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正弦定理习题


5.1

包括试卷题型和考点组成、难度、适 用年

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5.1

包括试卷题型和考点组成、难度、 适用年

一.选择题(共 13 小题) 1. (2013?陕西)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 2. (2013?陕西)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 3. (2013?山东)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= ,则 c=( A. B.2 C. D.1 )

4. (2013?辽宁)在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b,则∠B= ( A. ) B. C. D.

5. (2013?湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= A. B. C.

b,则角 A 等于( D.



6. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=( A. B. C.

) D.1

7. (2012?广东)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

,则 AC=(

) D.

8. (2010?湖北)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( A. B. C. ﹣ ﹣

) D.

9. (2009?广东)已知△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= A.2 B.4+2 C.4﹣2 10. (2007?重庆)在△ ABC 中,AB= A. B. ,A=45°,C=75°,则 BC=( C .2 )

+

,且∠A=75°,则 b=( D. ﹣



D.

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www.jyeoo.com 11. (2005?江苏)△ ABC 中,A= A. 4 sin(B+ )+3 B. 4 ,BC=3,则△ ABC 的周长为( sin(B+ )+3 C. 6sin(B+ ) )+3 D. 6sin(B+ )+3

12.在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是( A. B. C. ( 0, ] [ ,π) (0, ]

2

2

2

) D. [ ,π)

13.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= A.2 +2 B. C .2 ﹣2

,C=

,则△ ABC 的面积为( D. ﹣1



二.填空题(共 15 小题) 14. (2013?浙江)△ ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点,若 ,则 sin∠BAC= _________ .

15. (2012?福建)在△ ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC= 16. (2012?北京)在△ ABC 中,若 a=3,b= ,

,则 AC=

_________ .

,则∠C 的大小为 _________ .

17. (2011?北京)在△ ABC 中.若 b=5,

,sinA= ,则 a= _________ .

18. (2011?北京)在△ ABC 中.若 b=5,

,tanA=2,则 sinA= _________ ;a= _________ .

19. (2010?广东)已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= _________ . 20. (2009?湖南)在锐角△ ABC 中,BC=1,B=2A,则 _________ ,AC 的取值范围为 _________ . 21. (2008?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= ,b= 的值等于

,A+C=2B,则 sinC=

,B=120°,则 a= _________ .

22. (2006?江苏)在△ ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= _________ . 23. (2006?湖北)在△ ABC 中,已知 a= ,b=4,A=30°,则 sinB= _________ .

24. (2005?上海)在△ ABC 中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面积 S=

_________ .

25. (2005?陕西)已知△ ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,则 AB 上的点 P 到 AC、BC 的距离的乘积的最大值 是 _________ .

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www.jyeoo.com 26. (2005?北京)在△ ABC 中,AC=

,∠A=45°,∠C=75°,则 BC 的长度是 _________ . , 则 c= _________ .

27. (2004?上海) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, ∠A=105°, ∠B=45°, b=2 28. (2003?上海)△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cos2C= _________ .

三.解答题(共 2 小题) 29. (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. 30. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. ,∠B=2∠A.

b.

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5.1

包括试卷题型和考点组成、难度、 适用年
参考答案与试题解析

一.选择题(共 13 小题) 1. (2013?陕西)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得 sinA=1,
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可得 A=

,由此可得△ ABC 的形状.

解答: 解:△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= ,故三角形为直角三角形,

故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 2. (2013?陕西)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 正弦定理;三角形的形状判断. 专题: 计算题;压轴题;解三角形. 分析: 直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数,化简已知表达式,即可求出 A 的正弦函数值,然后求出角 A, 即可判断三角形的形状. 解答: 解:因为 bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
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所以 sin(B+C)=sin A,即 sinA=sin A,A 为三角形内角,所以 sinA=1,A=

2

2



三角形是直角三角形. 故选 A. 点评: 本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用,三角形形状的判断方法,考查计算能力. 3. (2013?山东)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= ,则 c=( A. B.2 C. D.1 )

考点: 正弦定理;二倍角的正弦. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 B=2A,a,b 的值代入,利用二倍角的正弦函数公式化简,整理求出 cosA 的 值,再由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 c 的值. 解答: 解:∵B=2A,a=1,b= ,
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www.jyeoo.com ∴由正弦定理 ∴cosA= ,
2 2 2 2

=

得:

=

=

=



由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=3+c ﹣3c, 解得:c=2 或 c=1(经检验不合题意,舍去) , 则 c=2. 故选 B 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函数公式,熟练掌握定理是解本题的关键. 4. (2013?辽宁)在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b,则∠B= ( A. ) B. C. D.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简 求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB,
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∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角, 则∠B= .

