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高等数学实践课-最小二乘法的理论思想及应用


最小二乘法的理论思想及应用

课 程 名 称: 专 业 班 级: 成 员 组 成:

高等数学(2)

2012年 5 月 3 日

摘要:探讨最小二乘法的基本原理、几何解释、线性拟合和若干非线性拟合及其在物
理、化学等学科中的应用。

关键词: 最小二乘法

直线拟合 矛盾方程组 正规方程组 拟合曲线 经验公式 几何解

释 基本原理 线性关系 有效数字

Theoretical thinking and application of the least squares method

Abstract: xplore the basic principles of the least squares method,
the geometric interpretationofliner regression and nonlinear curve fitting and its application in physics, chemistry andother discipline

Key words: The least squares curve fitting the
contradiction equations normal equations fitting curveempirical formula for the geometric interpretation of linear relationship of the basic principles of effective digital

1 引言

最小二乘法在社会生活的各个领域有着广泛的应用,为此

特地做出以下简略分析

2 研究问题及成果 一. 最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二
乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语中“平方”称为“二乘”),“最 小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小 在两个观测量中, 往往总有一个量精度比另一个高得多, 为简单起见把精度较高的 观测量看作没有误差,并把这个观测量选作 x,而把所有的误差只认为是 y 的误差。设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y=f(x;c1,c2,??cm) (0-0-1) 给出,其中 c1,c2,??cm 是 m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据(xi,yi) i=1,2,??,N。都对应于 xy 平面上一个点。若不存在测量误差,则这些数据点都准确 落在理论曲线上。只要选取 m 组测量值代入式(0-0-1) ,便得到方程组 yi=f(x;c1,c2,??cm) (0-0-2) 式中 i=1,2,??,m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。显然 N<m 时,参数 不能确定。 在 N>m 的情况下,式(0-0-2)成为矛盾方程组,不能直接用解方程的方法求得 m 个参 数值,只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差,或者说已经修正,则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f(x;c1,c2,??cm)> 摆动,其分布为正态分布,则 yi 的概 率密度为
p? yi ? ? ? ? y ? f ? x ; c , c ,......, c ? ? i i 1 2 m exp ? ? 2 2? i 2? ? i ? ? 1

?

2

? ? ? ? ?

,

? 式中 i 是分布的标准误差。为简便起见,下面用 C 代表(c1,c2,??cm) 。考虑各次 测量是相互独立的,故观测值(y1,y2,??cN)的似然函数
L?

?

2?

?

1
N

? 1? 2 ...? N

? 1 N ? y i ? f ? x ; C ??2 ? exp ? ? ? ? i2 ? 2 i ?1 ?

? ? ? ? ?.

取似然函数 L 最大来估计参数 C,应使
1 ? ? ?y
i ?1 2 i N i

? f ? x i ; C ?? ? min
2

(0-0-3)

取最小值:对于 y 的分布不限于正态分布来说,式(0-0-3)称为最小二乘法准则。若 为正态分布的情况,则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子

? i ? 1 / ? i2

,故式

(0-0-3)表明,用最小二乘法来估计参数,要求各测量值 yi 的偏差的加权平方和为最小。 根据式(0-0-3)的要求,应有
? ?c k 1 ? ? ?y
i ?1 2 i N i

? f ? x i ; C ??

2 ? c?c

?0

?k

? 1, 2 ,..., m ?

从而得到方程组
1 ? ? ?y
i ?1 2 i N i

? f ? x i ; C ??

?f ? x; C ? ?C k
? c?c

?0

?k

? 1, 2 ,..., m ?

(0-0-4)

? ? ? c , c ,..., c m 解方程组(0-0-4) ,即得 m 个参数的估计值 1 2 ,从而得到拟合的曲线方程 ? ? ? f ? x ; c1 , c 2 ,..., c m ? 。 2 然而,对拟合的结果还应给予合理的评价。若 yi 服从正态分布,可引入拟合的 x 量,

x ?
2

1 ? ? ?y
i ?1 2 i

N

i

? f ? x i ; C ??

2

(0-0-5)
2

把参数估计

? ? ? ? c ? ?c1 , c 2 ,..., c m ?

代入上式并比较式(0-0-3) ,便得到最小的 x 值
x min ?
2

1 ? ? ?y
i ?1 2 i

N

i

? ? f ? x i ; c ??

