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椭圆,双曲线,抛物线


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

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真题试做
2 1.(2012· 湖南高考,理 5)已知双曲线 C: 2

?

2

2 =1 的焦距为 10,点

P(2,1)

在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( A ).
2 2 A. ? =1 20 5 2 2 C. ? =1 80 20 2 2 B. ? =1 5 20 2 2 D. ? =1 20 80

解析:由 2c=10,得 c=5,∵ 点 P(2,1)在直线 y= x 上,∴ 1= .




2

又∵ a2+b2=25,∴ a2=20,b2=5. 故 C 的方程为
2 20

?

2 5

=1.

2.(2012· 福建高考,理
2

2 8)已知双曲线 4

?

2

2 =1

的右焦点与抛物线

y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A ). A. 5 B.4 2 C.3 D.5

解析:由双曲线的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,知
2

c= =3,c2=9=4+b2,于是 b2=5,b= 5.因此该双曲线的渐近线的方程为
2



y=± x,即 5x± 2y=0.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 d=
2

5

|3 5| 5+4

= 5.

3.(2012· 北京高考,理 12)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的 倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为 . 3
解析:由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线 l 的方程为 y=tan 60° (x-1),即 y= 3x- 3, 联立得 = 3x- 3, ① 2 = 4x. ②
3 3
2 4 3

由①得 x= y+1,③ 将③代入②并整理得 y 解得 y1=2 3或 y2=2 3 3

y-4=0,

3.

又点 A 在 x 轴上方,∴ A(3,2 3). ∴ S△OAF= ×|OF|×|y1|= ×1×2 3 = 3.
2 2 1 1

短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, 点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,=2,求直线 AB 的方程.

2 2 4.(2012· 陕西高考,理 19)已知椭圆 C1 : +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为 4

解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 其离心率为 ,故
2 3 2 -4 2 16

2 2

+

2 4

=1(a>2),

= +

3

故椭圆 C2 的方程为

2 2 4

,则 a=4, = 1.

(2)方法一 :A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由=2及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.

2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 =

2

4 1+4 2 16

将 y=kx 代入

4 2 16

. .

4 16 2 2 又由 =2A,得 =4 ,即 2 4+

+

2

2 =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 =

=

16 1+4 2

4+ 2

,

解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 =2及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.
2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 = 4 2 由 =2,得 4+ 2 1+4 2 4

=

2 , 2 1+4

16

=

16 2 1+4 2

2 2 ,将 , 代入

1+4 2 2 2 16

.

+

4

=1 中,得

2 2 = 1, 即 4 +k = 1 + 4 k ,解得 k=± 1, 2

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

考向分析
圆锥曲线是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容,所占分数约 在 12~18 分.主要考查圆锥曲线的标准方程、 几何性质、直线与圆锥曲线的 位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性质的考查,以选择题、填空题为主,如 2012 年湖南高考理 5,2012 年福建高考理 8 等题; 对直线与圆锥曲线的位置 关系的考查,常与其他知识交汇,形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明 问题等,多以解答题的形式出现. 预计在今后高考中,解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载 体,继续与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,考查最值问题、范围问 题、存在性问题以及有关的证明等,试题属于中、高档题.考查的思想方法 主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法.

热点例析
热点一 圆锥曲线的定义、性质与标准方程 【例 1】
2 若椭圆

+

2 =1

2 与双曲线

2 ? =1(m,n,p,q

均为正数)有共

同的焦点 F1,F2,P 是两条曲线的一个公共点,则|PF1|· |PF2|等于( C ). A.p2-m2 B.p-m C.m-p D.m2-p2 解析:根据题意可知 m>n,由于点 P 是椭圆上的点,据椭圆定义有
|PF1|+|PF2|=2 . 又点 P 在双曲线上,再据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=± 2 ,将上述两式 分别平方再相减得|PF1| ·|PF2|=m-p.

