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2013年高考数学全国课标Ⅱ卷(理科)第21题解答评析_图文

2 0 1 4年 第 3 期 

河北理科 教 学研 究 

考试指 导 

2 0 1   3年 高考数学全 国课标Ⅱ 卷 

( 理科 ) 第2   1 题解 答评析 
考 试 指 导 
1 题目  

甘 肃 省 玉 f 1 市 第 中学

. 

谢鹏 作

7 3 5 2 l l  

( 一2 ,  0 ) 时, (  )<0 ; 当  ∈ (  。 , + ∞)   时,  (  )>0 ; 从 而 当  =  。 时, 厂 (  ) 取得 

已知 函数 f (  )= e  一I n (   +m)   ( 工) 设 z =0 是f (  ) 的极 值 点 , 求 m,   并讨 论 厂 (  ) 的单 调性 ;  
( Ⅱ)当 m ≤ 2时 , 证明 f (  )>0 .  

最小值 . 由 厂(  。 )=0 得 e X o=  

, 即  

l n (  o+2 )=一  o , 故f (  )≥ f (  0 )= e   。   +2 )=   =   >  

该题 目对考 生 自主探 索 能力 , 逻 辑 思 维 

能力 , 创新意识等有较高要求 , 体现出考查学  生 的学 习潜 能 和 高考 选 拔 功能 . 下 面 给 出解 
法及 评析 .   2   题 目解 法及 评析 
1   。   十 ,“ 一  

0 . 综上 : 当 m ≤ 2时 , 厂 (  )>0成 立 .  

评析 : (工) 是 由极值 点讨 论 函数 的单 调 

性, 利用极值点的概念 , 极值点与导数之间的 

, 函数 f (  )的单调 区 间 由   解法 1 : ( I ) 因为  (   ) =e   一 — ÷一 ,   关系得 m = 1
由  =0是 f (  ) 的极值 点得  ( 0 )= 0 , 所 
以 m : 1 . 于是 f (  )的 定 义 域 为 ( 一1 ,  

厂(  )= e x一  

函数值 的正负判断, 故 

(  )的零 点及 个数 成为影 响该 问题解 答 的 

+。 。 ) , 由 y=e  和  =一  

在( 一l ,  

关键 , 面对超越方程 e  一  

=0 的根 , 高 

+ ∞)内单 调 递 增 知 导 函数  (   )= e  一  

中阶段 数 学 采 用 观 察 特 殊 值 验 证 的方 法 解 
答, 除 了题 中指 出 的  =0 , 容易 猜测 有 唯一 

在( 一1 , +∞) 内单调递增且 厂( o )=  
0 , 因此 , 当  ∈ ( 一1 , 0 ) 时,   (  )<0 ; 当 
∈( 0 , +o 。 ) 时,  (  )>0 . 即f (  ) 在( 一1 ,  

零点 , 从而转 化判 断  (  ) 的单调 性 . 由于 Y   =e   和 y=一   在( 一1 , + ∞) 内单调 递 

0 )内单调递 减 , 在( 0 ,+ ∞)内单调 递增 .  
( Ⅱ)当 m ≤ 2 ,   ∈( 一   ,+ ∞)时 ,   I n (   +m)≤ I n (   +2 ) , 故 只需 证 明当 m =  

增, 故厂(  )=e x 一  


为递增函数 , 有唯 

零点 .  

2时 , f (  )> 0 .由导 函数  (  )= e  一  
+ 

( Ⅱ) 当 m ≤ 2时 , 由I n (   +m) ≤I n (  
+2 ) 得e  一I n (   +m) ≥e  一I n (   +2 ) , 所 
以证 明 厂 (  )= e  一I n (   +2 )>0且 p 可, 从 


在( 一2 , + ∞) 内单调 递增 . 且  ( 一1 )  

<0 , 厂( 0 )>0知 ,  (  )=0在 ( 一2 , +。 。 )  

族 函数 到一个 函数 , 从 m 的可 变性 到 m =  

有 唯一 实数 根  。 , 且  。∈ ( 一1 , 0 ) . 当  ∈  
?

2时的特 例 , 是 以 相 同 自变 量 所 对 不 同 函数 

46 ?  

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河北 理科教 学研 究 

考试 指导 

的函数 值 比较 大 小 确 定 的 , 对 于证 明 厂 (  )   >0 , 同( I) 知  (  )为 增 函数 , 故 零 点 唯 


函数 , 当  ∈ (   ,+ 。 。 )时 , g (  )> 0且 p  

(  )>0 , 厂 (  ) 为增 函数 . 所以 厂 (  ) 在定 



设其 ‰ . 面对无法求解而大胆去设 的过 

义域 内的最小值为 厂 (  。 ): e x o—I n (  。+  
eX o m)= e X o~i n   = eX o + x0 : e X o +

程 既符 合 思维 习惯 , 又 能得 到 问题 的有 效 进 
展, 是 高考试 题 大胆创 新 的一 面 , 考 查学 生 面  对 考题 的策 略 与方法 , 解题 的胆 识 与勇气 , 敢 

去一  

m ≥2一   , 取“ =” 当且 仅 当 。=0 , 从而 由  
g(  。 )= 0得 m = 1 , 故 2一 m = l>0 . 故  当 m ≤ 2时 厂 (  )>0成 立 .  

