Q1 ? Q 2 2S Q1 ? Q 2 2S

2

=

有了四个面的电荷密度,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如 EⅡ =2π k(ζ 1 + ζ 2 ? ζ
3

? ζ 4)= 2π k

Q1 ? Q 2 〕 。 S

最后,UAB = EⅡd 【答案】 (1)A 板外侧电量 板外侧电量
Q1 ? Q 2 Q ?Q Q ?Q 、A 板内侧电量 1 2 ,B 板内侧电量? 1 2 、B 2 2 2

Q1 ? Q 2 Q ? Q2 ; (2)A 板外侧空间场强 2π k 1 ,方向垂直 A 板向外,A、B 板之 2 S

《静电场》35,59

间空间场强 2π k

Q1 ? Q 2 Q ? Q2 ,方向由 A 垂直指向 B,B 板外侧空间场强 2π k 1 ,方向垂直 S S Q1 ? Q 2 ,A 板电势高。 S

B 板向外; (3)A、B 两板的电势差为 2πkd

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷,两板的外侧空间场强等于多少?(答:为 零。 ) 〖学员讨论〗 (原模型中)作为一个电容器,它的“电量”是多少(答:
Q1 ? Q 2 )?如 2

果在板间充满相对介电常数为 εr 的电介质,是否会影响四个面的电荷分布(答:不会)? 是否会影响三个空间的场强(答:只会影响Ⅱ空间的场强)? 〖学员讨论〗 (原模型中)我们是否可以求出 A、B 两板之间的静电力?〔答:可以;以 A 为对象,外侧受力
E Q1 ? Q 2 Q ?Q E 〃 Ⅰ (方向相左) ,内侧受力 1 2 〃 Ⅱ (方向向右) ,它们 2 2 2 2 2 k? Q1Q2 ,排斥力。 〕 S

合成即可,结论为 F =

【模型变换】如图 7-16 所示,一平行板电容器,极板面积为 S ,其上半部为真空,而 下半部充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质,当两极板分别带上+Q 和?Q 的电量后,试求: (1)板上自由电荷的分布; (2)两板之间的场强; (3)介质表面的极化 电荷。 【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数,但由于改变 了场强,故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1 ,介质 部分电量为 Q2 ,显然有 Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体,将电容器看成上下两个电容器的并联,必有 U1 = U2 即
Q1 Q = 2 C1 C2

,即

Q1 S/ 2 4?kd

=

Q2 ?r ? S / 2 4?kd

解以上两式即可得 Q1 和 Q2 。 场强可以根据 E =
U 关系求解,比较常规(上下部分的场强相等) 。 d

上下部分的电量是不等的,但场强居然相等,这怎么解释?从公式的角度看,E = 2πkσ (单面平板) ,当 k 、σ 同时改变,可以保持 E 不变,但这是一种结论所展示的表象。从内 在的角度看,k 的改变正是由于极化电荷的出现所致,也就是说,极化电荷的存在相当于在 . 真空中形成了一个新的电场,正是这个电场与自由电荷(在真空中)形成的电场叠加成为 ... E2 ,所以 E2 = 4πk(σ ? σ′)= 4πk(
Q2 Q? ? ) S/ 2 S/ 2

请注意:①这里的 σ′和 Q′是指极化电荷的面密度和总量;② E = 4πkσ 的关系是由两 个带电面叠加的合效果。 【答案】 (1)真空部分的电量为 场强均为
8?kQ ? ?1 ; (3) r Q 。 (1 ? ? r )S ?r ? 1 1 ? Q ,介质部分的电量为 r Q ; (2)整个空间的 1 ? ?r 1 ? ?r

〖思考应用〗一个带电量为 Q 的金属小球,周围充满相对介电常数为 ε r 的均匀电介质,

《静电场》36,59

试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。 〖解〗略。 〖答〗Q′=
?r ? 1 Q 。 ?r

1.3.3. 电像法 y 电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算 P( x, y, z) 的等效静电场,多用于求解在边界面(例如接地或保持电势不 变的导体)前面有一个或一个以上点电荷的问题,在某些情况 r r? 下,从边界面和电荷的几何位置能够推断:在所考察的区域外, 2d Q 适当放几个量值合适的电荷,就能够模拟所需要的边界条件。 x A 这些电荷称为像电荷,而这种用一个带有像电荷的、无界的扩 z 大区域,来代替有界区域的实际问题的方法,就称为电像法。 例如: ①一无限大接地导体板 A 前面有一点电荷 Q,如图 1-3-5 图 1-3-5 所示,则导体板 A 有(图中左半平面)的空间电场,可看作是 在没有导体板 A 存在情况下,由点电荷 Q 与其像电荷-Q 所共同激发产生。像电荷—Q 的 位置就是把导体板 A 当作平面镜时,由电荷 Q 在此镜中的像点位置。于是左半空间任一 点的 P 的电势为

式中 r 和 r ? 分别是点电荷 Q 和像电荷-Q 到点 P 的距离,并且

?1 1 ? U ? kQ? ? ? ? r r? ?

r 2 ? x2 ? y 2 ? z 2 , r?2 ? ?2d ? x? ? y 2 ? z 2 ,此处 d 是点电荷 Q 到
2

z
?q
p

导体板 A 的距离。 电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证,定性分析可从电 场线等效的角度去说明。 ②一半径为 r 的接地导体球置于电荷 q 的电场中, 点电荷到球心的距离为 h,球上感应电荷同点电荷 q 之间的相互作 用也可以用一像电荷 q? 替代, 显然由对称性易知像电荷在导体球的球心 O 与点电荷 q 的连线上,设其电量为 q? ,离球心 O 的距离为 h? ,如图 1-3-6 所示,则对球面上任一点 P,其电势

h

?q

? o

图 1-3-6

? q q? U ? k? ? ? 2 2 r 2 ? h?2 ? 2rh? cos? ? r ? h ? 2rh cos?
整理化简得

? ? ? 0, ? ?

q 2 r 2 ? h?2 ? 2q 2rh? cos? ? q?2 r 2 ? h2 ? 2q?2rh cos? 要使此式对任意 ? 成立,则必须满足 q2 r 2 ? h?2 ? q?2 r 2 ? h2 q 2 h? ? q?2 h
h? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

r2 r , q? ? q h h 解得 ③对(2)中情况,如将 q 移到无限远处 h ? ? ,同时增 q E0 ? k 2 h 保持有限(相当于匀强电场 大 q,使在球心处的电场

P

P?

r
d
A

?q

图 1-3-7

《静电场》37,59

r2 r r2 q q?h? ? q ? ? r 3 2 h 无限趋近球心,但 h h h 保持 的场强) ,这时,像电荷 ? q? 对应的 ? r3 ? P ? q?h? ? E0 k 有限,因而像电荷 q? 和 ? q? 在球心形成一个电偶极子,其电偶极矩 。 h? ?
无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场 E0 可看作是均匀的,因 此一个绝缘的金属球在匀强电场中 E0 受感应后,它的感应电荷在球外空间的作用相当于

r3 ? E0 一个处在球心,电偶极矩为 k 的电偶极子。 E感
P

例 6、在距离一个接地的很大的导体板为 d 的 A 处放一个带电量为 ? q 的点电荷 (图 1-3-7) 。 (1)求板上感应电荷在导体内 P 点 ( PA ? r )产生的电场强度。 (2) 求板上感应电荷在导体外 P? 点产生的 电场强度,已知 P? 点与 P 点以导体板右表面对 称。 (3)求证导体板表面化的电场强度矢量总 与导体板表面垂直。 (4)求导体板上感应电荷对电荷 ? q 的作 用力, (5)若切断导体板跟地的连接线,再把

? E? q ? ? ? ? ? ? ?