规律方法 1.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系 数法、 轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统 一设成 mx2+ny2=1(mn≠0),这样可以避免对参数的讨论. 2.应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用,若已知圆锥曲线上一 点及焦点的相关信息,应首先考虑使用圆锥曲线的定义来求解. 3.在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根 据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数 c,a,b 的方程或不等 式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围. 4.在双曲线中,由于 e
2

=1+ 2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.

2

5.抛物线的几何性质的特点 :有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条 对称轴、 无对称中心、没有渐近线,这里强调 p 的几何意义是焦点到准线的 距离.

变式训练 1(1)(2012· 江苏南京二模,6)已知双曲线
2 2 -y =1 2

的一条渐近线方程为 x-2y=0,则该双曲线的离心率 e= ?
2
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是

5 2

.

2 (2)已知双曲线 2
2

y= 3x,它的一
2 12

2

个焦点与抛物线 y =16x 的焦点相同,则双曲线的方程为 4

?

=1

.

(2)解析:由双曲线


2 2

?

2 2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x 得

= 3,∴ b= 3a. ∵ 抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),∴ c=4. 又∵ c =a +b ,∴ 16=a +( 3a) .
2 2 2 2 2

∴ a2=4,b2=12. ∴ 所求双曲线的方程为
2 4

?

2 12

= 1.

热点二 圆锥曲线的最值或定值问题 【例 2】 已知动直线 l 与椭圆
6 2 2 C: 3 2 + =1 2

交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两不

同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ= ,其中 O 为坐标原点.
2 2 2 2 (1)证明:1 + 2 和1 + 2 均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值;

(3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ?若存在, 判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 2

(1)证明:当直线 l 的斜率不存在时, P,Q 两点关于 x 轴对称,所以 x2=x1,y2=-y1. 因为 P(x1,y1)在椭圆上,因此
6 2
2 1

3

+

2 1

又因为 S△OPQ= ,所以|x1|·|y1|= .② 由①、②得|x1|= ,|y1|=1,
2 此时 1 + 2 2 2 2 =3,1 2 + 2 =2. 6 2

2 6

= 1. ①

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由题意知 m ≠0,将其代入
2 2

2 3

+
2

2 2

=1 得(2+3k )x +6kmx+3(m -2)=0,
2 2 2 2 2

其中 Δ=36k m -12(2+3k )(m -2)>0,即 3k +2>m .(*)
2

又 x1+x2=-

6

2+3 2

,x1x2=

3( 2 -2) 2+3 2

,

所以|PQ|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 = 1 + 2
2 6 3 2 +2- 2 2+3 2

.
| | 1+ 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d= 所以 S△OPQ= |PQ| ·d=
2 1 1 2

.
2+3 2

1 + 2 ·

2 6 3 2 +2- 2

·

| | 1+ 2

=

6|m | 3 2 +2- 2 2+3 2 6

.

又 S△OPQ= ,
2

整理得 3k2+2=2m2,且符合(*)式,
2 此时 1 2 1 + 6 2 3( 2 -2) 2 2 + 2 =(x1+x2) -2x1x2= - 2× =3, 2+3 2 2+3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = (3-1 )+ (3-2 )=4- (1 + 2 )=2. 3 3 3

2 2 2 2 综上所述,1 + 2 =3,1 + 2 =2,结论成立.

(2)解法一:①当直线 l 的斜率不存在时, 由(1)知|OM|=|x1|= ,|PQ|=2|y1|=2,因此|OM|· |PQ|= ×2= 6.
2 2 6 6

②当直线 l 的斜率存在时,由(1) 知,
1 + 2 2 1 +2

=-

3

=-

2 3 2 2

=k

2 1 + 2

,

+m=
1 2

2 -3 2 +2 2

+m = ,
2 1 1 1 +2 2

|OM|2= =
9 2 4

2 1 + 2 2 2

+

4 2 2 2 2 2 2 24(3 +2- ) |PQ| =(1+k ) (2+3 2 )2 2(2 2 +1) 1

+ 2

=

6 2 -2

=

3-

1 2

,

=

2

=2 2 +

2

,

所以|OM|2·|PQ|2 = × 32 1 1 2

×2× 2 +
1 2 25 4 5 2 2

1 2

= 3≤

1 2 2

2+
1

3- 2 +2+ 2

1

=

.
1
2 =2+

所以|OM|·|PQ|≤ ,当且仅当 3-

1

综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为 .
2

5

2

,即 m=± 2时,等号成立.

