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高中数学第二章统计22用样本估计总体222用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案新人教A版必修3

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 预习课本 P3~6,思考并完成以下问题 (1)如何根据样本数据的频率分布直方图,分别估计总体的众数、中位数和平均数? (2)如何理解众数、中位数、平均数与极端数据的关系? (3)平均数向我们提供了样本数据的重要信息,平均数会使我们作出对总体的片面判断 吗? (4)方差、标准差有什么区别与联系? [新知初探] 1.众数、中位数、平均数的概念 (1)众数:一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果个数是偶数,则取 中间两个数据的平均数. (3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数. 2.三种数字特征的比较 名称 优点 ①体现了样本数据的最大集中点; ②容易计算 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前 或靠后的数据)的影响; 缺点 ①它只能表达样本数据中很少的 一部分信息; ②无法客观地反映总体的特征 对极端值不敏感 众数 中位数 1 ②容易计算, 便于利用中间数据的信息 代表性较好,是反映数据集中趋势的 平均数 量.一般情况下,可以反映出更多的关 于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平 均数的改变.数据越“离群”,对 平均数的影响越大 3.标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差: 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,s= 1 n x1- x 2 + x2- x 2 +…+ xn- x 2 ]. (2)方差: 标准差的平方 s 叫做方差. 2 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], n 其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的 离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. [小试身手] 1.下列说法不正确的是( A.方差是标准差的平方 B.标准差的大小不会超过极差 C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为 0 D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个 样本数据在样本平均数周围越分散 解析:选 D 标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越大, 表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散. 2.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设 其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c C.c>a>b ) ) 1 B.b>c>a D.c>b>a 2 1 解析: 选 D 将数据从小到大排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17, 则平均数 a= 10 (10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7, 中位数 b=15,众数 c=17, 显然 a<b<c,选 D. 3.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一 个最低分,再计算剩下分数的平均值,这是因为( A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛 解析:选 C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,记分过程中采用“去掉一个最 高分, 去掉一个最低分”的方法, 就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数 对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平. 4.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1,则样本方差 为________. 1 解析:由题意知 (a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1. 5 1 2 2 2 2 2 2 所以样本方差为 s = [(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) ]=2. 5 答案:2 ) 众数、中位数、平均数的计算 [典例] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位: 岁): 甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17; 乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映 甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映 乙群市民的年龄特征? [解] (1)甲群市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17 =15(岁), 10 3 中位数为 15 岁,众数为 15 岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为 54+3+4+4+5+6+6+6+6+56 =15(岁), 10 中位数为 6 岁,众数为 6 岁. 由于乙群市民大多数是儿童, 所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征, 而 平均数的可靠性较差. 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的;计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或 从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算. [活学活用] (广东高考)已知样本数据 x1,x2,…,xn 的均值 x =5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,…, 2xn+1 的均值为________. 解析:由条件知 x = = x1+x2+…+xn 2x1+1+2x2+1+…+2xn+1 =5,则所求均值 x 0= n n x1+x2+…+xn +n =2 x +1=2×5+1=11. n 答案:11 标准差(方差)的计算及应用 [典例] 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶 10 次,每次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7

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