?q

P??

? ? ? ? ? ? ? ?

?q

P?

E感P?

图 1-3-8 乙

图 1-3-8 丙
? ? ? ? ? ? ? ?

? Q 电荷置于导体板上,试说明这部分 ? Q 电
荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡 (略去边缘效应) 。 分析: 由于导体板很大且接地,因此只 有右边表面才分布有正的感应电荷,而左边接 地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件 是导体内场强为零, P 点处的场强为零, P 故 而 点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠 加的结果。

? ? ?q ? E? q A? ? E感A? E? q ? P? ? ? E感P? ?

A ?q

E感A?

图 1-3-8 丁 图 1-3-8 戍

解: (1)因为静电平衡后导体内部合场强为零,所以感应电荷在 P 点的场强 E感 和

? q 在 P 点的场强 E? q 大小相等,方向相反,即

E感 ? E?q ?

kq r12 方向如图 1-3-8 乙, r1 是 ? q 到 P 点的距离。

(2)由于导体板接地,因此感应电荷分布在导体的右边。根据对称原理,可知感应 电荷在导体外任意一点 P? 处场生的场强一定和感应电荷在对称点 P ?? 处产生的场强镜像 对称 (如图 1-3-8 丙) ,即 E感P?? ? E感P? , 而 因此

E感P?? ? E?q ?

kq r22 ,式中 r2 为 ? q 到 P ?? 的距离,

E感P? ?

kq r22 ,方向如图 1-3-8 丙所示。

(3)根据(2)的讨论将 P? 取在导体的外表面,此处的场强由 E? q 和 E感P? 叠加而成

《静电场》38,59

(如图 1-3-8 丁所示) ,不难看出,这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。 (4)在导体板内取一点和 ? q 所在点 A 对称的 A? 点, A? 的场强由 E? q 和 E感A? 叠加 而为零。由对称可知,A 处的 E感A 和 E感A? 应是大小相等,方向相反的(如图 1-3-8 戍) , ? q 所受的电场力大小为 所以

F ? E感A ? q ? E?q ? q ?

kq ?q ?2d ?2

?

kq 2 4d 2

方向垂直板面向左。 (5)因为 E? q 和 E感 在导体内处处平衡,所以+Q 只有均匀分布在导体两侧,才能保 持导体内部场强处处为零。 从以上(2)(3)(4)的分析中可看出:导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场 、 、 分布完全相似,即感应电荷的作用和在与 A 点对称的 A? 位置上放一个 ? q 的作用完全等效, 这就是所谓的“电像法” 。 四、电容 1、电容器 电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置,与以化学能储存电能的蓄电池不同。 任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体,都可以看成是一个电容器,电容器所带电荷 Q 与它两板间电势差 U 的比值,叫做电容器的电容,记作 C,即

U?

Q U

电容的意义就是每单位电势差的带电量,显然 C 越大,电容器储电本领越强,而电容 是电容器的固有属性,仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关,而与电容 器的带电量无关。 电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类,按极片间所用的电介质,则有空气 电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器 等。 每个电容器的型号都标明两个重要数值:电容量和耐压值(即电容器所承受的最大电 压,亦称击穿电压) 。 孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C =
Q U

b、决定式。决定电容器电容的因素是:导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类, 所以不同电容器有不同的电容 ⑴平行板电容器 C = 它介质中ε =
1 ) ,ε 4?k? ? rS 4?kd

=

?S ,其中ε 为绝对介电常数(真空中ε d

0

=

1 ,其 4 ?k

r 则为相对介电常数,ε r

=

? 。 ?0

⑵柱形电容器:C =

?rL R 2 k ln 2 R1

《静电场》39,59

⑶球形电容器:C =

? r R1R 2 k (R 2 ? R1 )

(1)平行板电容器 若两金属板平行放置,距离 d 很小,两板的正对面积为 S、两 极板间充满相对介电常数为 ? 的电介质,即构成平行板电容器。 设平行板电容器带电量为 Q、则两极板间电势差

U ? Ed ?

4?k?

故电容 (2)真空中半径为 R 的孤立导体球的电容 由公式可知,导体球的电势为:

Q ?S C? ? U 4?kd

?

d?

4?k Q ? d ? S

U?

kQ R
Q R ? U k

因此孤立导体球的电容为

C?

地球半径很大,电容很大,容纳电荷的本领极强。 (3)同轴圆柱形电容器 高 H、半径 R1 的导体圆柱外,同轴地放置高也为 H、内半径为

R2 > R1 的导体筒, H ?? R2 时, 当 便构成一个同轴圆柱形电容器。 如果 R2 - R1 ?? R1 ,
则可将它近似处理为平行板电容器,由公式可得其电容为

2?RH? ?RH ? ?C ? 4?kD ? 2kD ? R ? R1 ? R3 ? ? D ? R2 ? R1 ? ?
(4)同心球形电容器 半径为 R1 的导体球(或球壳)和由半径为 R2 的导体球壳同心放置,便构成了同心球 形电容器。 若同心球形电容器内、 外球壳之间也充以介电常数为 ? 的电介质, 内球壳带电量为 Q, 外球壳带 -Q 电荷,则内、外球壳之间的电势差为

U ? U内 ? U外

Q Q ? Q Q ? ?k ??k ? ?R ? k ?R ? ? ?R1 ?R2 ? 2 2 ? Q? 1 1 ? ?k ? ? ? ? ? R1 R2 ? ? ? ?k
故电容

C?