解法二:因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2 2 2 2 2 =2[(1 + 2 )+(1 + 2 )]=10. 所以 2|OM|·|PQ|≤
4| |2 +|PQ |2 2 5 2

=

10 2

=5,即|OM|·|PQ|≤ .
2

5

当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立. 因此|OM|·|PQ|的最大值为 .

(3)解:椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= .
2

6

证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ,
2 2 2 2 2 由(1)得 u2+1 =3,u2+2 =3,1 + 2 =3; 2 2 2 2 v2+1 =2,v2+2 =2,1 + 2 =2, 2 2 2 2 解得 u2=1 = 2 = ;v2=1 = 2 =1. 2 3

6

因此 u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取,
2

6

因此 D,E,G 只能在 ±

6 2

, ± 1 这四点中选取三个不同点,
6

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 矛盾.
2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.

规律方法 1.求最值的常用方法 (1)函数法,如通过二次函数求最值 ;(2)三角代换法,转化为三角函数,利 用三角函数的有界性求最值;(3)不等式法,通过基本不等式求最值;(4)数形 结合法等. 2.定值问题的求解策略 解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值 ”是多少,再进行证明, 或者先将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数. 特别提醒 :解决定值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量.

变式训练 2(2012·安徽安庆二模,20)已知,椭圆
2 C: 2

+

2

2 =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,e= ,过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于

1 3

A,B 两点,|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,且|AB|=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)M,N 是椭圆 C 上的两点,若线段 MN 被直线 x=1 平分,证明:线段 MN 的中垂线过定点.
(1)解:∵ |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, ∴ |AF2|+|BF2|=2|AB|. ∴ 4a=|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AB|=3|AB|=12.∴ a=3. 又 e= = ,∴ c=1,b= 2 - 2 =2 2.
3 1

所求的椭圆方程为

2 9

+

2 8

= 1.

(2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为(1,y0), 由题意,知
2 1

9

+

2 1

两式相减,得 ∴ kMN=
1 -2 1 - 2

8 9 ( 1 + 2 )( 1 - 2 ) 9 8

=1,

2 2

+

2 2

8

=1.
8

+

(1 +2 )(1 -2 )

=0,

=-

8( 1 + 2 ) 9(1 +2 )

=-

90

.
90 8

∴ 线段 MN 的中垂线方程为 y-y0=

(x-1),易证,此直线过定点

1 9

,0 .

热点三 圆锥曲线中的参数范围 【例 3】 如图,已知圆 C:(x+1)2+y2=8,定点 A(1,0),M 为圆上一动点,
点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 =2, · =0,点 N 的轨迹为曲 线 E.

(1)求曲线 E 的方程 ; (2)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G,H(点 G 在点 F,H 之间),且满足 =λ ,求 λ 的取值范围.

解:(1)∵ =2, · =0, ∴ NP 为 AM 的垂直平分线, ∴ |NA|=|NM|. 又∵ |CN|+|NM|=2 2, ∴ |CN|+|AN|=2 2>2, ∴ 点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为 2a=2 2, 焦距 2c=2,∴ a= 2,c=1,b =1,
2

∴ 曲线 E 的方程为 +y2=1.
2

2

(2)当直线 GH 的斜率存在时, 设直线 GH 的方程为 y=kx+2,代入椭圆方程 +y =1,得
2

2 2

1 2

+

2 x +4kx+3=0. 由 Δ>0 得 k2> .
2 3

2

设 G(x1,y1),H(x2,y2), 则 x1+x2=1
2

-4 +

,x x = 2 1 2 1
2

3 + 2

.