故选 A 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 5. (2013?湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= A. B. C. b,则角 A 等于( D. )

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 计算题;解三角形. 利用正弦定理可求得 sinA,结合题意可求得角 A.
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解:∵在△ ABC 中,2asinB= ∴由正弦定理 ∴sinA= ∴A= . =

b, sinB,

=2R 得:2sinAsinB=

,又△ ABC 为锐角三角形,

故选 D. 点评: 本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.

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www.jyeoo.com 6. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=( A. B. C. ) D.1

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理列出关系式,将 a,b 及 sinA 的值代入即可求出 sinB 的值. 解答: 解:∵a=3,b=5,sinA= ,
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∴由正弦定理得:sinB=

=

= .

故选 B 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 7. (2012?广东)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=( ) D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 结合已知,根据正弦定理,
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可求 AC ,

解答:

解:根据正弦定理,



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题 8. (2010?湖北)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( A. B. C. ﹣ ﹣ ) D.

考点: 正弦定理. 2 2 分析: 根据正弦定理先求出 sinB 的值,再由三角形的边角关系确定∠B 的范围,进而利用 sin B+cos B=1 求解. 解答: 解:根据正弦定理 可得,
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, 解得 ,

又∵b<a, ∴B<A,故 B 为锐角,

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www.jyeoo.com ∴ ,

故选 D. 点评: 正弦定理可把边的关系转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用三角形的边角关系确 定所求角的范围. 9. (2009?广东)已知△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= A.2 B.4+2 C.4﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: + ,且∠A=75°,则 b=( D. ﹣ )

正弦定理. 计算题. 先根据三角形内角和求得 B 的值,进而利用正弦定理和 a 的值以及 sin75°的值,求得 b. 解:如图所示.在△ ABC 中,
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由正弦定理得: ∴b=2. 故选 A

=4,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用与已知三角形的两角与一边,解三角形;已知三角形的两 边和其中一边所对的角,解三角形;运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系. 10. (2007?重庆)在△ ABC 中,AB= A. B. 考点: 专题: 分析: 解答: ,A=45°,C=75°,则 BC=( C .2 ) D.

正弦定理. 计算题. 结合已知条件,直接利用正弦定理作答. 解:∵AB= ,A=45°,C=75°,
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由正弦定理得:



∴ 故选 A. 点评:



本题考查了正弦定理

=

=

=2R,注意 sin75°=



11. (2005?江苏)△ ABC 中,A= A. 4 sin(B+ )+3 B. 4

,BC=3,则△ ABC 的周长为( sin(B+ )+3 C. 6sin(B+

) )+3 D. 6sin(B+ )+3

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据正弦定理分别求得 AC 和 AB,最后三边相加整理即可得到答案.
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www.jyeoo.com 解答: 解:根据正弦定理 ∴AC= =2

, sinB,AB= sinB+3cosB+ sinB+3=6sin(B+ =3cosB+ )+3 sinB

∴△ABC 的周长为 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 12.在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是( A. B. C. ( 0, ] [ ,π) (0, ]
2 2 2

) D. [ ,π)

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围,进而求得 A 的范围. 解答: 解:由正弦定理可知 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2 2 2 ∵sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC, 2 2 2 ∴a ≤b +c ﹣bc
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∴cosA= ∴A≤ ∵A>0



∴A 的取值范围是(0,

]

故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.作为解三角形中常用的两个定理,考生应能熟练记忆. 13.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= A.2 +2 B. C .2 ﹣2 ,则△ ABC 的面积为( D. ﹣1

,C=



考点: 正弦定理;三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 由 sinB,sinC 及 b 的值,利用正弦定理求出 c 的值,再求出 A 的度数,由 b,c 及 sinA 的值,利用三角形 的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:∵b=2,B= ,C= ,
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∴由正弦定理

=

得:c=

=

=2

,A=



∴sinA=sin(

+

)=cos

=



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www.jyeoo.com 则 S△ ABC= bcsinA= ×2×2 × = +1.

故选 B 点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题 的关键. 二.填空题(共 15 小题) 14. (2013?浙江)△ ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点,若 ,则 sin∠BAC= .