Q ?R1R2 ? U ?R2 ? R1 ?k

当 R2 ? ? 时,同心球形电容器便成为孤立导体(孤立导分是指在该导体周围没有其 他导体或带电体,或者这些物体都接地)球形电容器,设 R1 ? R ,则其电容为

《静电场》40,59

k R C? k。 若孤立导体外无电介质,则 ? ? 1 ,即
例 8、如图 2-4-1 所示,两个竖直放置 的同轴导体薄圆 筒,内筒半径为 R,两筒间距为 d,筒高为 L L ?? R ?? d ,内筒通过一个未知电容 Cx 的电容器与 电动势 U 足够大的直流电源的正极连接,外筒与该电源的负 极相连。在两筒之间有相距为 h 的 A、B 两点,其连线 AB 与 竖直的筒中央轴平行。在 A 点有一质量为 m、电量为-Q 的带 电粒子,它以 v0 的初速率运动,且方向垂直于由 A 点和筒中 央轴构成的平面。为了使此带电粒子能够经过 B 点,试求所
R

C?

?R

Cx

?

?

A L B

h
d

u

有可供选择的 v0 和 Cx 值。 分析: 带电粒子从 A 点射出后,受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下,使 带电粒子在竖直方向作自由落体运动;电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内,沿径向指 向中央轴。 为了使带电粒子能通过 B 点, 要求它在垂直中央轴的平面内以 R 为半径作匀速 圆周运动,这就要求电场力能提供适当的向心力,即对 Cx 有一定要求。为了使带电粒子 经过 B 点, 还要求它从 A 点沿 AB 到达 B 点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间 的整数倍,亦即对圆周运动的速度 v0 有一定的要求。 解: 带电粒子重力作用下,从 A 点自由下落至 B 点所需的时间为

图 1-4-1

t?

2h g
2?R v0

带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内,作匀速圆周运动一圈所需的时间为

T?

为了使带电粒子经过 B 点,要求

t ? nT , n ? 1,2 ??
由以上三式,得

v0 ?

2?R 2?Rn 2h ? ? n?r n ? 1,2 T t g ??
2 m v0 R

带电粒子作匀速圆周运动(速率 v0 ,半径 R)所需的向心力由电场力提供,电场力为

F?

此电场力由内外筒之间的电场提供。因 R

?? d ,近似认为内外筒构成平行板电容

器,其间是大小相同的径向电场 E,设内外筒电势差为 U R ,则带电粒子所受电场力应为

F ? QE ?

QU R d

由以上两式,得

UR ?

2 m v0 d QR

《静电场》41,59

v0 代入,得

UR ?

2n 2? 2 Rdm g hQ

n ? 1,2 ??

因为内、外筒电容器 C R 与 Cx 串联,故有

CRU R ? CxU x UR ?Ux ? U
解得

Cx ?

CRU R U ?U R
RL 2kd

由公式可知,同轴圆柱形电容器电容

CR ?

代入,得

n 2? 2 R 2 Lm g Cx ? k hQU ? 2n 2? 2 RLm g

?

?

n ? 1,2 ??

这就是全部可供选择的 Cx 。 3、电容器的连接 电容器的性能有两个指标;电容和耐压值。在实际应用时,当这两个指标不能满足要 求时,就要将电容器串联或并联使用。 a、串联
1 1 1 1 1 = + + + ? + C C1 C 2 C3 Cn

b、并联 C = C1 + C2 + C3 + ? + Cn (1)串联 几个电容器,前一个的负极和后一个的正极相连,这种连接方式称为电容器的串联。 充电后各电容器的电量相同,即 Q1 ? Q2 ? ?= Q ;第一个电容器的正极与第 n 个电容器
i ?1 的负极之间的电 U 为各电容器电压 U i 之和,即 ,因此电容器串联可以增大耐 压值。用一个电量为 Q,电压为 U 的等效电容来代替上述 n 个串联的电容器,则电容为

U ? ?U i

n

C?

Q ? Q / ?U1 ? U 2 ? ? ? U n ? U n 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? Ci?1 C C1 C2 Cn i ?1

(2)并联 把 n 个电容器的正极连在一起,负极连在一起,这种连接方式称为电容器的并联。充 电后正极总电量 Q 等于各电容器正极电量 Qi 之和,即

Q ? ? Qi
i ?1

n

压 U 等于各电容器的电压 U i ,即 U ? Ui , ?i ? 1,2,?n? 。 用一个电量为 Q、电压为 U 的等效电容器代替上述几个并联的电容器,则电容为

;正极和负极之间的电

Q Q ? i i ?1 C? ? U U

n

《静电场》42,59

C ? C1 ? C2 ? ?Cn ? ? Ci
i ?1

n

四、电容器的相关计算 【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图 7-17 所示的多级网络,试问: (1) 在最后一级的右边并联一个多大电容 C′, 可使整个网络的 A、 两端电容也为 C′? B (2)不接 C′,但无限地增加网络的级数,整个网络 A、B 两端的总电容是多少? 【模型分析】这是一个练习电容电路简 化基本事例。 第(1)问中,未给出具体级数,一般结 论应适用特殊情形:令级数为 1 ,于是
1 1 1 + = 解 C′即可。 C ? C? C C?

第(2)问中,因为“无限” ,所以“无限加一级后仍为无限” ,不难得出方程
1 1 1 + = C C ? C总 C总

【答案】 (1)

5 ?1 5 ?1 C ; (2) C 。 2 2

【相关模型】在图 7-18 所示的电路中,已知 C1 = C2 = C3 = C9 = 1μ F , 4 = C5 = C6 = C7 = 2μ F , 8 = C10 = C C 3μ F ,试求 A、B 之间的等效电容。 【解说】对于既非串联也非并联的电路,需要用到 一种“Δ →Y 型变换” ,参见图 7-19,根据三个端点之 间的电容等效,容易得出定式—— Δ →Y 型:Ca = Cb = Cc = Y→Δ 型:C1 = C2 = C3 =
C1C2 ? C2C3 ? C3C1 C3

C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C1 C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C2
Ca Cc C a ? C b ? Cc Ca C b Ca ? C b ? Cc C b Cc Ca ? C b ? Cc

有了这样的定式后,我们便可以进行如图 7-20 所示的四步电路简化(为了方便,电容不 宜引进新的符号表达, 而是直接将变换后的量 值标示在图中)——

《静电场》43,59

【答】约 2.23μ F 。 【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中,三个电容器完全相同,电源电动势 ε1 = 3.0V , ε2 = 4.5V,开关 K1 和 K2 接通前电容器均未带电,试求 K1 和 K2 接通后三个电容器的电压 Uao 、Ubo 和 Uco 各为多少。 【解说】 这是一个考查电容器电路的基本习题, 解题的关键 是要抓与 o 相连的三块极板(俗称“孤岛” )的总电量为零。 电量关系:
U ao U ao U ao + + =0 C C C

