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2014年立体几何高考题

2014 年立体几何高考题
1、(新课标全国 I 卷)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平 面 BB1C1C . (I)证明: B1C ? AB;

(II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.

2、(新课标全国 II 卷)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,
底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的重点.

(I)证明: PB //平面 AEC ; (II )设 AP ? 1, AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体
积V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

3、(四川卷)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1和

ACC1 A1 都为矩形。
(Ⅰ)若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)设 D , E 分别是线段 BC , CC1 的中点,在线段

A1 B1

C1 E

A D B

C

AB 上是否存在一点 M ,使直线 DE / / 平面 A1MC ?请证明
你的结论。

1

4、(浙江卷)如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE ;
?CDE ? ?BED ? 90? , AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 .

A

(I)证明: AC ? 平面 BCDE ;

D
(II)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

C B

E

5、(山东卷)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,

AP ? 平面PCD, AD∥BC , AB ? BC ?
分别为线段 AD, PC 的中点. (I)求证: AP∥平面BEF ; (II)求证: BE ? 平面PAC .

1 AD, E , F 2

6、(福建卷)如图,三棱锥 A ? BCD , AB ? 平面BCD, CD ? BD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)若 AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱 锥 A ? MBC 的体积.

2

7、(北京卷)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直 于底面, AB ? BC , AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 AC 1 1 、 A1

E B1

C1

BC 的中点.
(I)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (II)求证: C1F // 平面 ABE ; (III)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A B F

C

8、(辽宁卷)如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且

AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F、G 分别
为 AC、DC、AD 的中点.

A E G B F D C

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCG; (Ⅱ)求三棱锥 D-BCG 的体积.

E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已 9、(江苏卷)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D ,
PA ? 6 ,BC ? 8 ,DF ? 5 . 知 PA ? AC ,

(I)求证:直线 PA∥平面 DEF; (II)平面 BDE⊥平面 ABC.

3

10、(天津卷)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是平行四边形, BA = BD =

2,

AD = 2 , PA = PD =

5 , E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.

(Ⅰ)证明 EF // 平面 PAB ; (Ⅱ)若二面角 P - AD - B 为 60? , (ⅰ)证明 平面 PBC ^ 平面 ABCD ; (ⅱ)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P F B D E A

C

11、(重庆卷)如题(20)图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,

PO ? 底面 ABCD , AB ? 2, ?BAD ?
M 为 BC 上一点,且 BM ?

?
3



1 . 2

(I)证明: BC ? 平面 POM ; (II)若 MP ? AP ,求四棱锥 P ? ABMO 的体积.

12、(安徽卷)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为

2 17 .点 G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面
ABCD , BC // 平面 GEFH .

(I)证明: GH // EF; (II)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.

4

13、(广东卷)如图,四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥平面 ABCD , AB ? 1, BC ? PC ? 2 , 作如图折叠,折痕 EF ∥ DC ,其中点 E , F 分别在线段 PD, PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ⊥ CF . (I)证明: CF ⊥平面 MDF ; (II)求三棱锥 M ? CDE 的体积. A

B

A M

B

C E P F

D E P

C F

D

14、(陕西卷)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别交 四面体的棱

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .
(I)求四面体 ABCD 的体积; (II)证明:四边形 EFGH 是矩形.

A 1 H E D B F G C 2 2

 主视图

左视图

俯视图

5

15、(江西卷)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AA 1 ? BC, A 1 B ? BB 1.
(I)求证: A1C1 ? CC1 ; (II)若 AB ? 2, AC ? 3, BC ? 7 ,问 AA1 为 何值时,三棱柱 ABC ? A1B1C1 体积最 大,并求此最大值。

16、(湖北卷)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
E , F ,P,Q,M,N 分别是棱 AB , AD , DD1 ,
BB1 , A1 B1 , A1 D1 的中点.

求证:(Ⅰ)直线 BC1 ∥平面 EFPQ ; (Ⅱ)直线 AC1 ⊥平面 PQMN .

6


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