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第5章物理


第 5 章 刚体力学基础
一,刚体定轴转动的运动学描述

角位移

,角速度

,角加速度 为常数时有:

在匀变速转动条件下,即角加速度

;

;

角速度是矢量,在定轴转动中其方向沿着轴向,它与刚体中 r 处点的线速度的矢量关系:

角速度是矢量,在定轴转动中其方向沿着轴向,它与刚体中 r 处点的线加速度关系:

其中:

为切向加速度:

为法向加速度.

二,转动定律 1,力矩 力矩一般说来是一空间矢量,在定轴转动中,角速度方向已经确定,沿转动轴方向,刚体 转动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关. 在定轴转动中, 力矩可简化为代数量. 其量值: 2,转动惯量 J

转动惯量是表示物体转动惯性的物理量,它与物体的质量大小,质量的分布及转轴位置都 有关系,是转动问题中的一个重要的物理量: (1)定义式: 不连续分布的质点系:

质量连续分布的物体: (2)平行轴定理: 任意物体绕某固定轴 O 的转动惯量为 , 绕通过质心 C 而平行于固定轴 O 的转动惯量为 ,

O 轴与 C 轴间距为 d,转动物体的总质量为 m,那么: (3)垂直轴定理: 在 平面上,有一薄形板,薄板饶 轴的转动惯量为 轴的交点 O 垂直于 ,薄板饶 轴的转动惯量为 .

,那么,薄板饶通过

平面的 轴的转动惯量:

转动惯量除上述的计算方法,对于匀质简单形状的几何体可查表查得它的转动惯量,对于 非匀质或不规则的物体我们可以经过实验方法来测定. 3,转动定律:

一般形式为:

在刚体定轴转动中: 转动定律是转动问题中的基本规律,它的地位与质点动力学牛顿第二定律相当.用转动定 律的解题步骤也与牛顿第二定律类同.仍为分析研究对象,画出隔离体受力图,选取合适 坐标,列出相应方程,和求解讨论.因注意到 个代数式. , , 相对同一轴而言, 是

三,角动量原理 1,刚体定轴转动角动量: 2,角动量原理: 一般形式:

刚体定轴转动: 3,角动量守恒定律: 系统(质点系或物体组)受到的合外矩为零,则系统的角动量守恒. 恒矢量 物体组绕 z 轴做定轴转动时: 恒量 应用角动量守恒定律时应注意: (1)合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件 (2)适用于惯性参照系(或质心参照系),对同一转轴而言 (3)适用于刚体也适用于非刚体 (4)适用于宏观也适用于微观

四,转动中的功能关系 1,力矩的功:

2,刚体的转动动能: 3,功能定理: 式中 是指内力,外力,内力矩,外力矩的总功,而动能 和 是质心的平动动能与

刚体或非刚体绕质心转动动能的总和. 4,机械能守恒 非保守内力,内力矩,非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变. 恒量

五,刚体的平面运动

刚体中某一平面,被限制在一固定平面内运动,有三个自由度,处理刚体平面运动有如下 的方法: 方法一,刚体平面运动可以分解为以质心运动为代表的平动和绕过质心的垂直轴的转动. 质心运动服从质心运动规律.

绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理

方法二,刚体平面运动可视为饶瞬时转轴 P 作纯转动. 对瞬轴的动能定理

; 但对瞬轴的转动定律,只有在 球作纯滚动时,

式中 是个常数的条件下才能成立,例如圆柱体和

,则对瞬时轴的转动定律才成立.

六,刚体的进动 进动是刚体的一种非定点运动,绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下,非但不会倾倒; 而且自转轴还会旋转. 1,回转仪进动的物理实质(在转动参照系中观察)

重力矩作用使回转仪倾倒;回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩,使回转仪进动; 回转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩,使回转仪不再倾倒,继续进动. 2,回转仪进动方向的规则 回转仪的进动使其自转角速度的指向,具有向外加力矩指向靠拢的趋势.

3,回转仪进动角速度:

对于给定刚体,进动角速度的大小,与外加力矩成正比,与刚体自转角速度成反比.

第 5 章 刚体力学基础
【例 5-1】计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量. 的均质球体绕其轴线的转动惯量.