电势关系:ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco 解以上三式即可。 【答】Uao = 3.5V ,Ubo = 0.5V ,Uco = ?4.0V 。 【伸展应用】如图 7-22 所示,由 n 个单元组成的电容器网络,每一个单元由三个电容 器连接而成, 其中有两个的电容为 3C , 另一个的电容为 3C 。 a、 为网络的输入端, 以 b a′、 b′为输出端,今在 a、b 间加一个恒定电压 U ,而在 a′b′间接一个电容为 C 的电容器, 试求: (1)从第 k 单元输入端算起,后面所有电容器储存的总电能; (2)若把第一单元输出 端与后面断开,再除去电源,并把它的输入端短路,则这个单元的三个电容器储存的总电能 是多少? 【解说】 这是一个结合网络计 算和“孤岛现象”的典型事例。 (1)类似“物理情形 1”的 计算,可得 C 总 = Ck = C 所以,从输入端算起,第 k 单 ..... 元后的电压的经验公式为 Uk =
U 3 k ?1

再算能量储存就不难了。 (2)断开前,可以算出第一单元的

《静电场》44,59

三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时,C1 的右板和 C2 的左板(或 C2 的下板和 C3 的右板)形成“孤岛” 。此后,电容器的相互充电过程(C3 类比为 “电源” )满足—— 电量关系:Q1′= Q3′ Q2′+ Q3′= 电势关系:
Q 3

? ? ? Q3 Q Q + 1 = 2 3C 2C 3C
Q 4Q 1 Q2 , 2′= Q , 这样系统的储能就可以用 得出了。 7 21 2 C

从以上三式解得 Q1′= Q3′= 【答】 (1)Ek =

CU 2 CU 2 ; (2) 2 k ?1 63 2?3



〖学员思考〗图 7-23 展示的过程中,始末状态的电容器储能是否一样?(答:不一样; 在相互充电的过程中,导线消耗的焦耳热已不可忽略。 ) 4、电容器的能量 用图 7-3 表征电容器的充电过程, “搬运”电荷做功 W 就是图中 阴影的面积,这也就是电容器的储能 E ,所以 E=
2 1 1 1 q0 2 q0U0 = C U0 = 2 2 2 C

电场的能量。 电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场? 正确答案是后者,因此,我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。 对平行板电容器 E 总 =
Sd 2 E 8 ?k
1 E2 。而且,这以结 8 ?k

认为电场能均匀分布在电场中,则单位体积的电场储能 w = 论适用于非匀强电场。带电导体的能量

一带电体的电量为 Q, 电容为 C, 则其电势 是一些分散在无限远处的电荷, 在外力作用下一点点搬到带电体上的, 因此就搬运过程中, 外力克服静电场力作的功,就是带电体的电能。该导体的电势与其 U

U?

Q C。 我们不妨设想带电体上的电量 Q,

1 Ui 所带电量之间的函数关系如图 1-5-1 所示,斜率为 C 。设每次都搬 运极少量的电荷 ?Q ,此过程可认为导体上的电势不变,设为 U i ,
该过程中搬运电荷所做的功为 Wi ? U i ?Q ,即图中一狭条矩形的面 积(图中斜线所示)因此整个过程中,带电导体储存的能量为 其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和,若 ?Q 取得尽 可能小,则数值就趋向于图线下三角形的面积。
O

?Q

Q

W ? ?Wi ? ?Ui ?Q

图 1-5-1

1 Q2 1 W ? ?U i ?Q ? QU ? ? CU 2 2 2C 2
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器, 因为电容器两板间的电势差与 极板上所带电量的关系也是线性的。

《静电场》45,59

1.5.2、

电场的能量

1 W ? CU 2 2 由公式 , 似乎可以认为能量与带电体的电量有关, 能量是集中在电荷上的。
其实,前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能,并未涉及能量的分布问题。由于在 静电场范围内,电荷与电场总是联系在一起的,因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一 起, 尚无法确定。 以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知, 电场可以脱离电荷而单独存在, 并以有限的速度在空间传播,形成电磁波,而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我 们说,电场是电能的携带者,电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例,用电场强度 表示能量公式。

单位体积的电场能量称为电场的能量密度,用 ? 来表示

1 1 ?S ?E 2 Sd W ? CU 2 ? ? E 2d 2 ? 2 2 4?kd 8?k

W ?E 2 ?? ? V 8?k
上式是一个普遍适用的表达式,只要空间某点的电场强度已知,该处的能量密度即可 求出,而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 1.5.3、电容器的充电 如图 1-5-2 所示,一电动势为 U 的电源对一电容为 C 的电容器充电,充电完毕后,电 容器所带电量

Q ? CU
电容器所带能量

W?

1 CU 2 2

而电源在对电容器充电过程中,所提供的能量为

W ? ? QU ? CU 2 ? 2W
也就是说,在充电过程中,电容器仅得到了电源提供的一半能量,另一半能量在导线 和电源内阻上转化为内能,以及以电磁波的形式发射出去。 例 7、用 N 节电动势为 ? 的电池对某个电容器充电,头一次用 N 节电池串联后对电容 器充电;第二次先用一节电池对电容器充电,再用两节串联再充一次,再用三节串联再 充??直到用 N 节串联充电,哪一种方案消耗电能多?

1 E ? Q ? N? ? W ? Q?N? ? ,电容器储能 2 解: 第一次电源提供的能量 1 1 2 ?E ? W ? E ? Q? N? ? ? C ? N? ? 2 2 消耗的能量 。
第二次充电时,电容器上电量从 0→Q1→Q2→Q3??而

Q1 ? C?
电源每次提供能量为

Q2 ? C(2? )

Q3 ? C(3? )

W1 ? ??Q ? ??Q1 ? C? 2
????

W2 ? 2? ? ?Q2 ? 2? ?Q2 ? Q1 ?1 ? 2C? 2

WN ? ?QN ? QN ?1 ?1 N? ? NC? 2
W ? ? ? W ? ? C? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? N ? ?
?E ? ? W ? ? E ?

1 N ? N ? 1?C? 2 2

消耗的能量

1 CN? 2 ? ?E / N 2

《静电场》46,59

N ? 条件下进行的。第二种方案中,只有最后一次搬运电量 ?QN ? QN ?1 ? 是在电势差 N ? 下 进行的,其余 N ? 1 是在小于 N ? 下进行的。
例4 在图 5 所示的电路中,3 个电容器 C1 、C 2 、C3 的电容值均等于 C ,电源的电

显然,前一种方案消耗能量多,实际上,头一种方案电源搬运电量 Q 全部是在电势差

动势为 ? , R1 、 R2 为电阻,S 为双掷开关,开始时,3 个电容器都不带电,S 先接通 a 再通

b ,再接通 a ,再接通 b ??,如此反复换向,设每次接通前都已达到静电平衡,试求: (1) S 第 n 次接通 b 并达到平衡后, 当 每个电容器两端的电压各
是多少? (2)当反复换向的次数无限增多时,在所有电阻上消耗的总电 能是多少? 分析与解答:为了求每个电容器两端的电压,我们先来求每个电 容器上的电压,原来 3 个电容器都不带电,所以当第 1 次接通 a 后, 电路为 C1 和 C 2 串联,两者的电容又相等,所以等效电容应为 C / 2 , 由此可知, C1 带的电量应为

Q1 ?