2

(0-0-6)
2

可以证明, x
2

2 min

服从自由度 v=N-m 的 x 分布,由此可对拟合结果作 x 检验。
2 2

2

由 x 分布得知,随机变量 x min 的期望值为 N-m。如果由式(0-0-6)计算出 x min 接近 N-m (例如 x min ? N ? m ) ,则认为拟合结果是可接受的;如果 拟合结果与观测值有显著的矛盾。 二.直线的最小二乘拟合
2

x min ?
2

N ?m ?2

,则认为

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设 x 和 y 之间的函数关系由直线方程 y=a0+a1x (0-0-7) 给出。式中有两个待定参数,a0 代表截距,a1 代表斜率。对于等精度测量所得到的 N 组 数据(xi,yi) ,i=1,2??,N,xi 值被认为是准确的,所有的误差只联系着 yi。下面利用 最小二乘法把观测数据拟合为直线。 直线参数的估计 前面指出,用最小二乘法估计参数时,要求观测值 yi 的偏差的加权平方和为最小。对 于等精度观测值的直线拟合来说,由式(0-0-3)可使

(0-0-8) 最小即对参数 a(代表 a0,a1)最佳估计,要求观测值 yi 的偏差的平方和为最小。 根据式(0-0-8)的要求,应有
i ?1

? ?y

N

i

? ?a 0 ? a 1 x i ??

2 ? a?a

? ?a 0 ? ? a1

? ? y i ? ?a 0
i ?1 N

N

? a 1 x i ?? ? a 1 x i ??

2 ? a?a

? ? ? ? 2 ? ? y i ? a 0 ? a1 x i ? ? 0,
i ?1 N

N

? ? y i ? ?a 0
i ?1

2 ? a?a

? ? ? ? 2 ? ? y i ? a 0 ? a1 x i ? ? 0 .
i ?1

整理后得到正规方程组
? ? a 0 N ? a1 ? x i ? ? y i , ?? ? 2 ? ? a 0 ? x i ? a1 ? x i ? ? x i y i . ??

解正规方程组便可求得直线参数 a0 和 a1 的最佳估计值
? a0
2 i i i

? a0

? 和 a 1 。即
i i

?? x ??? y ? ? ?? x ??? x y ? ? N ?? x ? ? ?? x ?
2 i 2 i

(0-0-10)

? a1 ?

N ?? x i y i ? ? ?? x i ? ? y i N ?? x i ? ? ?? x i ?
2 2

?

?
(0-0-11)

拟合结果的偏差
? a ? 由于直线参数的估计值 0 和 a 1 是根据有误差的观测数据点计算出来的,它们不可避免 地存在着偏差。同时,各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的,观测值 yi 与对应 ? y 于拟合直线上的 i 这之间也就有偏差。 ? 首先讨论测量值 yi 的标准差 S。考虑式(0-0-6) ,因等精度测量值 yi 所有的 i 都相同, 可用 yi 的标准偏差 S 来估计,故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为
x min ?
2

1 S
2

? ?y
i ?1

N

i

? ? ? ?a 0 ? a 1 x ?? .
2

(0-0-12)
2

已知测量值服从正态分布时, x
x min
2

2 min

服从自由度 v=N-2 的 x 分布,其期望值

?

1 S
2

? ?y
i ?1

N

i

? ? ? ?a 0 ? a 1 x i ??

2

? N ? 2.

由此可得 yi 的标准偏差
S ? 1 N ?2 ? ? ? y i ? ?a 0
i ?1 N

? ? a 1 x i ?? .

2

(0-0-13) ? a 这个表示式不难理解, 它与贝塞尔公式是一致的, 只不过这里计算 S 时受到两参数 0 和

? a 1 估计式的约束,故自由度变为 N-2 罢了。
式(0-0-13)所表示的 S 值又称为拟合直线的标准偏差,它是检验拟合结果是否有效的 重要标志。如果 xy 平面上作两条与拟合直线平行的直线 ? ? ? ? y ? ? a 0 ? a1 x ? S , y ?? ? a 0 ? a 1 x ? S , 如图 0-0-1 所示,则全部观测数据点(xi,yi)的分布,约有 68.3%的点落在这两条直

线之间的范围内。
图 0-0-1 拟合直线两侧数据点的分布

下面讨论拟合参数偏差,由式(0-0-10)和(0-0-11)可见,直线拟合的两个参数估计 ? a 0 a1 ? 值 和 是 yi 的函数。因为假定 xI 是精确的,所有测量误差只有 yi 有关,故两个估计参数 的标准偏差可利用不确定度传递公式求得,即