又∵ =λ , ∴ (x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), ∴ x1=λx2,
2 ∴ x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λ2 ,



1 + 2 2 1+

=
3

2 2 16

=

1 2

.∴ 1
2 2

-4 + 2

2

·

1 1+

2

=1
2

3 +

· , 2


1

整理得
3 2

1 +1 2 2

=
16 3

(1+ )

.
1 16 3 1 3

∵ k2> ,∴ 4<

16
3 +3 2 2

<
1 3

.∴ 4<λ+ +2< ,∴ <λ<3.

又∵ 0<λ<1,∴ <λ<1. 又当直线 GH 的斜率不存在,即其方程为 x=0 时, = ,λ= .
3 3 1 1

∴ ≤λ<1,即所求 λ 的取值范围是 ,1 .
3 3

1

1

规律方法求参数范围的常用方法 (1)函数法,用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的 方法求解. (2)不等式法,根据题意建立含参数的不等关系,通过解不等式求参数的 范围. (3)判别式法,建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式 Δ≥0 求参数 的范围. (4)数形结合法,研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合思想求 解. 特别提醒 :直线与圆锥曲线相交( 有两个交点),联立方程消元后得方程 ax +bx+c=0(a≠0),则 Δ=b -4ac>0,在求字母范围时易忽视此限制条件,从而
2 2

产生增根.

变式训练 3 已知点 P(4,4),圆 C:(x-m) +y =5(m<3)与 椭圆
2 E: 2 + 2
2 =1(a>b> 0)有一个公共点

2

2

A(3,1),F1,F2 分别是椭圆的左、右焦

点,直线 PF1 与圆 C 相切.

(1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 · 的取值范围.

解:(1)点 A 坐标代入圆 C 方程,得(3-m) +1=5.
2

∵ m<3,∴ m=1. 圆 C:(x-1)2+y2=5. 设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1 :y=k(x-4)+4, 即 kx-y-4k+4=0. ∵ 直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| -0-4 +4| 2 +1

= 5.
11 2 1 2

解得 k= 或 k= .

当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去 ;
2 11

11 1 2

36

当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴ c=4. ∴ F1(-4,0),F2(4,0). 2a=AF1+AF2=5 2 + 2=6 2,a=3 2,a2=18,b2=2. 椭圆 E 的方程为
2 18 2 2

+

=1.

(2) =(1,3),设 Q(x,y), =(x-3,y-1), · =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6. ∵ +
18 2 2 2

=1,即 x2+(3y)2=18,

而 x2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴ -18≤6xy≤18.

则(x+3y) =x +(3y) +6xy=18+6xy 的取值范围是[0,36].
2 2 2

x+3y 的取值范围是[-6,6]. ∴ · =x+3y-6 的取值范围是[-12,0].

l

2 2 与椭圆 +y =1 2

热点四 开放性、探索性问题(即存在性问题) 【例 4】 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线
有两个不同的交点 P 和 Q.

(1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数

k,使得向量 + 与 共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理 由. 解:(1)由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,

代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1.
2

2 2
2

整理得
2

1 2

+ 2 x +2 2kx+1=0.①
2

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k -4 2 =4k -2>0, 解得 k<- 或 k> .
2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

+

即 k 的取值范围为 -∞,-



,+∞ .

(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 + =(x1+x2,y1+y2), 由方程①得 x1+x2=4 2k 1+2 2

.②

又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2,③ 而 A( 2,0),B(0,1), =(-2,1), 所以 + 与 共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2). 将②③代入上式,解得 k= . 由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k.
2 2 2 2 2 2

规律方法 1.解决探索性问题应注意以下几点 : 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若 结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另 外的途径. 2.存在性问题的解题步骤 : (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组) 或不等式(组). (2)解此方程(组) 或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在. (3)得出结论.

