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四年级容斥原理(邓小琼)


简单的容斥原理
教学目标:1、理解容斥原理的内涵,能够独立通过图形分析题中关系,求解一 般容斥原理问题。 2、理解运用容斥原理解决实际问题。 3、用变通思想来看容斥原理,将理论与实际相结合求解更深的容斥 原理类型题。 教学过程: 一、引入: (1) 一张照片上有两对父子,数数却只有三个人,为什么呢? (2)一个艺术学院班有 45 人,你学歌我练舞.唱歌的人有 26 人,跳舞的有 25 人。问唱跳都学的有几人? 经过学生回答,得出容斥原理的概念:因为有了容斥问题的发生,当中出现了包 含和排斥现象,这是一个重要的原理-----容斥原理。 分析引入(2) :

唱歌 ?人 26 人

跳舞 25 人

共 45 人 解题过程:26+25-45=6(人) 【例1】 一次期末考试,某班所有同学语、数成绩至少有一门得满分。已知有 25 人数学得满分,有 22 人语文得满分,并且有 4 人语、数都是满分, 那么这个班有多少人? 分析: 人语、 “4 数都是满分” 也就是说在统计数学满分时这 4 人被计算了一次, , 在统计语文满分时这 4 个人又被统计了一次。这 4 人被多计算了一次。 解析:

25 人 4人

22 人

全班?人 25+22-4=43(人) 答:这个班有 43 人。

练习: 1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成 绩。其中语文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有 多少人? 2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有 24 人,会弹电子 琴的有 17 人,其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人? 【例2】 某班有 48 人,班主任说: “做完语文作业的请举手。 ”有 37 人举手。 又说: “做完数学作业的请举手。 ”有 42 人举手。最后问: “有没有哪 个同学一门作业也没完成呀?”结果无人举手。问:这个班语文、数 学作业都完成的人数是多少? 分析:没有人一门也没完成,即排除了一次手都没有举的可能。剩下的同学要么 举过一次手,要么举过两次手。 解析:

37 人 ?人

42 人

共 48 人 37+42-48=31(人) 答:这个班语文、数学作业都做完的人数是 31 人。 小结:关于容斥原理中的计数问题,通常寻求问题的关键是排除叠加的部分,画 示意图是一个比较好的帮助我们理解题意的好方法。 练习: 1、五(1)班有 40 个学生,其中 25 人参加数学小组,23 人参加科技小组,有 19 人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加? 2、 某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛, 结果 3 人两项比赛都获奖了, 有 27 人两项比赛都没有获奖。 已知作文比赛获奖的有 14 人,问数学比赛获奖的 有多少人? 【例3】 某班有 56 人,参加语文竞赛的有 28 人,参加数学竞赛的有 27 人,如 果两科都没有参加的有 25 人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有 多少人? 分析: 这道题中告诉我们的已知条件中增加了一个两科都没有参加的人有 25 人, 意思就是至少参加一科竞赛的人数是 56-25=31(人)。再求两科竞赛同时参加的 人数。 解析:

25 人未参加

28 人 ?人

27 人

全班 56 人 56-25=31(人) 28+27-31=24(人) 答:参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。 练习: 1、一个旅行社有 36 人,其中会英语的有 24 人,会法语的有 18 人,两样都不会 的有 4 人。两样都会的有多少人? 2、三年级一班参加合唱队的有 40 人,参加舞蹈队的有 20 人,既参加合唱队又 参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算,这个班共有多 少人? 补充思考题: 1、 光明小学举办学生书法展览。 学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品, 其中有 24 幅不是五年级的,有 22 幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品 共有 10 幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?(红卡奖励题) 2、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有 110 件不是一年级的,有 100 件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有 32 件。 其他年级参展的作品共有多少件? 总结: 本次课主要学习有关容斥原理的一些简单应用题。求解此类问题的关键是 找准叠加的数据, 排除叠加和没有存在的部分,解题过程中准确画出示意图是求 解容斥原理问题的关键。 它能够帮助我们很好的理解题意, 从而正确、 快速解题。


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