N ? ? ? ?a ? ? ?a ? S a 0 ? ? ? 0 S ? ; S a1 ? ? ? 1 S ? . ? ? ? ? i ?1 ? ? y i i ?1 ? ? y i ? ? 把式(0-0-10)与(0-0-11)分别代入上两式,便可计算得 N

2

2

S a0 ? S

N

?? x ? ? ?? x ?
2 i i

?x
N

2 i

2

;

(0-0-14)
2

S a1 ? S

N ?? x

2 i

? ? ?? x ?
i

.

(0-0-15)

三、相关系数及其显著性检验
当我们把观测数据点(xi,yi)作直线拟合时,还不大了解 x 与 y 之间线性关系的密切 程度。为此要用相关系数ρ (x,y)来判断。其定义已由式(0-0-12)给出,现改写为另一 种形式,并改用 r 表示相关系数,得

r ?

? ?x
i

i

? x ?? y i ? y ?
1/ 2

? 2 2? ?? ?xi ? x ? ? ? ?xi ? y ? ? i ? i ?

(0-0-16)

式中 x 和 y 分别为 x 和 y 的算术平均值。r 值范围介于-1 与+1 之间,即-1≤r≤1。当 r>0 时直线的斜率为正,称正相关;当 r<0 时直线的斜率为负,称负相关。当|r|=1 时全部 数据点(xi,yi)都落在拟合直线上。若 r=0 则 x 与 y 之间完全不相关。r 值愈接近±1 则 它们之间的线性关系愈密切。

利用最小平方法拟合直线趋势方程 在时间序列分析中, 我们也常常利用最小平方法拟合直线趋势方程, 直线趋势方程与直 线回归方程基本原理相同,只是直线回归方程中的自变量被时间变量 t 所取代,方程中的两 个待定系数也用同样的方法求得。 如果时间数列的一级增长量(即环比增长量)大致相等,则可拟合直线趋势方程。设直线 趋势方程为: y t ? a ? bt 。 如上面介绍方法可得出求解 a 和 b 两个参数的标准方程组:
? ? y ? na ? b ? t ? 2 ? ? ty ? a ? t ? b ? t

解方程组同样能得:
? n ? ty ? ? t ? y ?b ? 2 2 n ? t ? (? t ) ? ? a ? y ? bt ?

(9)

直线趋势方程 y t ? a ? bt 中,t 是时间序数, 往往间隔相等且连续。 为了简化计算过程,

直线趋势方程还可以采用简捷法的计算形式,求解参数。 简捷法求解直线趋势方程,前提是设 ? 入式(9),其结果就简化为:
? ? ty ?b ? 2 ? ?t ? ?y ? a? ? n ?

t?0

,这要用坐标移位的方法。将 ?

t?0



(10)

用式(10)求解 a 和 b 两个参数肯定会方便不少,但这里有两个假设要注意:其一,

? t ? 0 ;其二, t 的间隔相等。具体操作中 t 的设定为,当时间数列为奇数项时,取中间
一项(原点)为 0,原点以前的时期分别设为-1,-2,-3,? ,原点之后各期设为 1,2,3,?; 当时间数列为偶数项时,原点就在中间两项的中点,此时可取中间两项分别为-1,1,往上、 往下方向分别依次为-1,-3,-5,?和 1,3,5,?等等。 简捷法的计算形式为大家在趋势预测中简化了计算过程,但实际应用中也经常会出错, 其原因:首先,可能是 t 的设定条件没有满足。其次,用简捷法计算出的趋势方程与用标准 方程组计算出的方程往往是不一致的,在 t 的新设定条件下,参数肯定发生了变化,不要为 此产生混淆,但预测出的结果应该是一样的。最后,要提醒注意的是,用简捷法得到的趋势 方程用来预测结果时,一定要用 t 的新设定序号代入方程,否则也会得出错误结果。 最小平方法的实际应用分析 例一、有 10 个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下: 企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 生产性固定资产价值(万元) 318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525 工业总产值(万元) 524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801

要求:⑴说明两变量之间的相关方向及程度 ⑵编制直线回归方程 ⑶计算估计标准误 ⑷估计生产性固定资产(自变量) 为 1100 万元时总产值(因变量) 的可能值。 解题分析:本题是典型的相关与回归分析计算题,首先要判断两变量之间是否相关,并