1 C? 2



下面来求第 n 次接通 a 后 C1 上的电量。 我们用 Q1 、 Q2 ??依次表示每次接通 a 时,电池在该次中对 C1 充电(增加)的电量, 因充电时 C1 和 C 2 串联, 根据电荷守恒, 每次充电时给 C 2 增加的电量应是 Q1 、Q2 ?? a 接 通 n 次后, C1 上的电量应为

Q1 = Q1 + Q2 +??+ Qn



在第 n 次接通 a 之前, 即第 n -1 次接通 b 之后, 1 上的总电量为 Q1 + Q2 +??+ Qn ?1 , C 根据电荷守恒,此时 C 2 和 C3 并联,两者的电容又相等,所以 C 2 和 C3 上的电量也相等,皆 为( Q1 + Q2 +??+ Qn ?1 )/2,由此可知,第 n 次接通 a 后, C 2 上的电量应为:

Q1 =

Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ?1 ? Qn 2



所以 C1 和 C 2 上的电压应为

U 1 =( Q1 + Q2 +??+ Qn )/C



《静电场》47,59

所以 C1 和 C 2 上的电压应为

U 1 ? (Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ) / C U2 ? [
。 Q1 ? Q2 ? Q3 ? ? ? Qn ?1 ? Qn ] / C 2 ⑸

由电压关系知

U1 ? U 2 ? ?



由⑷、⑸、⑹式可得:

Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ?

Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ?1 ? Qn ? ? ? C 2



同时,对 n +1 次接通 a 后有

Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ?1 ?

Q1 ? Q2 ? ? ? Qn ? Qn ?1 ? ? ? C 2



⑻-⑺式,得 Qn ?1 ?

Qn 4



这就是说, 后一次接通 a 时,C1 上充电增加的电量与前一次之比是一个常数 1/4, 可见, 每次充电 C1 上增加的电量是接等比级数增长的,由⑴和⑼式可知,第 n 将次接通 a 后, C1 上的总电量为:

1 1 1 1 1 1 1 2 1 Q1 ? [ ? ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ]C ? ? ? [1 ? ( ) n ]C ? ? 2 2 4 2 4 2 4 3 4



第 n 将次接通 b , C1 上的电量不变,仍为⑽式所示, C 2 、 C3 上的电量 Q1 、 Q? 相等, 且皆为 Q1 的一半,故:

1 1 Q1 = Q? = [( ) n ]C ? ? 。 3 4
所以 3 个电容器上的电压分别为

Q1 2 1 ? [1 ? ( ) n ] ? ? , C 3 4 。 Q1 1 1 n U2 ? U3 ? ? [1 ? ( ) ] ? ? 2C 3 4 U1 ?
当 n →∞时, C1 上的电量也就是通过电源的总电量,由⑽式可知为:

Q?

2 C? 。 3

所以电源提供的能量为:

《静电场》48,59

W? ? Q ? ? ?

2 C? 2 。 3

各电容器储存的电能分别为:

1 2 2 Q / C ? ? C? 2 , 2 9 。 1 2 W2 ? W3 ? ? C? 18 W1 ?
根据能量守恒,可得电阻上消耗的总电能:

1 WR ? W? ? (W1 ? W2 ? W3 ) ? C? 2 。 3

第三讲 各届竞赛试题汇编 1、两块竖直放置的平行金属大平板 A 、 B ,相距 d ,两极间的电压为 U 。一带正电的质点 从两板间的 M 点开始以竖直向上的初速度 v0 运动,当它到达电场中某点 N 点时,速度变为
水平方向,大小仍为 v0 ,如图预 18-2 所示. 解析:带电质点在竖直方向做匀减速运动,加速度的大小为 g ;在水平方向因受电场 力作用而做匀加速直线运动,设加速度为 a 。若质点从 M 到 N 经历的时间为 t ,则有

vx ? at ? v0

(1) (2)

vy ? v0 ? gt ? 0
由以上两式得

a?g
t? v0 g

(3) (4)

M 、 N 两点间的水平距离
v2 1 x ? at 2 ? 0 2 2g
于是 M 、 N 两点间的电势差 (5)

U MN ?

Uv 2 U x? 0 d 2dg

(6)

2、如图复 18-5 所示,一薄壁导体球壳(以下简称为球壳)的球心在 O 点.球壳通过一细导 线 与 端电 压 U ? 90 V 的 电 池的 正极 相 连, 电池 负 极接 地. 在 球壳 外 A 点 有 一电量为

q1 ? 10 ?10-9 C 的点电荷, B 点有一电量为 q2 ? 16 ?10-9 C

《静电场》49,59

的点电荷。 OA 之间的距离 d1 ? 20 cm , OB 之间的距离 d2 ? 40 cm .现设想球壳的半径从

a ? 10 cm 开始缓慢地增大到 50 cm ,问:在此过程中的不同阶段,大地流向球壳的电量各
是多少?己知静电力恒量 k ? 9 ?109 N ? m2 ? C-2 . 假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内 而不与导体壁接触。 解析:分以下几个阶段讨论: 1.由于球壳外空间点电荷 q1 、 q2 的存在,球壳外壁的电荷分布不均匀,用 ? 表示面电 荷密度.设球壳半径 a ? 10 cm 时球壳外壁带的电量为 Q1 ,因为电荷 q1 、q2 与球壳外壁的电 量 Q1 在球壳内产生的合场强为零, 球壳内为电势等于 U 的等势区, 在导体表面上的面元 ? S 所带的电量为 ??S ,它在球壳的球心 O 处产生的电势为 ?U1 ? k 在球心 O 产生的电势 U1 为

??S
a

,球壳外壁所有电荷

U1 ? ? ?U1 ? k

???S ? k Q1
a a

(1)

点电荷 q1 、q2 在球壳的球心 O 处产生的电势分别为 k 壳的电势,按电势叠加原理,即有 q q Q k 1 ? k 2 ? k 1 ?U d1 d2 a 代入数值后可解得球壳外壁的电量 Q1 为

q1 q 与k 2 , 因球心 O 处的电势等于球 d1 d2
(2)

?q q ? U ? a ? 1 ? 2 ? ? ?8 ? 10-9 C k ? d1 d2 ? 因球壳内壁无电荷,所以球壳的电量 Q 等于球壳外壁的电量 Q1 ,即 Ⅰ Q1 ? a

Q =Q1 ? ?8 ?10-9 C Ⅰ

(3)

2.当球壳半径趋于 d1 时(点电荷仍在球壳外) ,设球壳外壁的电量变为 Q2 ,球壳外的 电荷 q1 、 q2 与球壳外壁的电量 Q2 在壳内产生的合场强仍为零,因球壳内仍无电荷,球壳内 仍保持电势值为 U 的等势区,则有 q q Q k 1 ? k 2 ? k 2 ?U d1 d2 d1 解得球壳外壁的电量 (4)