考点: 正弦定理. 专题: 压轴题;解三角形. 分析: 作出图象,设出未知量,在△ ABM 中,由正弦定理可得 sin∠AMB=
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,进而可得 cosβ=

,在 RT△ ACM = ,

中, 还可得 cosβ=

, 建立等式后可得 a=

b, 再由勾股定理可得 c=

, 而 sin∠BAC═

代入化简可得答案. 解答: 解:如图 设 AC=b,AB=c,CM=MB= ,∠MAC=β,

在△ ABM 中,由正弦定理可得

=



代入数据可得 =

,解得 sin∠AMB=



故 cosβ=cos(

﹣∠AMC)=sin∠AMC=sin(π﹣∠AMB)=sin∠AMB= = ,



而在 RT△ ACM 中,cosβ=

故可得

=

,化简可得 a ﹣4a b +4b =(a ﹣2b ) =0,
2 2 2

4

2 2

4

2

2

2

解之可得 a=

b,再由勾股定理可得 a +b =c ,联立可得 c= = = = ,



故在 RT△ ABC 中,sin∠BAC= 故答案为:

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点评: 本题考查正弦定理的应用,涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用,属难题. 15. (2012?福建)在△ ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC= 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 结合已知两角一对边,要求 B 的对边,可利用正弦定理,
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,则 AC=



进行求解

解答: 解:∵∠BAC=60°,∠ABC=45°, ∴BC= 由正弦定理可得, 故答案为: 可得 AC= = =

点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,掌握正弦定理及其使用的范围是求解的关键 16. (2012?北京)在△ ABC 中,若 a=3,b=



,则∠C 的大小为



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理
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=

,可求得∠B,从而可得∠C 的大小. , 得: , = ,

解答:

解:∵△ABC 中,a=3,b= ∴由正弦定理 =

∴sin∠B= .又 b<a,

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www.jyeoo.com ∴∠B<∠A= ∴∠B= . ﹣ . = . .

∴∠C=π﹣ 故答案为:

点评: 本题考查正弦定理,求得∠B 是关键,易错点在于忽视“△ 中大变对大角,小边对小角”结论的应用,属于基 础题. 17. (2011?北京)在△ ABC 中.若 b=5,

,sinA= ,则 a=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 直接利用正弦定理,求出 a 的值即可. 解答: 解:在△ ABC 中.若 b=5, ,sinA= ,所以
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a=

=

=



故答案为:



点评: 本题是基础题,考查正弦定理解三角形,考查计算能力,常考题型. 18. (2011?北京)在△ ABC 中.若 b=5,

,tanA=2,则 sinA=

;a=

2



考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 tanA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的平方,然后由 A 的范围,再利用同角三角函数 的基本关系求出 sinA 的值,然后再利用正弦定理,由 sinA,sinB 及 b 的值即可求出 a 的值. 解答: 解:由 tanA=2,得到 cos2A= = ,
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由 A∈(0,π) ,得到 sinA=

=



根据正弦定理得:

=

,得到 a=

=

=2



故答案为:

;2

点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题. 19. (2010?广东)已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 1 .
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,A+C=2B,则 sinC=

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www.jyeoo.com 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据 A+C=2B 及 A+B+C=180°求出 B 的值,再由正弦定理求得 sinA 的值,再由边的关系可确定 A 的值, 从而可得到 C 的值确定最后答案. 解答: 解:由 A+C=2B 及 A+B+C=180°知,B=60°,
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由正弦定理知, 即 ;



由 a<b 知,A<B=60°,则 A=30°,C=180°﹣A﹣B=90°, 于是 sinC=sin90°=1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法.高考对三角函数的考查以基础题为主,要强化记忆三 角函数所涉及到的公式和性质,做到熟练应用. 20. (2009?湖南)在锐角△ ABC 中,BC=1,B=2A,则 2 ,AC 的取值范围为 ( ) .

的值等于

考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)根据正弦定理和 B=2A 及二倍角的正弦公式化简可得值; (2)由(1)得到 AC=2cosA,要求 AC 的范围,只需找出 2cosA 的范围即可,根据锐角△ ABC 和 B=2A 求出 A 的范围,然后根据余弦函数的增减性得到 cosA 的范围即可. 解答: 解: (1)根据正弦定理得: = ,
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因为 B=2A,化简得

=



=2;

(2)因为△ ABC 是锐角三角形,C 为锐角, 所以 ,由 B=2A 得到 A+2A> 且 2A= ,从而解得: ,

于是 ,由(1)的结论得 2cosA=AC,故 . 故答案为:2, ( , ) 点评: 考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值,本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内 角和定理及 B=2A 变换角得到角的范围. 21. (2008?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= ,b= ,B=120°,则 a= .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理求得 sinC 的值,进而求得 C,进而求得 A 推断 a=c,答案可得. 解答: 解:由正弦定理 ,
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∴ 故答案为 点评: 本题主要考查了正弦定理得应用.属基础题.
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www.jyeoo.com 22. (2006?江苏)在△ ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理和题设中的条件求得 AC. 解答: 解:由正弦定理得,
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解得 故答案为 4 点评: 本题主要考查解三角形的基本知识.已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理

23. (2006?湖北)在△ ABC 中,已知 a=

,b=4,A=30°,则 sinB=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析:

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由正弦定理易得 解答: 解:由正弦定理易得 所以 sinB= 故应填

=

,即可求 sinB.