变式训练 4 如图,椭圆

2 C: 2 +

2

2 =1

的顶点为

A1,A2,B1,B2,焦点为 F1,F2,|A1B1|= 7, ?1 1 2 2 =2?1 1 2 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 P 点,与椭圆相交于 A,B 两点的直线,| |=1.是否存在上述直线 l 使 · =1 成立?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)由|A1B1|= 7知 a +b =7,①
2 2

由?1 1 2 2 =2?1 1 2 2 知 a=2c,② 又 b2=a2-c2,③ 由①②③解得 a2=4,b2=3, 故椭圆 C 的方程为
2 4

+

2 3

= 1.

(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 假设使 · =1 成立的直线 l 存在, ①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且| |=1, 得
| | 1+
2 2 = 1, 即 m =k +1. 2

∵ · =1,||=1, ∴ ·=( + )·( + ) =2 + · + · + · =1+0+0-1=0, 即 x1x2+y1y2=0. 将 y=kx+m 代入椭圆方程, 得(3+4k )x +8kmx+(4m -12)=0,
2 2 2

由求根公式可得 x1+x2=
4 2 -12

-8

3+4 2

,④

x1x2= .⑤ 3+4 2 0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,

将④⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥ 将 m2=1+k2 代入⑥并化简得-5(k2+1)=0,矛盾.即此时直线 l 不存在. ②当 l 垂直于 x 轴时,满足| |=1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=-1, 当 x=1 时,A,B,P 的坐标分别为 1, ∴ = 0,3 2 3 2

, 1,9 4

3 2

,(1,0),

, = 0,-

3 2

.∴ · = ≠1.

当 x=-1 时,同理可得 · ≠1, 即此时直线 l 也不存在. 综上可知,使 · =1 成立的直线 l 不存在.

思想渗透
分类讨论思想——解析几何中含参数的问题
解析几何中含参数的问题类型 : (1)当直线过定点设直线方程时,应对直线分斜率存在与不存在两种情 况进行讨论; (2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时,应对参数进行讨论; (3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时,应对解析式中含有的参 数进行讨论; (4)有关二元二次方程表示曲线类型的判定等. 求解时注意的问题 : (1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义,对参数的不同取值或 不同取值范围进行分类讨论,分类时应注意讨论的时机、标准、原因,做到 不重不漏. (2)对参数的分类讨论,最后仍然分类写出答案 ;如果是对所求的字母进 行分类求解,最后一般要整理得出并集.

【典型例题】 (2012· 浙江高考,理 21)如图,椭圆 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.
1 2

2 C: 2

+

2

2 =1(a>b> 0)

的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 ,不过原点 O 的直线 l 与 C

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

解:(1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得 (2 + )2 + 1 = 10, 得 = 1, = 2.

2 2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3

1 = , 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不 符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0), = + , 由 消去 y,整理得 2 2 3 + 4 = 12 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①

则 Δ=64k m -4(3+4k )(4m -12)>0,
2 2 2 2

1 + 2 = 1 2 = 所以线段 AB 的中点 M 4
2,

8

3 + 4 42 -12 3 + 4
3
2

2,

2

.

因为 M 在直线 OP 上,所以 得 m=0(舍去)或
3 k=- . 2

3+4 3+4 3 -2 3+4
2

.

=

3+4

2,

此时方程①为 3x2-3mx+m2-3=0,则 1 + 2 = m, 2 Δ=3(12-m )>0, 2-3 1 2 = .
3

所以|AB|= 1 + 2 ·|x1-x2|=

39 · 6

12- 2 .

设点 P 到直线 AB 距离为 d, 则 d=
|8-2| 32 +22

=

2|-4| . 13

设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|·d= · (-4)2 (12-2 ), 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3], u'(m)=-4(m-4)(m -2m-6)=-4(m-4)·(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上可知,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0.
2

1 2

3 6

2 2 1.(2012· 安徽安庆二模,3)双曲线 -y =1 3

的右焦点坐标为( A ).