【解】方法一,由转动惯量的定义,由积分法求解,如图所示,体 解 密度为 的球体中一薄片圆盘的转动惯量

方法二,利用对称性求解

由对称



【例 5-2】设电风扇的功率恒定不变为 P,风叶受到的空气阻力矩与风叶旋转的角速度 比,比例系数的 k,并已知风叶转子的总转动惯量为 J. 秒时刻的角速度. (1)原来静止的电扇通电后 秒时刻的角速度. (2)电扇稳定转动时的转速为多大? 电扇稳定转动时的转速为多大? (3)电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度? 电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度?

成正

【解】(1)电风扇的功率 解

,电动力矩

,而阻力矩

,由此对风扇列出转

动定律方程:

将此微分方程分离变量:

可化成:

得: (2)当 时,可得风叶稳定时的转速.

或者直接从转动定律来求,因为稳定时电动转矩和与阻力矩平衡,角加速度为零,即:

,得

.

(3)电扇断开电源后,只受到空气阻力矩作用,它的转动微分方程:

分离变量后积分: 得:

转过的角度: 风叶转过的角度也可从功能关系求解:

即:

【例 5-3】如图 a 所示,半径分别是 所示,



,转动惯量分别是



的两个圆柱体,可绕垂 的两个圆柱体,

直于图面的轴转动, 直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速度为

,现在将小圆柱体向左靠近,直到它碰到大圆柱体 现在将小圆柱体向左靠近,

为止.由于相互间的摩擦力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时, 为止.由于相互间的摩擦力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时,两圆柱体各以恒定角 速度沿相反方向转动. 速度沿相反方向转动. 试问这种情况角动量是否守恒?为什么?小圆柱的最终角速度多大? 试问这种情况角动量是否守恒?为什么?小圆柱的最终角速度多大?

【解】大,小两圆柱体组成的系统受到的一对摩擦力和一对正压力不改变系统的角动量.但 解 对系统有外力作用. 如图 b 所示, 轴对大圆柱体的作用力 不通过 轴, 对



轴形成外力矩;

轴对小圆柱体的作用力

不通过

轴,对

轴形成外力矩.定轴转动公式中各与轴有关的量,例如 轴,还是相对 轴,都存在外力矩,系统角动量均

力矩,角动量等均对同一轴而言.现不管相对 不守恒.所以,此种啮合方式只能分别对 对 对 轴 轴 . . .

轴和

轴运用角动量定理.设垂直于纸面向里为正向:

无相对滑动

解得 转向如图所示.

,

【例 5-4】以速度

作匀速运动的汽车上, 作匀速运动的汽车上,有一质量为

(

较小),边长为 较小),边长为 的立方形货物 ),

边翻转.试求: 箱,如图所示.当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时,货物箱绕其底面 A 边翻转.试求: 如图所示.当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时, (1)汽车刹车停止瞬时,货物箱翻转的角速度及角加速度; 汽车刹车停止瞬时,货物箱翻转的角速度及角加速度; 边所受的支反力. (2)此时,货物箱 A 边所受的支反力. 此时,

【解】汽车突然刹车并立即停止,由于惯性的作用,货物箱必绕 A 轴转动,亦即货物箱的运动在瞬间 解 由平动变为转动.此瞬间货物箱受到的重力和地面支承力对 A 轴的冲量矩可忽略不计,货物箱对 A 轴 角动量守恒.

, 等式左项为刹车前瞬时货物箱对 A 轴的平动角动量.右项中对 A 轴的转动惯量,据平行轴定理有

解得货物箱翻转的角速度:

.

货物箱翻转瞬时,只受重力矩作用,根据转动定律:

求得角加速度: 汽车停止瞬时,货物箱以 绕 A 轴转动,其质心 C 的加速度沿切向,法向的分量为:

, 根据质心运动定理,取如图 b 坐标,有:

.

解得货物箱 A 边受到的支反力:

,

.

如图所示, 【例 5-5】如图所示,一半径为

,质量为

的均质圆盘在水平面内绕通过圆心且垂直于盘面

的垂直轴转动. 现加一轴向的恒力矩 的垂直轴转动.

使盘从静止开始加速转动. 若从运动一开始, 砂漏以 , 使盘从静止开始加速转动. 若从运动一开始, 圆盘的 时,

的质量增加率均匀地将砂子落在盘上离轴线 处, 当砂子落下的质量恰好等于圆盘质量 角速度为多大? 角速度为多大?

