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湖北省襄阳五中、孝感高中2014-2015学年高一上学期期中联考(数学)

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湖北省襄阳五中、孝感高中 2014-2015 学年高一上学期期中联考数学试题数学试题 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知集合 A ? ? x A.0

? 3 ? ? 1, x ? N ? , B ? ? x log 2 ( x ? 1) ? 1, x ? N? , S ? A, S ? B ? ? ,则集合 S 的个数为 ? x ?
B.2 C.4 D.8

2. 某班共 40 人,其中 24 人喜欢篮球运动,16 人喜欢乒乓球运动,6 人这二项运动都不喜欢,则喜欢篮球 运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 A.17 B. 18 C.19 D.20

3. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.3 , c ? 0.30.2 ,则 a, b, c 三者的大小关系是 Ab ? a ? c. 4. 设函数 f ( x) ? ? A. B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? b ? a

x ? ?2 ? 1, x ? 1 若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于 2 x ? ax , x ? 1 ? ?

1 2

B.

4 5

C.2

D. 9

5. 化简 ? log 4 3 ? log 4 9 ?? log 3 2 ? log 3 8 ? ? A. 6 B. ?6 C. 12 D. ?12

7. 下列函数中在区间 A. y ? 3lg ? x ? C. y ? e
x ?1

? 3, 4 ? 内有零点的是
B. y ? ? x ? 3 x ? 5
3

? ?

5? ? 2?

? 4x ? 4
x

D. y ? 3 ? x ? 2 ?? x ? 3?? x ? 4 ? ? x
2

8. 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 ,若 f ( x ? 4) ? 2 ,则实数 x 的取值范围是 A. (?2, 2)
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B. (2, 5)

C. (? 5, ?2)

D. (? 5, ?2) ? (2, 5)
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9. 设 奇 函 数 ( x) 在 [?1,1] 上 是 增 函 数 , 且 f (?1) ? ?1 , 若 函 数 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 所 有 的

x ? [?1,1], a ? [?1,1] 都成立,则 t 的取值范围是
A. ?2 ? t ? 2 B. ?

1 1 ?t ? 2 2

C. t ? 2或t ? ?2或t ? 0

D. t ?

1 1 或t ? ? 或t ? 0 2 2

10. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , 已知当 x ? [0,1] 时,

1 f ( x) ? ( )1? x ,则: 2
① f ( x ? 2) ? f ( x) ; ②函数 f ( x) 在 (1, 2) 上递减,在 (2,3) 上递增;

③函数 f ( x) 的最大值是 1,最小值是 0; ④当 x ? (3, 4) 时, f ( x) ? ( ) x ?3 . 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1 2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将各题的正确答案直接写在题目中的横线上) 11. 若函数 f ( x) ?

x 为奇函数,则 a ? ____________. (2 x ? 1)( x ? a)
2

12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ? x ? =x ? x ? 1 ,则 f ? ?1? = 13. 已知幂函数 y ? x 则m ? 14. 已知函数 f ? x ? ? ?
m?3

.

( m ? N * ) 的图像关于 y 轴对称,且在

? 0, ?? ? 上单调递减,
.

? ?? a ? 3 ? x ? 3( x ? 1) 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 log x ( x ? 1) ? ? a

15. 已知 x ? R ,符号 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x) ? ①函数 f ( x) 的值域为[0,1] ; ③函数 f ( x) 是(0, ?? )上的减函数; 其中正确的序号为_______________.

[ x] ( x ? 0) ,则给出以下四个结论: x

②函数 f ( x) 的图象是一条曲线; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? a 有且仅有 3 个零点时

3 4 ?a? . 4 5

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分)设集合 A ? x 2 , 2 x ? 1, ?4 , B ? ? x ? 5,1 ? x,9? ,若 A ? B ? ?9? , 求 A? B .
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17.(本题满分 12 分)若集合 M ? x ?3 ? x ? 4 ,集合 P ? x 2m ? 1 ? x ? m ? 1 . (1)是否存在实数 m,使得 M = P. 若存在求出 m,若不存在请说明理由. (2)若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

18.(本题满分 12 分)若定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值;

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

19.(本题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) , 当 年 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) . 当 年 产 量 不 少 于 80 千 件 时 , 3

C ( x) ? 51x ?
全部售完.

10000 ,每件商品售价为 0.05 万元. 通过市场分析,该厂生产的商品能 ? 1450 (万元) x

(1)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

21.(本题满分 14 分)若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:

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①对任意 x, y ? R ,都有: f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1 ; ②当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . (Ⅰ)试判断函数 f ( x) ? 1 的奇偶性; (Ⅱ)试判断函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若不等式 f (a 2 ? 2a ? 7) ?

