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高考数学必考知识点专题复习函数单调性判定方法知识点解析

函数单调性判定方法 函数的单调性是应用广泛的一个重要性质, 现行全日制高中教科书 (必修) 人教社 2003 年版高一教材在介绍了其定义以后, 用三个简单的例子说明了单调性的判别和证明。 在实际 教学时,应该在教材的基础上予以适当的补充,使学生对单调性的学习更加完整,为今后的 数学学习奠定扎实的基础和思维方法. 一、讨论函数单调性的方法 1、化简函数利用常见函数的单调性判别. 在初中已经学过了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图象,根据单调性的定 义和图象的关系容易得出它们的单调性。有些函数可以利用它们的单调性直接讨论. 例 1:讨论函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 的单调性. x 分析:求出定义域 {x x ? 0} 。把函数化简为 y ? 2 x ? 1 ?3. x 是增函数. 1 ? 在 (?? ,0) 和 (0,?? ) 上都是增函数,而 2 x 也是增函数,? y 在 (?? ,0) 和 (0,?? ) 上 x 这里可补充说明函数的和、差的单调性结论: 在公共区间内,若函数 f ( x) , g ( x) 都有单调性,则有: 若 f ( x) 增, g ( x) 增,则 f ( x) ? g ( x) 增; 若 f ( x) 增, g ( x) 减,则 f ( x) ? g ( x) 增; 若 f ( x) 减, g ( x) 增,则 f ( x) ? g ( x) 减; 若 f ( x) 减, g ( x) 减,则 f ( x) ? g ( x) 减; 例 2:讨论函数 y ? x ? 1 ? x 的单调性. 分析:求出定义域 [0,?? ) ,化简函数 y ? 1 x ?1 ? x ,? x ? 1 和 x 在 [0,?? ) 上都是 增函数,? x ? 1 ? x 也是增函数。? y 在 [0,?? ) 上是减函数. 2 进一步可讨论函数 y ? 4 x ? 2 x ? 1 的单调性。它的定义域是 (??,?? ) ,且 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , x 2 ? 2x ? 3 把函数化简 y ? 4x ? 2x 2 ? 6 ? 5 5 ? 2 ?2. 2 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 ?x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 在 (?? , 1] 上减,在 [1,??) 上在增, ? y 在 (?? , 1] 上增,在 [1,??) 上在减. 2、化简函数作出简图利用图象判别 有的函数化简以后能作出简图, 那么就可以根据图象讨论它的单调性。 在此可以适当补 充作图方法和函数图象的变化关系. 例 3:讨论函数 y ? x ? 2 ? 3 ? x 的单调性. 分析:函数化简为 -1- ?2 x ? 1 ( x ? 3) ? ? y ? ?5 (?2 ? x ? 3) ,简图如右, ? ? ?1 ? 2 x ( x ? ?2) ? y 在 (??,?2] 上是减函数,在 [3,?? ) 上是增函数,在[-2,3]上是常数函数. 4 ? 3x 的单调性. x?2 分析:先求出定义域 (??,2) ? (2,??) , 2 函数化简成 y ? ?3 ? . x?2 2 它的图象由 y ? ? 的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位得到. x 例 4:讨论函数 y ? 对称中心为点(2,-3) ,如右图. 由图得 y 在 (?? ,2) 和 (2,?? ) 上都是增函数. 3、利用定义判别 当不能化简作图或直接得到单调性的时候,可以尝试用单调性定义来判别. ax ( a ? 0) 的单调性. 例 5:讨论函数 f ( x ) ? 2 x ?1 分析:先求出定义域 (??,?1) ? (?1,1) ? (1,??) . ax ax a( x 2 ? x1 )( x1 x 2?1 ) 设 x1 ? x 2 ,作差 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 1 ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x12 ? 1)( x 2 ? 1) 2 2 ? x 2 ? x1 ? 0 ,?符号由 a , x1 x2 ? 1, x1 ? 1, x 2 ? 1 来确定, 对 a 讨论: 2 2 a ? 0 时,在 (??,?1) 和 (1,?? ) 上, x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ?1 ? 0 , 2 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,? f ( x) 是减函数。在(-1,1)上, x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ?1? 0 , ? f ( x) 是减函数 a ? 0 时,同理讨论可得到 f ( x) 在 (??,?1) , (?1,1) , (1,?? ) 上都是增函数。 4、复合函数单调性的判别 关于复合函数,可补充说明其单调性的结论,这对今后讨论指对数函数、三角函数等复 合函数的单调性非常重要和有益。 设 y ? f (u ), u ? g ( x), u 关 于 x 的 单 调 区 间 x ?[a, b] 对 应 y 关 于 u 的 单 调 区 间 u ? (m, n) ,则容易证明复合函数 y ? f [ g ( x)] 在 ( a, b) 上单调性如下: u 在 ( a, b) 上增, y 在 ( m, n ) 上增,则 y ? f [ g ( x)] 在 ( a, b) 上增; u 在 ( a, b) 上减, y 在 ( m, n ) 上增,则 y ? f [ g ( x)] 在 ( a, b) 上减; u 在 ( a, b) 上增, y 在 ( m, n ) 上减,则 y ? f [ g ( x)] 在 ( a, b) 上减; u 在 ( a, b) 上减, y 在 ( m, n ) 上减,则 y ? f [ g ( x)] 在 ( a, b) 上增; 例 6. 讨论函

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