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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(山东卷)

2015 年全国高考山东卷(理科)数学模拟

2015 年山东高考数学模拟试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .... 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号 ... 所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题(共 10 小题) 1. (2015?河南一模)如果复数 么 b 等于( A. ) B. C.﹣ D.2 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那

2. (2015?高安市校级一模)集合 M={1,2},N={3,4,5},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},则集合 P 的元 素个数为( ) A. 3 B.4 C.5 D.6 3. (2015?山东一模)函数 y=ln( ﹣1)的定义域为( )

A. (0,1) B.(1,+∞) C.(﹣∞,0)∪(1,+∞) D. (﹣∞,1) 4. (2015?湖南二模)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ,以便引导学生树立正确的消费 观.样本容量 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为( )

A. 780 B.660 C.680 D.460 5. (2015?山东一模)由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A. B.4 C. D.6



6. (2015?鹰潭一模)设 x,y 满足约束条件
2 2

,若目标函数 z=ax+by(a,b>0)的最大

值是 12,则 a +b 的最小值是(



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A.

B.

C.

D. )

7. (2015?泉州校级模拟) 一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是 (

A. 1

B.2
x

C.3
b

D.4 )

8. (2015?贵阳二模)函数 y=a (a>0,a≠1)与 y=x 的图象如图,则下列不等式一定成立的是( a b A. b >0 B.a+b>0 C.a >1 D.loga2>b 9. (2015?陕西模拟)斜率为 的直线 l 与椭圆

交与不同的两点,且这两个交 ) D.

点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( A. B. C.

10. (2015?衡阳县校级一模) 若一系列的函数解析式相同, 值域相同但定义域不同, 则称这些函数为“孪 生函数”.那么函数解析式为 y=2x +1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有( A. 15 个 B.12 个 C.9 个 D.8 个
2



二.填空题(共 5 小题) 11. (2015?菏泽一模) 执行如图中的程序框, 如果输入的 t∈[﹣1, 3], 则输出的 S 属于区间



12. (2015?上海模拟)若二项式 开式中 x 的系数为
6

的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式系数相等,则展 . (用数字作答) 的值域为[0,+∞) ,命题 q:对任意的 x∈R, .

13. (2015?安庆二模)已知命题 p:函数

不等式|x|﹣|x+a|≤1 恒成立,若命题 p∧(?q)为真命题,则实数 a 的取值范围是

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2015 年全国高考山东卷(理科)数学模拟

14. (2015?枣庄校级模拟)已知 设

, ,则 = .

,点 C 在∠AOB 内,∠AOC=45°,

15. (2015?山东一模)对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =﹣f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准奇函数.给定下列函数: ①f(x)= ②f(x)=(x﹣1) ③f(x)=x ④f(x)=cosx .
2 3

其中所有准奇函数的序号是 三.解答题(共 6 小题)

16. (2015?衡南县二模)已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f(A)=1,

,x∈R.

,求△ABC 的面积.

17. (2015?济宁一模) 如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD∥BC, CE∥BG, 且∠BCD=∠BCE= 平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证: (Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.



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18. (2014?凉州区二模)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 4 12 42 32 10 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

y=

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望. (以试验结 果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

19. (2014?浦东新区三模)已知函数 f(x)=logkx(k 为常数,k>0 且 k≠1) ,且数列{f(an)}是首项 为 4,公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列; (Ⅱ)若 bn=an?f(an) ,当 时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)若 cn=anlgan,问是否存在实数 k,使得{cn}中的每一项恒小于它后面的项?若存在,求出 k 的范 围;若不存在,说明理由.

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2015 年全国高考山东卷(理科)数学模拟
|x﹣m|

20. (2015?眉山模拟)已知函数 f(x)=

,g(x)=( )

,其中 m∈R 且 m≠0.

(Ⅰ)判断函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m<﹣2 时,求函数 F(x)=f(x)+g(x)在区间[﹣2,2]上的最值; (Ⅲ)设函数 h(x)= ,当 m≥2 时,若对于任意的 x1∈[2,+∞) ,总存在唯一的 x2∈

(﹣∞,2) ,使得 h(x1)=h(x2)成立,试求 m 的取值范围.

21. (2015?上饶二模)如图,已知点 S(﹣2,0)和圆 O:x +y =4,ST 是圆 O 的直经,从左到右 M 和 N 依次是 ST 的四等分点,P(异于 S、T)是圆 O 上的动点,PD⊥ST,交 ST 于 D, 与 TE 交于 C,|CM|+|CN|为定值. (1)求 λ 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 Q 点、与 轨迹 E 相交于 A,B 两点的直线, 是否存在上述直线 l,使 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. , ,直线 PS

2

2

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2015 年山东省高考数学(理科)模拟试卷
参考答案
一.选择题(共 10 小题) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D 9 A 10 C

二.填空题(共 5 小题) 题号 答案 11 [﹣3,4] 12 9 13
(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)

14

15 ①④

三.解答题(共 6 小题) 16. 解: (1)f(x)=2sinxcosx+ =sin2x+ =2sin(2x+ ) ,

∴函数 f(x)的最小正周期为 π , 由 2kπ ﹣ 得 ∴函数 f(x)的单调增区间是[k (2)由已知,f(A)=2sin(2A+ ∴sin(2A+ ∵0<A< ∴2A+ 又∵ ∴ = = , = = . )= , ,∴ ,从而 A= , , , ≤2x+ ≤2kπ + , (k∈Z) , , ,k )=1, ](k∈Z) ,

∴△ABC 的面积 S=

17.

(Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,CE⊥BC,CE?平面 BCEG, ∴EC⊥平面 ABCD,?(3 分) 又 CD?平面 BCDA,故 EC⊥CD?(4 分) (Ⅱ)证明:在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM, 则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 ,

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2015 年全国高考山东卷(理科)数学模拟

∴MG∥AD,MG=AD,故四边形 ADMG 为平行四边形,∴AG∥DM?(6 分) ∵DM?平面 BDE,AG?平面 BDE,∴AG∥平面 BDE?(8 分) (Ⅲ)解: = ?(12 分) ?(10 分)

18.

解: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 ∴用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ∴用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42; (Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 [90,94) ,[94,102) ,[102,110]的频率分别为 0.04,0.54,0.42, ∴P(X=﹣2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 ∴X 的数学期望值 EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

19.

解: (Ⅰ)证明:由题意 f(an)=4+(n﹣1)×2=2n+2,即 logkan=2n+2, (1 分) ∴an=k
2n+2


2

. (2 分)

∵常数 k>0 且 k≠1,∴k 为非零常数, 4 2 ∴数列{an}是以 k 为首项,k 为公比的等比数列. (3 分) (II)解:由(1)知,bn=anf(an)=k ?(2n+2) , n+1 n+2 当 时,bn=(2n+2)?2 =(n+1)?2 . (4 分) 3 4 5 n+2 4 5 n+2 n+3 ∴Sn=2?2 +3?2 +4?2 +?+(n+1)?2 ,①2Sn=2?2 +3?2 +?+n?2 +(n+1)?2 .②(5 分) 3 4 5 n+2 n+3 3 3 4 5 n+2 n+3 ②﹣①,得 Sn=﹣2?2 ﹣2 ﹣2 ﹣﹣2 +(n+1)?2 =﹣2 ﹣(2 +2 +2 +?+2 )+(n+1)?2 ∴ =n?2 . (8 分)
n+3 2n+2

(III)解:由(1)知,cn=anlgan=(2n+2)?k lgk,要使 cn<cn+1 对一切 n∈N 成立, 2 * 即(n+1)lgk<(n+2)?k ?lgk 对一切 n∈N 成立. (9 分) 2 * ①当 k>1 时,lgk>0,n+1<(n+2)k 对一切 n∈N 恒成立; (10 分)

2n+2

*

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②当 0<k<1 时,lgk<0,n+1>(n+2)k 对一切 n∈N 恒成立,只需 分) ∵ ∴当 n=1 时, ∴ ∴ ,且 0<k<1, . (13 分) 满足条件. (14 分) 单调递增, . (12 分)

2

*

, (11

综上所述,存在实数 20. 解: (Ⅰ)依题意,



①当 m>0 时, 解 f′(x)≥0 得﹣2≤x≤2,解 f′(x)<0 得 x<﹣2 或 x>2; 所以 f(x)在[﹣2,2]上单调递增,在(﹣∞,﹣2) , (2,+∞)上单调递减; ②当 m<0 时, 解 f′(x)≤0 得﹣2≤x≤2,f′(x)>0 得 x<﹣2 或 x>2; 所以 f(x)在[﹣2,2]上单调递减;在(﹣∞,﹣2) , (2,+∞)上单调递增. (Ⅱ)当 m<﹣2,﹣2≤x≤2 时, 在[﹣2,2]上单调递减, 由(Ⅰ)知,f(x)在[﹣2,2]上单调递减, 所以 ∴ . (Ⅲ)当 m≥2,x1∈[2,+∞)时, , 由(Ⅰ)知 h(x1)在[2,+∞)上单调递减, 从而 h(x1)∈(0,f(2)], 即 当 m≥2,x2<2 时, 在 (﹣∞, 2) 上单调递增, 从而 h(x2)∈(0,g(2) ) ,即 ; ; 在[﹣2,2]上单调递减; ;

对于任意的 x1∈[2,+∞) ,总存在唯一的 x2∈(﹣∞,2) ,使得 h(x1)=h(x2)成立,
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2015 年全国高考山东卷(理科)数学模拟

只需 记函数 易知

,即 ,

成立即可.

在[2,+∞)上单调递增,且 H(4)=0;

所以 m 的取值范围为[2,4) .

21. 解: (1)易得 T(2,0) ,M(﹣1,0) ,N(1,0) ,设 P(x0,y0) ,C(x,y) ,则 ,

直线 PS 与 TE 交于 C,故 x≠±2,

①且

,②. ?(2 分)

①②相乘得



又点 P 是圆 O 上的动点,故



=1, (4 分)

要使|CM|+|CN|为定值,则 4﹣

=1,解得 λ = ,

此时

=1(x≠±2)

即 λ = 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为

=1(x≠±2)?(6 分)

(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,假设使 (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 Q 点且| |=1,得

成立的直线 l 存在,

,即 m =k +1?(7 分)

2

2

∵ ∴





即 x1x2+y1y2=0, 2 2 2 将 y=kx+m 代入椭圆方程,得(3+4k )x +8kmx+(4m ﹣12)=0 由求根公式可得 ,④ ⑤

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=
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= 将④,⑤代入上式并化简得 (1+k ) (4m ﹣12)﹣8k m +m (3+4k )=0⑥ 2 2 2 将 m =1+k 代入⑥并化简得﹣5(k +1)=0,矛盾,即此时直线 l 不存在 ?(10 分) (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,满足 当 x=1 时,A,B,Q 的坐标分别为 ∴ ∴ ; ,矛盾,即此时直线 l 也不存在 成立的直线 l 不存在.?(12 分) , 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=﹣1, ,
2 2 2 2 2 2

当 x=﹣1 时,同理可得 综上可知,使

第 10 页


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