1 ? 0 的解集为 ?a ?2 ? a ? 4? ,求 f (5) 的值. 2

孝感高中 2014—2015 学年度高一上学期期中考试 数学参考答案

故 A ? B ? ??8, ?7, ?4, 4,9? ;

??????????????8 分

当 x ? 5 时, A ? ?25,9, ?4? , B ? ?0, ?4,9? , 此时 A ? B ? ??4,9? 与 A ? B ? ?9? 矛盾,故舍去. ??????????????10 分 综上所述, A ? B ? ??8, ?7, ?4, 4,9? . 17.解: (1) ?3 ? 2m ? 1 且 4 ? m ? 1 ??????????????12 分

? m ? ?1 且 m ? 3
? 不存在.
?

??????????????4 分

??3 ? 2m ? 1 ? ? ?1 ? m ? 2 或 P ? ? ? m ? 2 ;?????8 分 (2)若 P ? M,则 ? m ? 1 ? 4 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ?
? 若M? P,则 ?

??3 ? 2m ? 1 ? m ?? , ?4 ? m ? 1

??????????????10 分 ??????????????12 分
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综上: m ? 1 .
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18.解: (1) 因为 f ( x) 是 R 上的奇函数, 所以 f (0) ? 0 , 即

?2 x ? 1 ?1 ? b 解得 b ? 1 , 从而有 f ( x) ? x ?1 . ?0, 2 ?a 2?a

1 ? ?1 ?2 ? 1 又由 f (1) ? ? f (?1)知 ,解得 a ? 2 . ?? 2 4?a 1? a
(2)由(1)知 f ( x) ?

????????6 分

?2 x ? 1 1 1 ,由上式知 f ( x) 在 R 上为减函数,又因 f ( x) 是奇函 ?? ? x x ?1 2 ?2 2 2 ?1

数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ,等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f (?2t 2 ? k ) .
2 2 因 f ( x) 是 R 上 的 减 函 数 , 由 上 式 推 得 t ? 2t ? ?2t ? k , ?2 ? x ? 0 即 对 一 切 t ? R 有

1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,从而 ? 4 ? 12k ? 0 ,解得 k ? ? . 3

????????12 分

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80 ? ? 3 ? L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80 ? x ?
(2)当 0 ? x ? 80 时

????????????6 分

1 L( x) ? ? ( x ? 60)2 ? 950 3

? x ? 60 时, L( x) max ? L(60) ? 950
当 x ? 80 时. L ( x) ? 1200 ? ( x ? 分 当 x ? 100 时取“=”. L max ? 10000 ? 950

????????????8 分

10000 ) ? 1200 ? 2 10000 ? 1000 x

???????????? 10

? 当产量为 100 千件时,利润最大为 1000 万元.
第 5 页(共 7 页)

??????????12 分
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20.解: (1)设 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x ) 图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为 (? x, ? y ) . 已知点 Q 在函数 f ( x) 的图象上,

?? y ? f (? x) ,而 f ( x) ? log a ( x ? 1) ,

?? y ? log a (? x ? 1), ? y ? ? log a (? x ? 1),
而 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x ) 图象上的点,

? y ? g ( x) ? ? log a (? x ? 1) ? log a
(2)当 x ? [0,1) 时,

1 . 1? x

????????5 分

f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a

1 1? x ? log a . 1? x 1? x

????????7 分

下面求当 x ? [0,1) 时 f ( x) ? g ( x) 的最小值.

1? x t ?1 . ? t ,则 x ? 1? x t ?1 t ?1 ? 1 ,解得 t ? 1 , x ? [0,1) ,即 0 ? t ?1 1? x ? ? 1. 1? x 1? x 又 a ? 1,? log a ? log a 1 ? 0 , 1? x


??????????????10 分 ??????????????11 分

? f ( x) ? g ( x) ? 0 , ? x ? [0, 1) 时, f ( x) ? g ( x) 的最小值为 0.
当 x ? [0, 1) 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,

? m ? 0 ,即所求 m 的取值范围为 (??, 0] .

??????????????13 分

(Ⅱ)
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任取 x1 , x2 ? ( ??, ??) 且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1

由(2)知

?[ f ( x1 ? x2 ) ? 1]

x1 ? x2 ? 0 . 则 f ( x1 ? x2 ) ? 1,? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
即: f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ? f ( x) 在 (??, ?) 上单调递减. (Ⅲ) f (a 2 ? 2 ? 7) ? ? ????9 分

1 ? f (m) 由(Ⅱ)知: a 2 ? 2a ? 7 ? m 的解集为 (?2, 4) 2 1 ? m ? 1 . 即: f (1) ? ? . ? f (2) ? ?2 f (4) ? ?5 2 13 ??????????????14 分 f (5) ? f (4) ? f (1) ? 1 ? ? 2

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