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三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合文含解析56

萧引字叔 休。方 正有器 局,望 之俨然 ,虽造 次之间 ,必由 法度。 性聪敏 ,博学 ,善属 文,释 褐著作 佐郎。 侯景之 乱,梁 元帝为 荆州刺 史,朝 士多往 归之。 引曰: “ 诸 王力争 ,祸患 方始, 今日逃 难,未 是择君 之秋。 三年高考 2016_2018 高考数学试题分项版解析专题 08 导数与不等式函 数零点相结合文含解析 56 考纲解读明方向 考纲内容 1.利用导数研究函数的 单调性、极(最)值,并 会解决与之有关的方程 1. 导数与不等 3 年 3 考★ (不等式)问题; 式 2.会利用导数解决某些 简单的实际问题. ★★ 数学计算 3.特别关注: 利 用 导 数 研 究 函 数 的 零点 问 题. 逻辑推理 些实际问题. 考 点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1. 高频考向 : 利用导数解决与 之有关的方程(不等式)问题 2. 低频考向 : 利用导数解决某 2018 年高考全景展示 1.【2018 年浙江卷】已知函数 f(x)=? lnx. (Ⅰ)若 f(x)在 x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8? 8ln2; (Ⅱ)若 a≤3? 4ln2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公 共点. 【答案】 (Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析 【解析】 分析: (Ⅰ) 先求导数, 根据条件解得 x1, x2 关系, 再化简 f(x1)+f(x2) 为,利用基本不等式求得取值范围,最后根据函数单调性证明不等式, (Ⅱ)一 方面利用零点存在定理证明函数有零点,另一方面,利用导数证明函数在上单调 递减,即至多一个零点.两者综合即得结 寻迁吏部 尚书, 居选称 为平允 。寻除 晋陵太 守,秩 中二千 石。征 拜散骑 常侍、 国子祭 酒。充 长于义 理,登 堂讲说 ,皇太 子以下 皆至。 时王侯 多在学 ,执经 以拜, 充朝服 而立, 不敢当 也。 1 / 12 萧引字叔 休。方 正有器 局,望 之俨然 ,虽造 次之间 ,必由 法度。 性聪敏 ,博学 ,善属 文,释 褐著作 佐郎。 侯景之 乱,梁 元帝为 荆州刺 史,朝 士多往 归之。 引曰: “ 诸 王力争 ,祸患 方始, 今日逃 难,未 是择君 之秋。 论. x (0,16) 16 0 2-4ln2 (16,+∞) + 所以 g (x) 在[256, +∞) 上单调递增, 故, 即. 由(Ⅰ)可知 g(x)≥g(16) ,又 a≤3–4ln2,故–g(x)–1+a≤–g(16) –1+a=–3+4ln2+a≤0, 所以 h′ (x) ≤0, 即函数 h (x) 在 (0, +∞) 上单调递减, 因此方程 f (x) –kx–a=0 至多 1 个实根. 综上,当 a≤3–4ln2 时,对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公 共点. 点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略:(1) 构造差函数.根据差函数 导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式. (2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之 间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 2.【2018 年全国卷Ⅲ文】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时, . 【答案】 (1)切线方程是(2)证明见解析 【解析】分析: (1)求导,由导数的几何意义求出切线方程。 (2)当时,,令,只需证明即可。 寻迁吏部 尚书, 居选称 为平允 。寻除 晋陵太 守,秩 中二千 石。征 拜散骑 常侍、 国子祭 酒。充 长于义 理,登 堂讲说 ,皇太 子以下 皆至。 时王侯 多在学 ,执经 以拜, 充朝服 而立, 不敢当 也。 2 / 12 萧引字叔 休。方 正有器 局,望 之俨然 ,虽造 次之间 ,必由 法度。 性聪敏 ,博学 ,善属 文,释 褐著作 佐郎。 侯景之 乱,梁 元帝为 荆州刺 史,朝 士多往 归之。 引曰: “ 诸 王力争 ,祸患 方始, 今日逃 难,未 是择君 之秋。 详解: (1) , .因此曲线在点处的切线方程 是. (2) 当时, . 令, 则. 当时, ,单调递减;当时, ,单调递增; 所以 .因此. 点睛:本题考查函数与导数的综合应用,由导数的几何意义可求出切线方程,第 二问当时,,令,将问题转化为证明很关键,本题难度较大。 3. 【2018 年全国卷 II 文】已知函数. (1)若,求的单调区间; (2)证明:只有一个零点. 【答案】 (1)f(x)在(–∞, ) , (,+∞)单调递增,在(, )单调递 减. (2)f(x)只有一个零点. 【解析】分析: (1)将代入,求导得,令求得增区间,令求得减区间; (2)令, 即,则将问题转化为函数只有一个零点问题,研究函数单调性可 得. (2)由于,所以等价于. 设=,则 g ′(x)=≥0,仅当 x=0 时 g ′(x)=0,所以 g(x)在(–∞,+∞) 寻迁吏部 尚书, 居选称 为平允 。寻除 晋陵太 守,秩 中二千 石。征 拜散骑 常侍、 国子祭 酒。充 长于义 理,登 堂讲说 ,皇太 子以下 皆至。 时王侯 多在学 ,执经 以拜, 充朝服 而立, 不敢当 也。 3 / 12 萧引字叔 休。方 正有器 局,望 之俨然 ,虽造 次之间 ,必由 法度。 性聪敏 ,博学 ,善属 文,释 褐著作 佐郎。 侯景之 乱,梁 元帝为 荆州刺 史,朝 士多往 归之。 引曰: “ 诸 王力争 ,祸患 方始, 今日逃 难,未 是择君 之秋。 单调递增.故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零 点. 又 f(3a–1)=,f(3a+1)=,故 f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点. 点睛: (1)用导数求函数单调区间的步骤如下:①确定函数的定义域;②求导数; ③由(或)解出相应的的取值范围,当时,在相

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