A.(2,0) C.( 2,0)

B.(0,2) D.(0, 2)

2.(2012· 河北邯郸一模,11)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,倾斜角为
2

60° 的直线 l 过点 F 且与抛物线的一个交点为 A,|AF|=3,则抛物线的方程为 ( D ). 2 2 9 A.y =3x B.y = x
3 C.y2= x 2



9 y2= x 2
2

2

D.y2=3x 或 y2=9x

解析:直线 l 方程为 y= 3 .
2

设 A(x1,y1),则 y1= 3 1

.
2

又根据抛物线定义,有 x1+ =3, ∴ x1=3- .故 A 3- , 3(3-p) .
2 2

将 A 点坐标代入抛物线方程,并整理有 :4p2-24p+27=0,∴ p1= ,p2= .
2 2

3

9

故抛物线方程为 y2=3x 或 y2=9x.

3.以 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线 x-y+3=0 有公共点的椭圆中,离心 率最大的椭圆方程是( C ).
2 2 A. + =1 20 19 2 2 C. + =1 5 4 2 2 B. + =1 9 8 2 2 D. + =1 3 2

解析: ∵ c=1,故若使椭圆的离心率最大,则 a 最小,即在直线 x-y+3=0 上 求一点 M 使|MF1|+|MF2|最小,易求点 F1 关于直线 x-y+3=0 的对称点 N 为 (-3,2), ∴ |NF2|=2 5. ∴ 2a=2 5,故所求椭圆方程是
2 5

+

2 4

=1.故选 C.

双曲线的渐近线方程为 y=± 3x
解析:c2=a2+1,由
2 2

2 2 4.(2012· 山东潍坊 3 月模拟,13)双曲线 2-y =1(a>0)的离心率为 2,则该

=

2 +1 2

.

=4 得 a= .
3

3

故渐近线方程为 y=± x=± 3x.




5.(2012·北京丰台 3 月模拟,10)已知抛物线 y2=8x 上一点 P 到焦点的 4 2) . 距离是 6,则点 P 的坐标是 (4,±
解析:利用抛物线定义先求出 P 点的横坐标.

2 6.(2012·山东济南 3 月模拟,15) 过双曲线 2

?

2

2 =1(a>0,b>0)的一个焦

点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)的垂直平分线上, 2 则双曲线的离心率为 . 解析:设垂足为 M.
则△OFM 为等腰直角三角形,设 OF 中点为 N,利用 MN=ON= OF,列出
2 1

关于 a,c 的关系式即可解决.

7.(2012· 山东济南 3 月模拟,21)已知椭圆的焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P,Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M,N,则△ F1MN 的内切圆的面 积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在, 请说明理由.

解:(1)设椭圆方程为 由|PQ|=3,可得 故椭圆方程为
2 2

2 2

+

2

2

=1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1.

=3.
2 3

又 b2+c2=a2,所以 a=2,b= 3.
2 4

+

=1.

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),不妨 y1>0,y2<0, 设△ F1MN 的内切圆的半径为 R, 则△ F1MN 的周长=4a=8, △1 MN = (MN+F1M+F1N)R=4R,
2 1

因此 △1 MN 最大,R 就最大.

△1 MN = F1 F2(y1-y2)=y1-y2.
2

1

由题意知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1, = + 1, 由 2 2 得(3m2+4)y2+6my-9=0, + = 1,
4

得 y1= y2 =

3 -3 +6 2 +1

3 2 +4 -3 -6 2 +1 3 2 +4

,

.

所以 △1 MN = F1F2(y1-y2) =y1-y2= 令 t=
12 2 12 2 +1 3 2 +4 2 + 1,则

1

.

t≥1,

则△1 MN = =
3 2 +1

12 2 +1 3 2 +4
1

=

12

3 +

,

令 f(t)=3t+ ,则 f'(t)=3- 2,


1

1

当 t≥1 时,f'(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t) ≥f(1)=4,△1 MN ≤ 即当 t=1,m=0 时,△1 MN ≤
12 4

12 4

=3,

=3,△1 MN =4R,所以 Rmax= .
9π 16 4 9π 16

3

这时所求内切圆面积的最大值为 . 故直线 l:x=1,△ F1MN 内切圆面积的最大值为 .

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