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北京市第五中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题带答案


北京五中 2015-2016 学年度第一学期期中考试试卷 高三数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
2 1、设集合 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?1,2? , B ? x ? Z x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 CU ?A ?B ? =

?

?



) B、 ?5? C、 ?1, 2, 4? ) B、必要不充分条件 D、既非充分也非必要条件 D、 ?0,4,5?

A、 ?0,1,2,3?

2 2、已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的(

A、充分非必要条件 C、充要条件

3、已知 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 19 ,则 a ? b 等于( A、 13 B、 15 C、 17

?

?

?

?

?

?

) D、 7 )

4、要得到函数 y ? sin ? 4 x ? A、向左平移

? ?

??

? 的图像,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图像( 3?

? ? 个单位 B、向右平移 个单位 12 12 ? ? C、向左平移 个单位 D、向右平移 个单位 3 3 5、若 ?ABC 的三个内角 A , B , C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 ?ABC (
A、一定是锐角三角形 C、一定是钝角三角形 B、一定是直角三角形 D、可能是锐角或者钝角三角形



?x ? y ? 1 y ? 6、设 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 的取值范围为( x?2 ?x ? y ? 1 ?
A、 ? ?3,3? B、 ? ?2, 2? C、 ??1,1? D、 ? ?



? 2 2? , ? 3 3? ?

7、如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高, P 为线段 OC 的中 点,则 AP ? OP= ( A、 ? 1 C、 ?

??? ? ??? ?



1 4

1 8 1 D、 ? 2
B、 ?

8、已知点 A ? 0,1? ,曲线 C : y ? a ln x 恒过定点 B , P 为曲线 C 上的动点且 AP ? AB 的最 小值为 2 ,则 a= ( A、 ? 2 ) B、 ? 1 C、 1 D、 2

??? ? ??? ?

二、填空题(没小题 5 分,共 30 分)
2 9、写出命题 p : ?x ? ? ??,0? , x ? x ? 1 ? 0 的否定
2 10、函数 f ? x ? ? ln ? x ? 2 x ? 3 的单调减区间为

。 。

?

?

11、已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则

1 8 ? 的最小值为 y x



2 12、 已知向量 a ? x , x ? 1 ,b ? ?1 ? x, t ? , 若函数 f ? x ? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,

?

?

?

?

? ?

则实数 t 的取值范围是 13、已知 tan ?? ? ? ? ?



1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 2? ? ? 的大小为 。 2 7 14、如图,正方形 ABCD 的边长为 2 ,O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺
时针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x ( x ??0, ? ? ) , OP 所经过的在正 方形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ? x ? , 那么对于函数 f ? x ? 有以下三个结论: ①f?

3 ?? ? ; ?? ?3? 2
? ?? , 都有 ? 2? ? ?? ? f ? ? x? ? ?2 ? ?? ? f ? ? x? ? 4 ; ?2 ?

②任意 x ? ?0,

③任意 x1 , x2 ? ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? ? , ? ? ,且 x1 ? x2 ,都有 ?0; x1 ? x2 ?2 ?


其中所有正确结论的序号是 三、解答题(共 80 分)

15、在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求 ?ABC 面积的最大值。

2c ? b cos B ? , a cos A

16、已知向量 m ? ? sin ? x ?

?

? ?

? ?

??

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? 3 cos ? x ? ? ? , n ? ? sin ? x ? ? ,cos ? x ? ? ? ,函 4? 4 ?? 4? 4 ?? ? ? ? ?

数 f ? x? ? m ? n , x ? R .

? ?

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调增区间; (2) 将函数 y ? f ? x ? 图像向下平移

? 1 个单位,再向左平移 个单位得到函数 y ? g ? x ? 的 3 2
? ? 5? ? 上的图像。 , ? 6 6 ? ?

图像,试写出 y ? g ? x ? 的解析式并做出它在 ? ?

17、某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机 会,规则如下: 奖金中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球,顾客不放 回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。规 定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或话黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励。 (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望。 18、如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边 长 为 4 的 正 方 形 , EF ? AD , 平 面 A D E F ? 平 面

A B C D, C ?E 2F ,AE ? AF ,G 是 EF 的中点, 且B AG ? 1 , (1)证明: AG ? 平面 ABCD ; (2)求直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值;

(3)判断线段 AC 上是否存在一点 M ,使 MG ? 平面 ABF ?若存在,求出 不存在,说明理由。 19、已知函数 f ? x ? ?