于 创造 的能 力 . 正是 因 为 戈  的 出现 , 有e   o=   — _ 
n + 

成立 , 才 能 在 计 算 f(  。 )= e x o一  

评析 : ( 工)同解 法 1的评 析 ( 工) , 判 断  (  ) 的正 负 值 或零 点可 用 导 数 的 方 法 , 由   于 导 函数  (  ):   形式 复杂 ,  

I n ( X O + 2 ) 时 自然的代换为 (  。 )=_ n   +  。 , 接着运 用均值 不等 式或 配方 法证 明 
厂 (  。 )> 0即可 .  

其 函数的正负值或零点与其分母无关(   +1  
>0 ) , 进 而采用 部分 判断 的策 略 , 引入 g (  )  
=e   (   +1 ) 一1 , 由g   (   )>0且 g ( o )=0  

解 法 2 : ( I ) 因 为 厂 (   ) = e   一  ÷  ,  
由  =0是 厂 (  ) 的极值 点得 厂( 0 )=0 , 所  以 m = 1 .于 是 厂 (  )的 定 义 域 为 ( 一1 ,  

知  (  )的单调性 即得  (  )的正负值 .  

( Ⅱ) 把f ( 戈 ) 看成含参变量 m 的函数 
时, 要证明 厂 (  )> 0 , 可按 常规 要求 “ 求 导函  数 一 解 导 函数零 点 一 讨论 导 函数 的正负 值  判 断 原 函数 单 调性 一 求 原 函数 的极 值 , 最 

+。 。 ) ,导 函 数 厂(  ) = e  一  


=  

设g (  )= e  

+1 ) 一1 , 则 



g   (  )= e   (   +1 )+e  >0 , 所以 g (  ) 在 

值 ”五步 解答 . 作 为高 考压 轴 题 , 对 考 生解 答  过 程要 求 并 非 一 帆风 顺 , 往 往 在某 环 节 设 置  障碍 , 特别 是 “ 零 点 ”问题 . 如 本 题 求 导 函数 

( 一1 ,+ ∞) 内是增 函数 , 又 因为  ( 0 )= 0 ,  
所以 , 当  ∈ ( 一1 , 0 ) 时, g (  )<0即  (  )   <0 ; 当  E ( 0 , +∞) 时, g(  )>0 即 厂(  )  

>0 . 所以 厂 (  )在 ( 一1 , 0 )内单 调 递 减 , 在  ( 0 , +。 。 )内单调 递增 .   ( Ⅱ)函 数 厂 (  )的 定 义 域 为 ( 一 m,  
+。 。 ) , 且 
生  


厂 (   ) 的 零 点 , 即 方 程e x 一  ÷  = 0 有 几  
根无从 知 晓 , 也无 法获 得 , 为 了研 究  (  ) 的 
零 点 问题 , 有 必要对  (  ):旦 _  _ ±   —  

(  ) = e   一 — — —   一

=  

进行 分 解 , 记  (  ): e   (   + m)一 1时 ,   (  ) 与  (  ) 有相 同的零点 与正 负 函数 值 .  
从而 简 化 为 研 究 g (  ) ,由 g   (  ) > 0且 

设g (  ): e x (   +m)一1 ,  

由g   (  )=e   (   +, n )+e  >0 , 知g (  ) 在 

g ( 一 m):一1 知g (  ) 为增 函数并 函数 值从 
负数 增到正 数 , 故  (  )有 唯一 零 点 且 函数 

( 一   ,+ ∞)内 为 增 函 数 , 所 以  (  ) >  
g ( 一, n )=一1 , 设 g (  o )= 0 , 即e   。 (  0+  

值由负数增到正数 . 这种通过化难为易 , 旁敲  侧击 , 化整为零 , 局部击破等策略是高考的热 
点, 考查 考 生数 学 思维 , 探 究 意 识 与 学 习  潜能 .  
?

m)= l , 即e x o=— —   ~ . 则 当  ∈ ( 一 m,  
o 十 , ,   。

) 时, g (  )<0即 厂(  )<0 , f (  ) 为减 

47 ?  

2 0 1 4年 第 3期 

河 北理 科教 学研 究  ,  

考试 指 导 

解法 3 : ( I) 因为  (  )= e  一  

1 )≥ f ( o )= 1> 0 , 且 口 e  一I n (   +1 )>0恒 
成立 . ①当 m≤1 时, e  >I n (   +1 ) ≥I n (   +m) , 即当 m ≤ 1 时, f (  )>0成立 ; ② 当  1< m ≤ 2 时, 先证 明对任 意  ∈ R, 不等 式 

厂 (   ) = e   + 南

> o , 故 厂 (   ) 为 增 函  

数, 由于  ( 0 )=0 , 因此 当  ∈ ( 一1 , 0 ) 时,  

厂(   )<0 ; 当  ∈ ( 0 , +∞) 时,   (  )>0 .  

e  ≥ 1 +   恒成立 . 设g (  )=e  一1一  , 则 

所以 厂 (  )在 ( 一1 , 0 )内单 调递 减 , 在( 0 ,   + ∞)内单 调递 增 .  