?q q ? U ? d1 ? 1 ? 2 ? ? ?16 ? 10-9 C k ? d1 d2 ? 因为此时球壳内壁电量仍为零,所以球壳的电量就等于球壳外壁的电量,即 (5) Q =Q2 ? ?16 ?10-9 C Ⅱ Q2 ? d1
在 a ? 10 cm 到趋于 d1 的过程中,大地流向球壳的电量为

?Q =Q -Q ? ?8 ?10-9 C Ⅰ Ⅱ Ⅰ

(6)

3.当点电荷 q1 穿过球壳,刚进入球壳内(导体半径仍为 d1 ) ,点电荷 q1 在球壳内壁感 应出电量- q1 ,因球壳的静电屏蔽,球壳内电荷 q1 与球壳内壁电荷- q1 在球壳外产生的合 电场为零,表明球壳外电场仅由球壳外电荷 q2 与球壳外壁的电荷 Q3 所决定.由于球壳的静 电屏蔽,球壳外电荷 q2 与球壳外壁的电荷 Q3 在球壳内产生的合电场为零,表明对电荷 q2 与

《静电场》50,59

Q3 产生的合电场而言,球壳内空间是电势值为 U 的等势区. q2 与 Q3 在球心 O 处产生的电 势等于球壳的电势,即 Q q k 2 ? k 3 ?U (7) d2 d1 解得球壳外壁电量 q U Q3 ? d1 ? d1 2 ? ?6 ? 10-9 C (8) k d2 球壳外壁和内壁带的总电量应为 (9) QⅢ ? Q3 ? (?q1 ) ? ?16 ?10-9 C
在这过程中,大地流向球壳的电量为

?Q ? QⅢ ? Q ? 0 Ⅱ Ⅱ

(10)

这个结果表明:电荷 q1 由球壳外极近处的位置进入壳内,只是将它在球壳外壁感应的电荷 转至球壳内壁,整个球壳与大地没有电荷交换. 4.当球壳半径趋于 d2 时(点电荷 q2 仍在球壳外) ,令 Q4 表示此时球壳外壁的电量,类 似前面第 3 阶段中的分析,可得 q Q k 2 ? k 4 ?U d2 d2 由此得 (11)

Q4 ? d2

?q ? U ? d2 ? 2 ? ? ?12 ?10-9 C k ? d2 ?
(12) (13)

球壳的电量 QⅣ 等于球壳内外壁电量的和,即

QⅣ=Q4 ? (?q1 ) ? ?22 ?10-9 C
大地流向球壳的电量为

?QⅢ ? QⅣ -QⅢ ? ?6 ?10-9 C

5.当点电荷 q2 穿过球壳,刚进入球壳内时(球壳半径仍为 d2 ) ,球壳内壁的感应电荷 变为-( q1 + q2 ) ,由于球壳的静电屏蔽,类似前面的分析可知,球壳外电场仅由球壳外壁 的电量 Q5 决定,即 Q k 5 ?U d2 可得 (14)

Q5 ? d2
球壳的总电量是

U ? 4 ?10-9 C k
(15) (16)

QⅤ Q5 ? (q1 ? q2 ) ? ?22 ?10-9 C =
在这个过程中,大地流向球壳的电量是

?QⅣ ? QⅤ-QⅣ ? 0
Q6 ?U a1

6.当球壳的半径由 d2 增至 a1 ? 50 cm 时,令 Q6 表示此时球壳外壁的电量,有

k
可得

(17)

Q6 ? a1
球壳的总电量为

U ? 5 ?10-9 C k

《静电场》51,59

QⅥ=Q6 ? (q1 ? q2 ) ? ?21?10-9 C
大地流向球壳的电量为

(18) (19)

?QⅤ ? QⅥ-QⅤ ? 1?10-9 C

3、如图复 19-3 所示,在水平光滑绝缘的桌面上,有三个带正电的质点 1、2、3,位于边长 为 l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心,三个质点的质量皆为 m ,带电量皆为 q 。质点 1、3 之间和 2、3 之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连,在 3 的连接处为无摩擦的 铰链。已知开始时三个质点的速度为零,在此后运动过程中,当质点 3 运动到 C 处时,其 速度大小为多少? 解析:以三个质点为系统,由对称性可知,开始时其质心应位于 C 处, 因为质点系所受的合外力为零, 由质心运动定理可知, 质心总是固定不动的。 质点 1、2 在静电力作用下,彼此间距离必增大,但不可能保持在沿起始状 态时 1、2 连线上运动,若是那样运动,由于杆不能伸长,质点 3 必向左运 动,三者的质心势必亦向左运动,这与“质心不动”相矛盾,故不可能。由 此可知,由于杆为刚性,质点 1、2 在静电力作用下,要保持质心不动,质 点 1、2 必将分别向题图中右上方和右下方运动,而质点 3 将向左运动.当 3 运动到 C 处时,1、2 将运动到 A 、 B 处, A 、 B 、 C 三点在一直线上,1、2 的速度方向 向右,3 的速度方向左(如图复解 19-3 所示)。令 v1 、 v 2 、 v3 分别表示此时它们的速度大 小,则由对称性可知此时三质点的总动能为

1 2 1 2 EK ? mv3 ? 2( mv1 ) 2 2
再由对称性及动量守恒可知

(1)

mv3 ? 2mv1
系统原来的电势能为

(2) 2
图复解 19-3

q2 (3) l 其中 k 为静电力常数.运动到国复解 19-3 所示的位置时的电势能为 E P ? 3k E P? ? 2 k q2 q2 ?k l 2l
(4) (5)

根据能量守恒有 EP ? EP? ? EK 由以上各式可解得 v3 ?

2kq 2 3lm

(6)

4、图预 20-7-1 中 A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为 T 的交流电 压,在两板间产生交变的匀强电场.己知 B 板电势为零,A 板电势 UA 随时间变化的规律如 图预 20-7-2 所示,其中 UA 的最大值为的 U0,最小值为一 2U0.在图预 20-7-1 中,虚线 MN 表示与 A、B 扳平行等距的一个较小的面,此面到 A 和 B 的距离皆为 l.在此面所在处,不 断地产生电量为 q、质量为 m 的带负电的微粒,各个时刻产生带电微粒的机会均等.这种微 粒产生后,从静止出发在电场力的作用下运动.设微粒一旦碰到金属板,它就附在板上不再 运动,且其电量同时消失,不影响 A、B 板的电压.己知上述的 T、U0、l,q 和 m 等各量的

《静电场》52,59

值正好满足等式

3 U0q ? T ? l ? ? ? 16 2m ? 2 ?
2

2

若在交流电压变化的每个周期 T 内,平均产主 320 个上述微粒,试论证在 t=0 到 t=T/2 这段时间内产主的微粒中,有多少微粒可到达 A 板(不计重力,不考虑微粒之间的相互作 用) 。

解析: 在电压为 U 0 时, 微粒所受电场力为 U 0 q / 2l , 此时微粒的加速度为 a0 ? U 0 q / 2lm 。 将此式代入题中所给的等式,可将该等式变为

l?