AM 的值;若 AC

1 2 1 x ? a 2 ? a ln x ? x ( a ? ). 2 2

?

?

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 2 处取得极值,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)设 g ? x ? ? a2 ln x2 ? x ,若 f ? x ? ? g ? x ? 对 ?x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。

?

?

20、设集合 S ? ?1,2,3,?, n? ( n ? N , n ? 2 ) , A , B 是 S 的两个非空子集,且满足集
?

合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ? A, B ? 的个数为 P n (1)求 P 2,P 3 的值; (2)求 P n 的表达式。

北京五中 2015-2016 学年度第一学期期中考试试卷答案 高三数学(理科)
一、选择题 1、D 5、C 二、填空题 9、 ?x ? ? ??,0? , x ? x ? 1 ? 0
2

2、A 6 、D

3、D 7、B

4、B 8、C

10、 ?1,3? 12、 t ? 5 14、①②

11、 9 13、 ?

3? 4

三、解答题 15、解: (1)∵

2c ? b cos B ? ,∴ ? 2c ? b ? cos A ? a cos B a cos A

由正弦定理,得 ? 2sin C ? sin B? cos A ? sin A cos B 整理得 2sin C cos A ? sin ? A ? B ? ? sin C 在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,∴ cos A ? (2)由余弦定理, cos A ?
2 2

? 1 ,∵ A ? ? 0, ? ? ,故 ?A ? 3 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

又 a ? 2 5 ,∴ b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 ,得 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取到“=”. ∴S ?

1 bc ? sin A ? 5 3 ,所以三角形面积的最大值为 5 3 . 2

16、解: (1) f ? x ? ? m ? n ? sin 2 ? x ? 令?

? ?

? ?

??

?? ? ?? ?? 1 ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? cos ? x ? ? = sin ? 2 x ? ? ? 4? 4? 4? 3? 2 ? ? ?

? 2k? ( k ? Z ) 3 2 ? 5? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 解得 ? 12 12 2 ?
即 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? ( k ? Z ) 12 ? 12 ?

(2)令 h ? x ? ? f ? x ? ?

1 ?? ? ,得 h ? x ? ? sin ? 2 x ? ? . 2 3? ?

所以 g ? x ? ? h ? x ? 列表:

? ?

??

? ? ?? ?? ?? ? ? ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? 3? 3 ? 3? 3? ? ? ?

2x ?

?
3

0
?

x
g ? x?

?
6

? 2 ?
12
1

?
? 3
0

3 ? 2 7? 12
?1

2?
5? 6

0

0

描点,连线得函数 y ? g ? x ? 在 ? ?

? ? 5? ? 上的图像如图所示: , ? 6 6 ? ?

17、解: (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,

A32 3 ? 基本事件的个数为 1 ? A ? A ? A ? 16 ,则 P ? A ? ? 16 8
1 3 2 3 3 3

(2)随机变量 X 的所有取值为 0 , 5 , 10 , 15 ,20

P ? X ? 0? ?

1 ; 4

P ? X ? 5? ?

1 C2 1 ? ; 2 A4 6

P ? X ? 10 ? ?

2 1 A2 1 ? ? ; 2 3 A4 A4 6

P ? X ? 15? ?
分布列如下:

3 1 2 A3 C2 A2 1 1 ; ? P X ? 20 ? ? ; ? ? 3 4 A4 6 A4 4

10 15 1 1 P? X ? 6 6 1 1 1 1 1 数学期望为: E ? X ? ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 4 6 6 6 4
X

0 1 4

5 1 6

20 1 4

18、 (1)证明:∵ AE ? AF , G 为 EF 中点,∴ AG ? EF 又∵ EF ? AD ,∴ AG ? AD 又平面 ADEF ? 平面 ABCD ,平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AD , AG ? 平面 ADEF ∴ AG ? 平面 ABCD (2)解:如图建立空间直角坐标系,

A? 0,0,0? , C ? 4,4,0? , E ? 0,1,1? , B ? 4,0,0? , F ? 0, ?1,1?
所以 BF ? ? ?4, ?1,1? ,

??? ?

???? ??? ? AC ? ? 4, 4,0 ? , AE ? ? 0,1,1?
设平面 ACE 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

?

