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湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试题文实验班


湖南省衡阳市 2017 届高三数学第六次月考试题 文(实验班)
注意事项: 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第六次月考试卷,分两卷。其中共 23 题,满分 150 分,考 试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即 向监考老师通报。开考 15 分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上, 选择题部分请用 2B 铅笔填涂, 非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★ 第 I 卷 选择题(每题 5 分,共 60 分) 本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|y=ln(2﹣x)},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,3] )

C.上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围;

(3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存 在,求出 m 的值,若不存在,说明理由.

【选做题】请考生从 22、23 题中任选一题作答,共 10 分 22.选修 4-4.坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方程为 .

-1-

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 23.选修 4-5.不等式选讲 设函数 f(x)=|x﹣a|+5x. (1)当 a=﹣1 时,求不等式 f(x)≤5x+3 的解集; (2)若 x≥﹣1 时有 f(x)≥0,求 a 的取值范围.

-2-

衡阳八中 2017 届高三实验班第六次月考文数参考答案 题号 答案 13.12 14.12 15.15 16.16π 17. 解:(Ⅰ)由 ∵an>0,∴Sn>0,∴ ∴数列 ∴ 当 n≥2 时, 又 a1=1 适合上式,∴an=2n﹣1.?6 分 (Ⅱ)将 an=2n﹣1 代入 , 是首项为 ,∴ = 得 +1, ,公差为 1 的等差数列. ,?2 分 ,a1=1,?4 分 ,故 , 1 C 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 B 9 A 10 B 11 A 12 D

?7 分

∴ ∵Tn﹣na<0,∴ ∵n∈N+,∴ ∵2n+1≥3, 18. (Ⅰ)∵PC⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1, , ?10 分 , ∴ ,∴ ,

?8 分

.?12 分

-3-

∴AC=BC=



∴AC2+BC2=AB2, ∴AC⊥BC. 又 BC? 平面 PBC,PC? 平面 PBC,BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC, 又∵AC? 平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBC.(6 分) (Ⅱ)取 BC 的中点 F,连接 EF,AF, ∵E,F 是 PB,BC 的中点, ∴EF∥PC, 由 PC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD. ∴∠EAF 为 AE 与平面 ABCD 所成角.即∠EAF=45°. ∵AF= ∴EF=AF= . = ,

∵E 是 PB 的中点, ∴VP﹣ACE=VE﹣ABC= = = .(12 分)

19. (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以样本中包含三个年级的个体数量分别是 50× = , =2.

=1,150× =3,100×

所以高一,高二,高三三个年级的学生被选取的人数分别为 1,3,2.(6 分) (2)设 6 件来自高一,高二,高三三个地区的学生分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则抽取的这 2 人构成的所有基本事件为:

-4-

{A,B1},{A ,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2, B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 人来自相同年级”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 所以 P(D)= 20. (I)由题意知 e= = 即
2

,即这 2 人来自相同年级的概率为

.(12 分)

,a ﹣b =c , ,

2

2

2


2

可得 a =4,b =3, 即有椭圆的方程为 + =1;(4 分)

(II)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ,(5 分)

由于以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,所以

,即





得(3+4k )x +8kmx+4(m ﹣3)=0,

2

2

2

△=64m2k2﹣16(3+4k2)(m2﹣3)>0,化为 3+4k2﹣m2>0. x1+x2=﹣ ,x1x2= ,(7 分)

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k ?
2

+km(﹣

)+m =

2



代入

,即

,(8 分)

得:

,2m ﹣4k =3,

2

2



-5-

O 到直线 l 的距离为 △ABO 的面积为

,(10 分)



把 2m2﹣4k2=3 代入上式得 21.

.(12 分)

(1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立, 即:x ﹣mlnx≥x ﹣x, mlnx≤x,即:m≤ 因为 ∴m≤e. 实数 m 的取值范围:m≤e(4 分) (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)﹣h(x)在上恰有两个不同零点, 即:k(x)=x﹣2lnx﹣a, 设 y1=x﹣2lnx,y2=a,分别画出它们的图象, 在(1,+∞)上恒成立,
2 2

在(1,+∞)上的最小值为:e,

由图得:

实数 a 的取值范围(2﹣2ln2,3﹣2ln3];(8 分) (3)假设存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性, 由图可知,只须函数 f(x)=x2﹣mlnx 在 x= ∵f(x)=x2﹣mlnx 处取得极小值即可.

-6-

∴f′(x)=2x﹣m× ∴m= 故存在实数 m= 分) 22.

,将 x=

代入得:1﹣2m=0,

,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性.(12

(1)∵曲线 C 的参数方程为



∴曲线 C 的普通方程是



∵点 P 的极坐标为 ∴点 P 的普通坐标为(4cos

, ,4sin ),即(0,4),

把(0,4)代入直线 l:x﹣y+4=0, 得 0﹣4+4=0,成立, 故点 P 在直线 l 上.(5 分) (2)∵Q 在曲线 C: 上,(0°≤α <360°)



到直线 l:x﹣y+4=0 的距离:

= ∴ 23.

,(0°≤α <360°) .(10 分)

(1)当 a=﹣1 时,|x+1|+5x≤5x+3, 故|x+1|≤3, 故﹣4≤x≤2, 故不等式 f(x)≤5x+3 的解集为﹣4≤x≤2;(4 分) (2)当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0 恒成立,
-7-

故只需使当﹣1≤x<0 时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0, 即|x﹣a|≥﹣5x, 即(x﹣a)2≥25 x2, 即(x﹣a﹣5x)(x﹣a+5x)≥0, 即(4x+a)(6x﹣a)≤0, 当 a=0 时,解 4x×6x≤0 得 x=0,不成立; 当 a>0 时,解(4x+a)(6x﹣a)≤0 得, ﹣ ≤x≤ 故只需使﹣ ≤﹣1, 解得,a≥4; 当 a<0 时,解(4x+a)(6x﹣a)≤0 得, ≤x≤﹣ , 故只需使 ≤﹣1, 解得,a ≤﹣6; 综上所述,a 的取值范围为 a≥4 或 a≤﹣6.(10 分) ,

-8-


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