3 ?T ? a0 ? ? 16 ? 2 ?

2

(1)

现在分析从 0 到 T / 2 时间内,何时产生的微粒在电场力的作用下能到达 A 板,然后计 算这些微粒的数目。 在 t ? 0 时产生的微粒,将以加速度 a0 向 A 板运动,经 T / 2 后,移动的距离 x 与式(1) 相比,可知

1 ?T ? x ? a0 ? ? ? l 2 ?2?

2

(2)

即 t ? 0 时产生的微粒,在不到 T / 2 时就可以到达 A 板。在 U A ? U 0 的情况下,设刚能到达 A 板的微粒是产生在 t ? t1 时刻,则此微粒必然是先被电压 U 0 加速一段时间 ?t1 ,然后再被 电压 ?2U 0 减速一段时间,到 A 板时刚好速度为零。用 d 1 和 d2 分别表示此两段时间内的位 移, v1 表示微粒在 ?t1 内的末速,也等于后一段时间的初速,由匀变速运动公式应有

1 d1 ? a0 (?t1 )2 2
0 ? v12 ? 2(?2a0 )d2
又因

(3) (4)

《静电场》53,59

v1 ? a0 ?t1 , d1 ? d2 ? l ,

(5) (6) (7)

t1 ? ?t1 ?
由式(3)到式(7)及式(1) ,可解得

T , 2

t1 ?

T , 2

(8)

这就是说, U A ? U 0 的情况下, t ? 0 到 t ? T / 4 这段时间内产生的微粒都可到达 A 板 在 从 (确 切地说,应当是 t ? T / 4 ) 。 为了讨论在 T / 4 ? t ? t / 2 这段时间内产生的微粒的运动情况, 先设想有一静止粒子在 A 板附近,在 U A ? ?2U 0 电场作用下,由 A 板向 B 板运动,若到达 B 板经历的时间为 ? ,则 有

1 2l ? (2a0 )? 2 2
根据式(1)可求得

??

3 1 ? T 2 4

由此可知,凡位于 MN 到 A 板这一区域中的静止微粒,如果它受 U ? ?2U 0 的电场作用时间 大于 ? ,则这些微粒都将到达 B 板。 在 t ? T / 4 发出的微粒, U A ? U 0 的电场作用下, A 板加速运动, 在 向 加速的时间为 T / 4 , 接着在 U A ? ?2U 0 的电场作用下减速, 由于减速时的加速度为加速时的两倍, 故经过 T / 8 微 粒速度减为零。由此可知微粒可继续在 U A ? ?2U 0 的电场作用下向 B 板运动的时间为

?1 ? T ? T ? T ? ? T
由于 ? 1 ? ? ,故在 t ? T / 4 时产生的微粒最终将到达 B 板(确切地说,应当是 t ? T / 4 ) ,不 会再回到 A 板。 在 t 大于 T / 4 但小于 T / 2 时间内产生的微粒,被 U A ? U 0 的电场加速的时间小于 T / 4 , 在 U A ? ?2U 0 的电场作用下速度减到零的时间小于 t ? T / 8 ,故可在 U A ? ?2U 0 的电场作用 下向 B 板运动时间为

1 2

1 8

3 8

3 1 2 4

? ? ? T ? T ? ?1
所以这些微粒最终都将打到 B 板上,不可能再回到 A 板。

1 2

1 8

《静电场》54,59

由以上分析可知,在 t ? 0 到 t ? T / 2 时间内产生的微粒中,只有在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间 内产生的微粒能到达 A 板,因为各个时刻产生带电微粒的机会均等,所以到达 A 板的微粒 数为

1 N ? 320 ? ? 80 4

(9)

5、图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限远处的电势 为零时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一质子 b,它以 Ek =2000 eV 的动能沿与 O?O 平行的方向射向 a. 以 l 表示 b 与 O?O 线之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大 值.把质子换成电子,再求 l 的最大值. 解析:令 m 表示质子的质量, v 0 和 v 分别表 示质子的初速度和到达 a 球球面处的速度, e 表 示元电荷,由能量守恒可知

1 2 1 2 mv0 ? mv ? eU 2 2

(1)

因为 a 不动, 可取其球心 O 为原点, 由于质子所受的 a 球对它的静电库仑力总是通过 a 球的 球心,所以此力对原点的力矩始终为零,质子对 O 点的角动量守恒。所求 l 的最大值对应于 质子到达 a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切 (见复解 20-1-1) 以 lmax 表示 l 的最 。 大值,由角动量守恒有 mv0lmax ? mvR 由式(1)(2)可得 lmax ? 1 ? 、 代入数据,可得 lmax ? (2)

eU R 2 mv0 / 2

(3)

2 R (4) 2 若把质子换成电子,则如图复解 20-1-2 所示,此时式(1)中 e 改为 ?e 。同理可求得 lmax ? 6 R 2
(5)

《静电场》55,59

6、如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放置电 量分别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应与静电 屏蔽可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的电场 是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电 荷是怎样分布的, 所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强. 但理论上可以证明, 感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题中假想 (等效)点电荷应为两个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能 满足这样的条件,即:设想将整个导体壳去掉,由 q1 在原空腔内表面 A ? 的感应电荷的假想 (等效) 点电荷 q1 与 q1 共同产生的电场在原空腔内 r 表面所在位置处各点的电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面的感应电荷 P2 ?? P 1 a O a ? 的假想(等效)点电荷 q2 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在 R 位置处各点的电势皆为 0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效 电荷, 而且这样确定的等效电荷是唯一的. 等效电荷取代感应电荷后, ? ? 可用等效电荷 q1 、 q2 和 q1、q2 来计算原来导体存在时空腔内部任意 点的电势或场强.

? ? 1.试根据上述条件,确定假想等效电荷 q1 、 q2 的位置及电量.
2.求空腔内部任意点 A 的电势 UA.已知 A 点到球心 O 的距离为 r,OA 与 OP1 的夹角为??. 解析:解法Ⅰ:

? 如图 1 所示,S 为原空腔内表面所在位置, q1 的位置应位于 OP1 的延长线上的某点 B1 ? 的位置应位于 OP2 的延长线上的某点 B2 处.设 A1 为 S 面上的任意一点,根据题意 处, q 2 有
k q1 A1 P1 ?k ?k ? q1 A1 B1 ?0
(1) A1 O ?? P2 a a P1 R S
1 1

k

q2 A1 P2

? q2 A1 B2

?0

(2)

B2

B1

怎样才能使 (1) 式成立呢?下面分析图 1 中 ?OP1 A1 与 ?OA1 B1 的关系. ? 若等效电荷 q1 的位置 B1 使下式成立,即

图1

OP ? OB1=R 2 1


(3)

OP 1 OA1

?

