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高中数学-排列组合及二项式定理-知识点和练习


排列组合及二项式定理
【基本知识点】 1.分类计数和分步计数原理的概念 2.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序 排成 ..... 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ....
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3.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素
m 的排列数,用符号 An 表示
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m 4.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N , m ? n )

?

5.阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
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m 6.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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7.组合概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合
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8.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
m 元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

m 9.组合数公式: Cn ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!

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m n ?m 0 10.组合数的性质 1: Cn .规定: Cn ? Cn ? 1; m m m?1 11.组合数的性质 2: Cn Cn +Cn +?+Cn =2 ?1 = C n + C n
0 1 n
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n

12.二项式展开公式:(a+b) =Cn a +Cn a b+?+Cn a b +?+Cn b 13.二项式系数的性质:

n

0 n

1 n-1

k n-k k

n n

0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 r 为自变量的函数 f (r ) ,定义域是 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

{0,1, 2,?, n} ,
m n?m (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn ) . ? Cn
n n ?1 n ?1

(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大 值. (3)各二项式系数和:∵ (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? x ,
n 1 r r n

令 x ? 1 ,则 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn
n 0 1 2 r

n
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【常见考点】
1

一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看 作“客” ,能重复的元素看作“店” ,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在 正确判断哪个底数,哪个是指数 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】 : (1) 3 (2) 4
4
3

(3) 4

3

二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.高☆考♂资♀源网 ☆ (4) A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排法种数有
4 【解析】 :把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种

(5)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A.360 B. 188 C.216 D.96
2 2 2 2 【解析】 : 间接法 6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,C3 A2A4A2 =432 种高☆考♂

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2 2 2 2 其中男生甲站两端的有 A1 2C3 A2A3 A2 =144 ,符合条件的排法故共有 288

三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几 个元素插入上述几个元素的空位和两端. (6)七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
5 2 【解析】 : 除甲乙外, 其余 5 个排列数为 A5 种, 再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种, 不同的排法种数是 A5 A6 ? 3600 种
5 2

(7)书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答) 【解析】 :
1 1 A1 7A8A9 =504

(8)马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】 :把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法,所以满足条件的关 灯方案有 10 种. 四.元素分析法(位置分析法) :某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 素;再排其它的元素。 (9)2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) 高☆考♂资♀源网☆ A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种
2 3 【解析】 :方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。 A3 A3 ? 36
3

方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C2 C2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有
1 1 3

2

选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.
2 2

(10)1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
4 1 1 4 【解析】 : 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种, 4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法; 所以共有 A3 . A4 ? 72 种。

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。高☆考♂资♀源网☆ (11) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( ) A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 (12)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为
5 5 (A) A 15 A 10 15 5 5 5 3 (B) A 15 15 A 10 A 5A 3 (C) A 5 5 5 3 (D) A 15 A 10 A 5 ?A 3

(13)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后排,有多少 种不同排法?
6 【解析】 : (1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A6 ? 720 种,选 C .高

☆考♂资♀源网☆ (2)答案:C (3)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个
1 2 5 有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.
1 5 2

六.定序问题缩倍法(等几率法) :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. (14)A, B, C , D, E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边 ( A, B 可以不相邻) 那么不同的排法种数是 ( 高☆考♂资♀源网☆ 【解析】 :B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同, 所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半, 即 )

1 5 A5 ? 60 2

种 (15)书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少种不同的插法?高☆考♂资♀源 网☆
3 【解析】 :法一: A9

法二:

1 9 A9 6 A6

七.标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定 排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. (16) 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种高☆考♂资♀源网☆ 【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . (17)编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是() A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案:B 八.不同元素的分配问题(先分堆再分配) :注意平均分堆的算法
3

(18)有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?高☆考♂资♀源网☆ (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人 1 本,一个人 2 本,一个人 3 本; (3) 分成每组都是 2 本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人 2 本; (5) 分给 5 人每人至少 1 本。 【解析】 : (1) C C C
1 6 2 5 3 3

(2) C C C A

1 6

2 5

3 3

3 3

2 2 2 2 1 1 1 1 1 C6 C4 C2 C5 C5C4C3C2C1 5 2 2 2 (3) (4) C6 C4 C2 (5) A5 3 A4 A3 4

(19) 四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
2 3 【解析】 :先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中每次排 3 个有 A4 种,故

2 3 共有 C4 A4 ? 144 种.