=



点评: 考查用正弦定理解三角形,属训练基础知识的题型.

24. (2005?上海)在△ ABC 中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面积 S=



考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 计算题. 用余弦定理求出边 AC 的值,再用面积公式求面积即可.
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解:据题设条件由余弦定理得|BC| =|AB| +|AC| ﹣2|AB||AC|cosA 即 49=25+|AC| ﹣2×5×|AC|×(﹣ ) , 即 AC| +5×|AC|﹣24=0 解得|AC|=3 故△ ABC 的面积 S= ×5×3×sin120°= 故应填
2 2

2

2

2

点评: 考查用余弦定理建立方程求值及用三角形的面积公式求三角形的面积,训练公式的熟练使用. 25. (2005?陕西)已知△ ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,则 AB 上的点 P 到 AC、BC 的距离的乘积的最大值 是 3 .

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www.jyeoo.com 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 P 到 AC 的距离为 x,到 BC 的距离为 y,根据比例线段的性质可知 =
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,整理求得 y=

,进

而可求得 xy 的表达式根据二次函数的性质求得答案. 解答: 解:如图,设 P 到 AC 的距离为 x,到 BC 的距离为 y, = ,

即最上方小三角形和最大的那个三角形相似,它们对应的边有此比例关系,所以 4x=12﹣3y,y= 求 xy 最大,也就是那个矩形面积最大. xy=x? 故答案为 3. =﹣ (x ﹣3x) ,当 x= 时,xy 有最大值 3
2

点评: 本题主要考查了解三角形的问题.考查了学生转化和化归思想,函数思想的运用.考查了学生分析问题和 解决问题的能力. 26. (2005?北京)在△ ABC 中,AC= ,∠A=45°,∠C=75°,则 BC 的长度是 .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据∠A 和∠C 求得∠B,进而根据正弦定理求得
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求得 BC.

解答: 解:∠B=180°﹣45°﹣75°=60° 由正弦定理可知 CsinB=BCsinA ∴BC= =

故答案为 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 27. (2004?上海)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,∠A=105°,∠B=45°,b=2 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据 A,B 的值,求出角 C 的值,再由正弦定理
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,则 c= 2 .

,将题中所给数据代入即可得到答案.

解答: 解:∵∠A=105°,∠B=45°,b=2 根据正弦定理可知

∴C=30°

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∴c=2 故答案为:2 点评: 本题主要考查正弦定理的应用.属基础题. 28. (2003?上海)△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cos2C=



考点: 正弦定理;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理将正弦值的比值转化为边的比值,再由余弦定理可求出角 C 的余弦值,从而根据余弦的二 倍角公式可得答案. 解答: 解:sinA:sinB:sinC=2:3:4 由正弦定理可得:a:b:c=2:3:4,不妨设 a=2k,b=3k,c=4k(k>0)
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根据余弦定理可得:cosC= ∴cos2C=2cos C﹣1=﹣ 故答案为:﹣
2

=

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解题过程中,经常通过所给正弦值的关系通过正弦定理转化 为边的关系,再由余弦定理解题. 三.解答题(共 2 小题) 29. (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积.

b.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的 度数; (Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)由 2asinB= b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB,
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∵sinB≠0,∴sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ;



(Ⅱ)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 36=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=64﹣3bc, ∴bc= ,又 sinA= , .

2

2

2

2

2

2

则 S△ ABC= bcsinA=

点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
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www.jyeoo.com 30. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. ,∠B=2∠A.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 cosA 的值. (Ⅱ)由条件利用余弦定理,解方程求得 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由条件在△ ABC 中,a=3, ,∠B=2∠A,利用正弦定理可得
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,即

= 解得 cosA= .
2



(Ⅱ)由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,即 9=

2

2

+c ﹣2×2

2

×c×

,即 c ﹣8c+15=0.

2

解方程求得 c=5,或 c=3. 当 c=3 时,此时 a=c=3,根据∠B=2∠A,可得 B=90°,A=C=45°, 2 2 2 △ ABC 是等腰直角三角形,但此时不满足 a +c =b ,故舍去. 综上,c=5. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把 c=3 舍去,这是解题的易错点,属于 中档题.

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