OA1 OB1

(4)



△OP A1 ∽△OA1 B1 1



A1 P1 A1 B1

?

OP1 OA1

?

a R

(5)

《静电场》56,59

? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 q1
? q1 ? ? R q1 a
(6)

? 由 (3) 式知,等效电荷 q1 的位置 B1 到原球壳中心位置 O 的距离
OB1 ? R2 a
(7)

同理,B2 的位置应使 △OP2 A1 ∽△OA1 B2 ,用类似的方法可求得等效电荷

? q2 ? ?

R q2 a

(8)

? 等效电荷 q2 的位置 B2 到原球壳中心 O 位置的距离
OB2 ?
解法Ⅱ:

R2 a

(9)

? 在图 1 中,设 A1 P ? r1 , A1 B1 ? r1? , OB1 ? d .根据题意, q1 和 q1 两者在 A1 点产生的 1 电势和为零.有

k

q1 q? ?k 1 ?0 r1 r1?

(1' )

式中

r1 ? ( R 2 ? a 2 ? 2Ra cos ? )1 2 r1? ? ( R 2 ? d 2 ? 2Rd cos ? )1 2
由(1'、 )(3' )(2'、 )式得
2 ? q1 ( R 2 ? d 2 ? 2Rd cos? ) ? q1 ( R 2 ? a 2 ? 2Ra cos? ) (4' ) 2

(2' ) (3' )

(4' )式是以 cos ? 为变量的一次多项式,要使(4' )式对任意 ? 均成立,等号两边的相应 系数应相等,即
2 ? q1 ( R 2 ? d 2 ) ? q1 ( R 2 ? a 2 ) 2 2 ? q1 d ? q1 a 2

(5' ) (6' )

由(5'、 )式得 )(6'

ad 2 ? (a 2 ? R 2 )d ? aR 2 ? 0

(7' )

《静电场》57,59

解得 d ?

(a 2 ? R 2 ) ? (a 2 ? R 2 ) 2a

(8' )

由于等效电荷位于空腔外部,由(8' )式求得

d?

R2 a

(9' )

由(6'、 )式有 )(9'

? q1 2 ?

R2 2 q1 a2

(10' )

? 考虑到(1' )式,有 q1 ? ?
同理可求得

R q1 a

(11' )

OB2 ?

R2 a
(13' )

(12' )

? q2 ? ?

R q2 a

? ? 2.A 点的位置如图 2 所示.A 的电势由 q1、 q1 、q2、 q2 共同产生,即

? 1 R 1 1 R 1 ? ? U A ? kq? ? ? ? ? P A a B A P A a B A? 1 2 2 ? ? 1

(10)

因 P A ? r 2 ? 2ra cos? ? a 2 1

? R2 ? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? B1 A ? r 2 ? 2r ? ? a ? ? a ? ? ? ? ?

2

P2 A ? r 2 ? 2ra cos? ? a 2
? R2 ? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? B 2 A ? r ? 2r ? ? a ? ? a ? ? ? ? ?
2 2

B2

O ?? A P2 a a P1 R S
图2
1

B1

代入 (10) 式得

? 1 R U A ? kq? ? ? 2 2 a 2r 2 ? 2raR2 cos? ? R 4 ? r ? 2ra cos? ? a
? 1 r 2 ? 2ra cos ? ? a 2 ? ? ? ? a 2 r 2 ? 2raR 2 cos ? ? R 4 ? R
(11)

7、如图所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心,O1、O2、O3 为位于球内的三

《静电场》58,59

个半径皆为 r 的球形空腔的球心,它们与 O 共面,已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? OO2 的连线上距 O1、 2 为 O

R .在 OO1、 2

r 的 P1、 2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的导体 P (视 2

为点电荷) ,在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球 外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距离 OP ? 2 R . 1.求 q3 的电势能. 2.将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡时,各表面上的电荷分布有何 变化? 此时 q3 的电势能为多少? 解析:1.由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电 量为 ? q1 、 ? q 2 和 ? q3 的面电荷,由电荷守恒定律可知, P 在导体球的外表面呈现出电量 q1 ? q 2 ? q3 .由静电屏蔽 O2 可知,点电荷 q1 及感应电荷( ? q1 )在空腔外产生的电场 为零; 点电荷 q2 及感应电荷 ? q 2 ) ( 在空腔外产生的电场为零; 点电荷 q3 及感应电荷 ? q3 ) ( 在空腔外产生的电场为零.因此,在导体球外没有电荷时,球表面的电量 q1 ? q 2 ? q3 作球 对称分布. 当球外 P 点处放置电荷 Q 后,由于静电感应,球面上的总电量仍为 ?q1 ? q2 ? q3 ? ,但 这些电荷在球面上不再均匀分布,由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点 产生的合场强为零. O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷 ?q1 ? q2 ? q3 ? 及空腔 3 表面的感应 电荷( ? q3 )共同产生.无论 ?q1 ? q2 ? q3 ? 在球面上如何分布,球面上的面电荷到 O 点的 距离都是 R,因而在 O 点产生的电势为 k R O 1 P1 R O P2

O3 r

q1 ? q2 ? q3 Q , Q 在 O 点产生的电势为 k ,这 R 2R

两部分电荷在 O3 点产生的电势 U ? 与它们在 O 点产生的电势相等,即有

Q ? ? q ? q 2 ? q3 ? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 ? U ? ? k? 1 ? ? ? k? ? R 2R ? 2R ? ? ?

(1)

因 q3 放在空腔 3 的中心处,其感应电荷 ? q3 在空腔 3 壁上均匀分布.这些电荷在 O3 点产

《静电场》59,59

生的电势为

U ?? ? k

? q3 r

(2)

? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 q3 ? 根据电势叠加定理,O3 点的电势为 U ? U ? ? U ?? ? k ? ? ? 2R r ? ?
故 q3 的电势能

(3)

? Q ? 2q1 ? 2q 2 ? 2q3 q3 ? W ? q3U ? kq 3 ? ? ? 2R r ? ?

(4)

2. 由于静电屏蔽,空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零,空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感应电荷 ? q1 的静电力作用, q1 不在空腔 1 的中心 O1 点, 因 所以感应电荷 ? q1 在空腔表面分布不均匀,与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大,对 q1 的吸力较大,在空腔 表面感应电荷的静电力作用下,q1 最后到达空腔 1 表面,与感应电荷 ? q1 中和.同理,空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 ? q 2 的静电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷 ? q 2 中 和.达到平衡后,腔 1、2 表面上无电荷分布,腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变 化.O3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 ?q1 ? q2 ? q3 ? 及空腔 3 内壁的电荷

? q3 共同产生,故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与(4)式所示.


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