???? ? ? ?4 x ? 4 y ? 0 ? ? AC ? n ? 0 由 ? ??? ,解得 ? ,所以 n ? ?1, ?1,1? ? ? ? y?z ?0 ? ? AE ? n ? 0

??? ? ? ??? ? ? BF ? n 6 直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为: cos ? BF , n ?? ??? ? ? ? 9 BF n
(3)解:假设线段 AC 上存在一点 M ,使 MG ? 平面 ABF ,设 则 AM ? ? AC

AM ??, AC

???? ?

??? ?

由 AC ? ? 4, 4,0 ? ,则 AM ? ? 4? , 4? ,0 ? ,得 M ? 4?, 4?,0? 又 G ? 0,0,1? ,则 MG ? ? ?4? , ?4? ,1? 设平面 ABF 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , AB ? ? 4,0,0 ? , AF ? ? 0, ?1,1?

????

???? ?

???? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? AB ? m ?0 ? 4x ? 0 ? ? 则 ? ??? ,解得 ? ,所以 m ? ? 0,1,1? ? ? ?? y ? z ? 0 ? ? AF ? m ? 0 ???? ? ? 1 因为 MG ? 平面 ABF ,所以 MG ? m ? 0 ,即 ?4? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 4 AM 1 ? 时, MG ? 平面 ABF . 所以 AC 4
19、解: (1)由 f ? ? x ? ? x ?

a ? a ? 1? x

? 1, f ? ? 2? ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? 2 (舍去)

经检验,当 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 在 x ? 2 处取得极值。

a ? ?1 时, f ? x ? ?
则 f ?1? ? ?

2 1 2 x ? 2 ln x ? x , f ? ? x ? ? x ? ? 1 x 2

1 , f ? ?1? ? ?2 2 1 所以所求的切线方式为 y ? ? ?2 ? x ? 1? ,整理得 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 2
(2) f ? x ? 定义域为 ? 0, ?? ?

x2 ? x ? a2 ? a ? x ? a ?? x ? a ? 1? a2 ? a f ?? x? ? x ? ?1 ? = , x x x
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ? a

?

?

1 ,则 a ? 1 ? a ,且 1 ? a ? 0 2 1 1 ①当 a ? 时, a ? 1 ? a ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 2 2 1 ②当 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增,在 ? a,1 ? a ? 上单调递减; 2
∵a ? ③当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减, ?1 ? a, ?? ? 上单调递增。 (3)由题意,

1 2 x ? a 2 ? a ln x ? x ? a 2 ln x 2 ? x , 2

?

?



1 2 x2 x ? a 2 ? a ln x ? a 2 ln x 2 ,即 3a 2 ? a ? 对任意 x ? 1 恒成立, 2 2 ln x

?

?

令 h ? x? ?

x ? 2ln x ? 1? x2 ,则 h? ? x ? ? , 2ln x 2ln 2 x

令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? 当x?

e ,即 h ? x ? 在 1, e 上单调递减,

?

?

?

e, ?? 上单调递增,

?

e 时 h ? x ? 取得最小值 h

? e? ? e

∴ 3a ? a ? e ,解得
2

1 ? 1 ? 12e 1 ? 1 ? 12e ?a? 6 6

又∵ a ?

? 1 ? 1 ? 12e 1 ? 1 , ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? 2 6 2? ?

20、解: (1)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时当 A ? ?1? , B ? ?2? 时满足题设,所以 P 2 ?1; 当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? , 若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? 或 ?3? 或 ?2,3? ; 若 A ? ?2? 或 ?1, 2? ,则 B ? ?3? ,所以 P 3 ?5 (2) 当集合 A 中的最大元素为 k 时, 集合 A 中的其余元素可在 1, 2,?, k ? 1 任取若干个 (包 括不取) ,
0 1 k ?1 k ?1 所以集合 A 共有 Ck 种情况; ?1 ? Ck ?1 ??? Ck ?1 ? 2

此时,集合 B 中的元素只能从 k ? 1, k ? 2,?, n 中任取若干个(至少一个) ,
1 2 n ?k n ?k 所以集合 B 共有 Cn ?1种情况; ?k ? Cn?k ??? Cn?k ? 2

所以,当集合 A 中的最大元为 k 时,集合对 ? A, B ? 共有 2

k ?1

? 2n ? k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 对;

?

?

当 k 依次取值 1, 2,?, n ? 1 时,可分别得到集合对 ? A, B ? 的个数,求和即可,
n ?1 0 1 n?2 即 Pn ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 = ? n ? 2? 2n?1 ? 1

?

?


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