【解】方法一,用质量流动,反冲力矩及转动定律来解: 解

反冲力 反冲力矩

转动定律 对上式分离变量并积分

注意到式中

,可解得:

.

方法二,对沙子和圆盘组成的系统,应用角动量原理:

注意到式中

,

得:

同样得上述结果.

【例 5-6】一均质细棒的质量为

,长为

,开始时处于水平方位,静止于支点 O 上.一锤 开始时处于水平方位,

子沿竖直方向在

处撞击细棒, 处撞击细棒,给棒的冲量为

.试讨论细棒被球撞击后的运动情况. 试讨论细棒被球撞击后的运动情况.

【解】在撞击过程中,细棒受到锤子的撞击力远大于重力,由于撞击时间极短,此时重力的冲量可忽 解 略不计,近似认为棒仅受到锤子的冲量作用而开始运动. 由质点系动量定理:

质心获得向上的初速度:

. ,棒的质心做竖直上抛运动.

撞击后棒只受到重力作用,质心加速度

由角动量定理:

,

得:

.

撞击后无外力矩作用,整个棒在质心做竖直上抛运动的同时绕质心匀速转动,见图 b. 打击后瞬时,棒上任意一点距质心 处的速度:

其中有一点的速度为零,位置为:



时,

,此时锤子的撞击点就是以棒的左端为支点时的打击中心.

第 5 章 刚体力学基础
5.3 在边长为 的六边形顶点上, 分别固定有质量都是 试求此系统绕下列转轴的转动惯量: 的 6 个质点, 如图所示.

(1)设转轴Ⅰ,Ⅱ在质点所在的平面内,如图 a 所示. (2)设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面,如图 b 所示.

5.4 质量为 惯量:

的细铁丝弯成边长为 正三角形,求此三角形绕下列各转轴的转动

(1)转轴为三角形的一条边. (2)转轴在三角形所在平面内的三角形的对称轴. (3)转轴垂直于三角形平面,且通过三角形的质心.

5.5 计算如图所示的薄圆盘绕与盘缘相切的水平轴 ,质量为 .

的转动惯量,圆盘半径为

5.6 唱机的转盘绕通过盘心的竖直轴转动,唱片放上去后由于摩擦力的作用而随 盘转动,如图所示.设可把唱片近似看成半径为 间摩擦系数为 .转盘保持匀角速度 ,质量为 的均匀圆盘,唱片与转盘

转动.试问: 需多长时间?

(1)唱机受到的摩擦力矩多大?唱片达到角速度 (2)若在这段时间内转盘角速度 的动能?

保持不变,驱动力矩共做了多少功?唱片获得了多大

5.12 一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数 ,当 时弹簧无形变,细棒的质量 ,才能转动到水平位置? ,求在 的位置上细

棒至少应具有多大的角速度

5.13

如图所示,一质量为

,半径为

的圆盘,可绕

轴在铅直面内转动.若

盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求: (1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心 C 和盘缘 A 点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力.

5.14 质量为 直平面内自由转动,

,长为 的均匀细棒,从静止开始由 点离 端的距离为

的角位置绕

点在竖

,如图所示.试求松手后:

(1)棒在水平位置时的角速度和角加速度;

(2)此时,棒所受到的支反力.

5.16 质量为

,宽度为 ,高度为 的薄板门,以初角速度

绕 AB 轴转动,此

时薄板每一部分均受到空气阻力,阻力方向恒垂直薄板平面,阻力大小与受力面积和速度 平方成正比,比例系数为 .求: (1)薄板对 AB 轴的转动惯量; (2)经多长时间,薄板的角速度减小到初角速度的一半?

5.17 图 a 为一气体云组成的球状孤立天体, 绕通过球心的自转轴转动,转动惯量 为 ,角速度为 .由于气体自身的引力作用,气体云沿径向坍缩,经过若干年后变为

图 b 所示的形状,此时它的转动动能为原来的 3 倍,则此时它的自转角速度多大,相对自 转轴的转动惯量多大?