(  )=e   一1 , 解得零点为 0 , 易知 g (  ) 在 
( 一 ∞, 0 ) 上 是减 函数 , 在( 0 , +∞) 上是增 函  数, 所以g (  ) 在  =0 时取 最小值 g( 0 ) , 即  成立 . 下面, 对e  ≥ 1 +   两 边取对 数有  ≥  
I n (   +1 ) , 且 p   +1 ≥l n (   +2 ) . 所以, 当 1<  
m ≤2时 , 有 e  ≥   +1 ≥I n (   +2 )≥ I n (  

( Ⅱ) 因为  (  )=e   一 —÷ _ = ,  (  )   e  一1一   ≥g ( o )=0 , 所以 e  ≥ 1+   恒 

= e   + 南

> o , 所 以 厂 (   ) 在 ( 一 m ,  
+ 。  

+。 。 ) 是增 函数 , 又 因为 l i a r  f (  ) 一 一 ∞,  
一 一 m

+ m) ( 等号 不 同时成立 ) , 即e  一I n (   + m)  

故存在 X O 使 /(  。 ):0 , 即e X o=  
成立 , 因而 当  ∈ ( 一m,  。 ) 时,  (  )<0 ,  

> 0成立 .  

综上 , 当 m ≤ 2时 , 厂 (  )>0 .  
评析 : 由( 工 ) 知f (  )= e  一l n (   +1 )≥  

f (  ) 为减 函数 , 当   ∈(  。 , +∞) 时, 厂(  )  
>0 , f (  ) 为增 函数 . 所以 厂 (  ) 在定 义域 内 

f ( o )=1>0 , 即得不等式 e  一I n (   +1 )>0 ,   显然 当  ≤ 1 时, e  >I n (   +1 ) ≥I n (   +m)  

的最小值为 厂 (  。 )= e x o—I n (  。+m)= e x o  
. 一

I nm  1 -= e     +   o: e   +—   一 m ≥ 2一 m

1  

1  

成立 ; 当 1< m≤2 时, 引入不等 e   ≥1 +  ,  
,  

若 取“: ”当且仅 当 。=0 , 于是 m = 1 , 从而 
2一 m =2—1>0 . 所以 厂 (  )> 0 成立.  

两边取对数得  ≥I n (   +1 ) , 等价为  +1 ≥   l n (   +2 ) , 此 过程 是 该 解 法 的 核 心 . 首先 , 不  等式 转 化 变形 是 不 等式 证 明 的一 种 思 路 ; 其  次, 解答过程中不等式从何而来 ? 可借助于题  目本 身 , 前 问结 论 中或解 答过 程 中出现 的“ 或 
明或暗 ”的不等 式 , 或 大 家熟 知 的 , 常见 的课  本例 习题 中的不 等 式 , 将 其 转化 变 形 证 明题 

评析 : 解 法 2与解 法 3的不 同之 处 在 于 

导函数  (  ) 正负值的判断过程 , 为 了研究  导函数  (  ) 的零点问题 , 对 函数  (  ) 求 
导, 由  (  ) > 0知  (  )为 增 函 数 , 故 

(  ) 恒 为 负值 ? 恒 为正 值 ? 还是 先负 值后 正  值? 自然 的想 法 是 算 两 侧 极 限 . 该 过 程 是 为 

目, 是长期以来高考压轴类试题考查考生能 
力 经久 不衰 的技 巧 .  
3 感悟 

了更清楚 的了解导 函数 的某 种性 态对其求  导, 是 对 导 函数 求 导 , 进 一 步 判 断 导 函数 的 
某些特征 . ( 而 不 是 通 过 二 阶求 导 研 究 原 函 

高 考试题 是许 多专 家 , 学者 , 优 秀教 师集  体 智慧 的结 晶 , 有 很 好 的研 究 价 值 与 导 向功  能. 所 以我们 应对 高考 试题 仔细分 析研 究 , 了 

数, 从该角度理解 , 此 法并 非超纲 ) , 是广大 

高中生能够接受 的, 也是近年高考试题命制 
的热点 环节 .  

解动向, 探寻背景 , 摸清命题意图 , 挖掘高考 
试题所 蕴含 的反 映数 学本 质 的思 想 方法 与技 

解法 4 :( Ⅱ)由 ( I)的 解 答 知 ,函 数  厂 (  ): e  一I n (   +1 ) 在  =0时取最 小值 ,  
即对  ∈ ( 一1 , + ∞) , 厂 (  )= e  一I n (  +  
?

巧, 揭示 规律 . 使我 们 深 刻 的理 解 数 学 , 拓 宽 

视野 , 逐步达到对高考试题触类旁通 , 举一反 
三 的 目的 .  

48 ?  


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