九.相同元素的分配问题隔板法: (20)把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有 多少种不同的放法? 【解析】 :向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把这 17 个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C16 ? 120种。高☆考♂资♀源网☆ (21)10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 【解析】 :10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆 至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,
6 故共有不同的分配方案为 C9 ? 84 种.高☆考

2

十.排数问题(注意数字“0” )高☆考♂资♀源网☆ (22)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种 【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .
5



十一.染色问题:涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论; (2)根据相对区域是否同色分类讨论;高☆考♂资♀源网☆ (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。 (23)将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使 用,那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、C、D 四点, 此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。
1 2

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B, 由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一 个只需染与其相对顶点同色即可,故有 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。
1 2 1 1 2

4

5 (3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法高☆考♂资♀源网☆

综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420. 十二. 几何中的排列组合问题: (24) 已知直线

x y 2 2 ? ?1 ( a, b 是非零常数) 与圆 x ? y ? 100 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数, a b

那么这样的直线共有条 【解析】 :
2 C12 =66

圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ? 10,0),(0 ? 10) 其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C1 12 =12 其中平行于坐标轴的有 14 条 不满则条件

12 个 ,

66-4+12-14=60

答案:60 【练习】 1、4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 (A)12 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种
1 【解析】分两类:取出的 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 4 种;取出的 2 本画册,2 本集邮册,此时 2 赠送方法有 C4 【答案】B ? 6 种。总的赠送方法有 10 种。

2、正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的 条数共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10
1 【解析】先从 5 个侧面中任意选一个侧面有 C5 种选法,再从这个侧面的 4 个顶点中任意选一个顶点有 C 4 种选法,
1

由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底
1 面上的共 8 个点,还剩下 2 个点,把这个点和剩下的两个点连线有 C 2 种方法,但是在这样处理的过程中刚好每一

条对角线重复了一次, 所以最后还要乘以 A.

1 1 1 1 1 , 所以这个正五棱柱对角线的条数共有 C 5 ? C4 ? C2 ? ? 20 ,所以选择 2 2

3、 (4 ? 2 ) ( x ? R) 的展开式中的常数项是
x

?x 6

(A) ?20 【答案】C

(B) ?15

(C) 15

(D) 20

r r x (12?3r ) 【解析】 : Tr ?1 ? (?1)r C6 令 x(12 ? 3r ) ? 0 ? r ? 4 ,于是展开式中的常数项是 (4x )6?r (2? x )r ? (?1)r C6 2 4 (?1)4 C6 ? 15 故选 C

5 4、已知 ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数与 ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数相等,则 cos ? ? . 4

5

【答案】 ?

5 5 2 r ? x 4? r ? ( ) r ,? 4 ? r ? 3,? r ? 1 , 解: ( x ? ) 4 的通项为 C 4 4 4 2 5 4 5 1 ) 的展开式中 x 3 的系数是 C 4 ? ? 5, 4 4

∴ (x ?

( x cos? ? 1) 5 的通项为 C5R ? ( x cos? ) 5? R ,? 5 ? R ? 2,? R ? 3 ,
3 ∴ ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数是 C5 ? cos2 ? ? 5, ∴ cos 2 ? ?

1 2 , cos? ? ? . 2 2

8 2 6 5、已知 (1 ? kx ) ( k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于 120,则 k ? .
r r r 2r 4 4 【解析】 (1 ? kx ) 按二项式定理展开的通项为 Tr ?1 ? C6 (kx2 )r ? C6 k x ,我们知道 x 的系数为 C6 k ? 15k 4 ,即

2 6

8

15 k 4 ?120 ,也即 k 4 ? 8 ,而 k 是正整数,故 k 只能取 1。
2 6、若C1 3 2C 3n ? ? ?3 n ?3C n ? n2 ?

C

n 1 ? n

? 3

n 1 ?

? 85

,则 n 的值为.

答案 4 7、已知 (1 ? 2x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,则 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? 4a 4 =-8.
4 2 3 4

8、对任意的实数 x ,有 x ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? a3 ( x ? 2) ,则 a2 的值是( B )
3 2 3

A.3

B.6

C .9

D.21

9 、 设 a1 , a2 , ? , an 是 1 , 2 , ? , n 的 一 个 排 列 , 把 排 在 a i 的 左 .边 .且 比 a i 小 .的 数 的 个 数 称 为 a i 的 顺 序 数 (i ?1, 2 ,?, n) .如:在排列 6,4, 5, 3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数 字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( C ) A.48 B.96 C.144 D.192 10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字 中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120 个 B.80 个 C.40 个 D. 20 个 【答案】C 11、现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着 色方法共有 A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种

【答案】D 12、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一个正方体中,由两个顶
6

点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ) A.24 B.30 C.36 D.42 【答案】C 13.从 8 名女生 4 名男生中,选出 3 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为 ; 【答案】112 14、现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( )种.
8 6 3 8 4 3 5 3 3 (A) A6 (B) A8 (C) A5 (D) A8 ? A6 ? A3 ? A6 ? A5 ? A3
5 误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 A5 种排法,5 人排好后产生 6 个空档,插入甲、乙、丙三人有 3 种方法,这样共有 A6 ? A5 种排法,选 A. A6

3

5

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻 ” .... 的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数,
8 6 3 即 A8 ,故选 B. ? A6 ? A3

15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由 选择,则不同的分配方案有( ). (A)16 种 (B)18 种 (C)37 种 (D)48 种 误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共有 3? 4? 4 ? 48种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如: a 班先派去了甲工厂, b 班选择时也去了甲工厂,这与 b 班先派去了甲工 厂, a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况,并且这种重复很难排除. 正解: 用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数, 再扣除甲工厂无人去的情况, 即:4? 4? 4 ? 3?3?3 ? 37 种方案. 排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法,即: “分步用乘、分类用加、有序排列、 无序组合” ,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好.

7


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