5.18 如图所示,在一光滑的水平桌面上,有一长为 ,质量为 速度 运动,与一固定在桌面上的钉子 动.求: (1)细棒绕 点转动时对 点的转动惯量;

的均匀细棒以 点转

相碰撞(尺寸如图).碰撞后,细棒将绕

(2)碰撞前棒对 (3)碰撞后棒绕

点的角动量; 点的角速度.

5.19 如图所示,物体 A 放在粗糙的水平面上,与水平桌面之间的摩擦系数为

,

细绳的一端系住物体 A,另一端缠绕在半径为 R 的圆柱形转轮 B 上,物体与转轮的质量相 同.开始时,物体与转轮皆静止,细绳松弛,若转轮以 (1)细绳刚绷紧的瞬时,物体 A 的速度多大? (2)物体 A 运动后,细绳的张力多大? 绕其转轴转动.试问:

5.21 将质量为 于

的均匀金属丝弯成一半径为

的半圆环,其上套有一质量也等

的小珠, 小珠可在此半圆环上无摩擦地运动, 这一系统可绕固定在地面上的竖直轴转

动,如图所示.开始时,小珠(可看作质点)位于半圆环顶部 A 处,系统绕轴旋转的角速

度为

.已知半圆环相对竖直轴的转动惯量

,试分别计算小珠滑到环的中点

B 处和底部 C 处时: (1)环的角速度量值; (2)小球相对环和相对地面的速度值.

5.22 将地-月系统近视看作孤立系统,并认为月球饶地球作圆运动,其轨道平面 与地球自转轴垂直.由于月球的转速较慢,其引力使海水逆着地球自转方向运动,对地球 产生摩擦,使地球自转角速度减小.若地球自转角速度由 (1)月球轨道半径变化的近似值 (2)月球速率变化的近似值 质量为 m). ; 减小到 ,试求:

,(设地球的转动惯量为 J,海水质量忽略不计,月球的

5.24 长为 ,质量为 m 的均匀杆,在光滑桌面上由竖直位置自然倒下,当夹角为 时,试求: (1)质心的速度;

(2)杆的角速度.

5.25 一陀螺绕自转轴以角速度 (1)从上往下看,其进动方向如何?

转动,若自转轴与竖直方向间的夹角为 ,则:

(2)进动角速度的大小为多少?

5.26 图为一简易进动装置,A 是质量为 ,B 为平衡块.在自转轴 现该装置以进动角速度

的回转体,绕自转轴的角动量为

的中点以悬绳垂直悬吊,A,B 距悬线距离均为 . ,试求:

在水平面内旋转,且

(1)对悬点 的合力矩方向; (2)平衡块的质量 .

第 5 章 刚体力学基础
答案 答案: 答案: 5.3 (1) , (2)

5.4 (1)

(2)

(3)

5.5

5.6 (1)

,

(2)

,

5.12

5.13 (1)

,

;(2)

,竖直向上.

5.14 (1)

,

;(2)

,

5.16 (1)

;(2)

5.17 (1)

,

5.18 (1)

;

;(3)

5.19 (1)

;(2)

5.21 (1)

,

;(2)

,

,

,

5.24 (1)

;(2)

5.25 (1)顺时针

5.26 (1)

(2)

5.27 (

)(1)

(2)

提示

5.6

积分得唱片所受摩擦力矩

.

可用转动定律计算,而用角动量原理及功能原理解更好.

5.13 (1)

由机械能守恒:

注意:

(2)利用质心运动定律: 5.14 5.16 (2) 方法类同 5.13.

积分得阻力矩

再由转动定律

分离变量

积分得解.

5.18 (3)对 点角动量守恒

5.19 (1)系统对转轴 角动量守恒 (2)对 物应用牛顿定律的,转轮

,又 应用转动定律联立求解.

5.24 (1)(2)约束条件中

,

,对时间求一次导

, 5.27 ( )地月系统角动量守恒:

结合机械能守恒定律可得解. 将它微分

又 可得 教材习题: 教材习题: 5.6 , 及

,得

,也将其微分,

之间的关系,并注意到

对系统质心角动量守恒,及机械能守恒

5.8

参阅解题示例 3,

,

及终态约束条件

解得

5.9

第一步 角动量守恒

第二步 机械能守恒

5.10 角动量守恒

上式对 t 积分 又根据题意


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