计算相关系数。相关系数的计算可采用多种途径,下面介绍常用三种手法。其一,传统 的列表手工计算,把相关的资料在表格的合计栏得出。其二,利用计算器的功能计算, 最好计算器有统计功能。其三,利用计算机中的统计软件来计算,目前统计软件也有多 种多样,最普通或方便的是 Excel。计算本题时,在 Excel 的界面中输入 x 和 y 各项数 据,按列排列,然后打开工具菜单,点击“数据分析” ,再点击“相关系数”和“回归” 功能,很方便地获得计算结果(本题用 Excel 解可参考本书的附录) 。当然,利用计算 机计算容易受条件所限。 解题过程:计算得Σ x2=5668539 ∑y2=10866577 ∑xy=7659156 ∑x=6525 ∑y=9801 n=10 ⑴计算协方差,σ xy=1264003.5 计算的协方差为正数,说明正相关关系。 利用相关系数的公式计算 r 。
r ? n ? xy ? ? x ? y n ? x ? (? x )
2 2

n ? y ? (? y )
2

2

=0.947757

属于高度相关。 ⑵设直线回归方程:yc =a+bx

先求解 a、b 两个参数,利用上面式(4)计算

? n ? xy ? ? x ? y ?b ? 2 2 ? n ? x ? (? x ) ? ?y ?x ? ? a ? n ?b n ?

b=0.8958 a=395.59 yc=395.59+0.8958x 这里不能把 a 和 b 的位置弄错。其中 b 是回归系数。
S y.x ?

?y

2

? a ? y ? b ? xy n?2



=126.65(万元)

⑷yc=395.59+0.8958×1100=1380.97(万元)

分析土石坝坝基或绕坝渗流的测压管水位(或渗水压力)与水库水 位的关系,应用最小二乘法知识
此问题主要出现在水利工程专业的《水利工程管理》课程中,主要应用于分 析土石坝坝基或绕坝渗流测压管资料, 所运用的方法是回归分析法。 一般情况下, 坝基或绕坝测压管水位(h )与水库水位(H)变化的关系符合线形变化规律, 即可用公式 y=a+bx 表示(式中自变量 xi 表示库水位;因变量 yi 表示测压管水 位;a 、 b 为待定系数) 。用最小二乘法进行回归分析的一般步骤为: (1)将实 测数据列表; (2)将表列数据点绘在坐标纸上,作出散点图; (3)根据散点图确

定变量之间的关系,如直线关系等; (4)列表计算回归系数 a、b ,求出回归方 程; (5)计算相关系数,并进行相关显著性检验; (6)回归线的精度分析,估计 预报(或拟合)的精度。 [实例]某土石坝观测的坝基测压管水位(h )与对应库水位(H)的数据见 下表,试用一元线性回归分析法建立相关关系式。 上游水位(H)与测压管水位(h )关系表 上游 水位 测 压 管 水 位 分析:首先设上游水位为自变量 x i ,测压管水位为因变量 y i ,作散点图,并建 24.79 25.11 25.37 25.58 25.46 25.91 26.21 26.15 26.03 39.50 42.70 45.80 46.10 44.00 48.00 50.70 51.10 52.20 单位:m

立 回 归 方 程 y=a+bx ; 其 次 , 计 算 回 归 系 数 b ?

?
i ?1

n

xi yi ?

1 n ?

( ? x i )( ? y i )
i ?1 i ?1 2

n

n

?x
i ?1

n

2 i

1 n

(? xi )
i ?1

n



a ? y ? bx

, 求 解 回 归 方 程 ; 再 次 , 计 算 相 关 系 数

r ?
n 2 i ?1

?
i ?1

n

xi yi ? 1 n
n

1 n

( ? x i )( ? y i )
i ?1 i ?1 n 2 2

n

n

,并进行相关显著性检验;最后,进
n 2 i ?1

[? xi ?

( ? x i ) ][ ? y i ?
i ?1 i ?1

1 n

(? y i ) ]

行回归线的精度分析。 解答: (计算过程略) y=20.40+0.1118x.

分析土石坝沉陷过程线和预报沉陷过程,应用最小二乘法知识
此问题主要出现在水利工程专业的《水利工程管理》课程中,主要应用于分 析土石坝沉陷量随时间变化的规律及沉陷量预报,所运用的方法是回归分析法。 根据土石坝沉陷过程的特点可知,沉陷过程线是一条斜率变化很大的曲线,曲线 初期很陡,后期趋于平缓。通常选用四种数学基本曲线建立经验公式,即对数曲 线(St=a+blnt) 、双曲线(St=t/at+b)、幂函数曲线(St=atb) 、指数函数曲线(St=aebt) 等(式中 S t 为时间 t 的总沉陷量;a 、b 为待定系数) 。由于沉陷量(S t)与时

间 (t ) 的关系不是线性关系, 因此首先要对数学曲线通过变量代换使之线性化, 然后再应用最小二乘法进行计算,求出待定系数 a 、b ,从而确定经验公式。 有了经验公式, 即可达到掌握土石坝沉陷变化的规律、预测今后沉陷变化过程的 目的。总之,在具体分析两变量间呈曲线关系时,可通过线性变换方法将非线性 关系变为线性关系, 然后根据一元线形回归的方法求出线性回归方程,最后再换 算为曲线方程。 [实例]某土石坝上游 14m 桩号 0+250 测点实测 1966—1974 年沉陷量如下表, 试用一元线性回归分析建立沉陷量( s )与时间( t )的近似函数关系式并预 报 2 年内的沉陷量。 某土石坝沉陷量记录表 观测年月 1966.12 1967.12 1968.12 1969.12 1970.12 1971.12 1972.12 1973.12 1974.12 1975(预报) 1976(预报) 分析: 首先根据表中的实测数据绘制散点图。然后根据散点呈现的图形及数 学知识可以认为累计沉陷量(s) 与时间 (t) 之间具有双曲线关系,即 令y ?
1 s 1 s ?a? b t

单位:m 累计沉陷量(m) 始测 0.08 0.13 0.18 0.20 0.23 0.27 0.28 0.29

,

、 x ? ,则式
t

1

1 s

?a?

b t

变为 y=a+bx。此式为一般直线函数式,即可用求

回归直线方法求得回归系数 b 及常数项 a.最后把求出的线性回归方程,再换算 为曲线方程,并且据此预测 1975 年和 1976 年的累计沉陷量。 解答: (计算过程略)

s?

t 2 . 18 t ? 10 . 44



s 75 =0.30m;

s 76 =0.31m.

进行市场经营预测,应用最小二乘法知识
此问题主要出现在水利工程专业的《工程造价与招投标》课程中,主要应用 于市场经营预测—直线回归法。 直线回归法是依据已知相互因果关系的许多组数 据(如产值和利润的关系,时间和产值、利润的关系等) ,并假设这些关系呈直 线变化,从而建立直线方程,使其延伸,预测未来。 [实例]某水利企业 2005 年 1—10 月份实现的利润分别为 15、16、 20、 17、19、 22、18、21、23、25 万元,试用直线回归法预测该企业第 11 月份可能实现的利 润。 分析:首先设月份为自变量 xi ,利润为因变量 yi;其次,计算回归系数 b 和 a ; 再次,建立回归方程 y=a+bx;最后,利用回归方程预测第 11 月份的利润值。 解答: (计算过程略) 回归方程 y=0.91x+14.6;
y 11 =24.61 万元.

结束语

最小二乘问题广泛地存在于工业领域、经济领域、医学领域等多个领域中,最

小二乘算法在实际中具有很好的应用。 现实中优化问题十分常见, 所采用的优化方法也多种 多样,除了最小二乘算法外,还会涉及到许多最优化算法对系统的最优解进行求解和寻找。 优化问题广泛地存在于控制领域,并且优化算法具有十分重要的实用性。

参考文献
[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第 4 版)[M].北京:清华大学出版社,2001. [2]黄俊钦.静动态数学模型的实用建模方法[M].北京:机械工业出版社,1988. [3]宋文臣主编.True Basic 语言程序设计[M].北京:电子工业出版社,1994. [4]王能超.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,1984. [5]肖明耀.误差理论与应用[M].北京:计量出版社,1985.

[6]宋文臣,王卫国等.微生物工程数据处理与建模研究[J].青岛化工学院学 报,1996,17(3):284-289 [7]赵新那等.数值分析在分析化学中的应用[M].武汉:中南工业大学出版社,1987. [8]徐成贤,陈志平,李乃成.近代优化方法[M].北京:科学出版社,2002.


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